第三节导数的基本公式与运算法则

第三节导数的基本公式与运算法则第一页，共六十页，2022年，8月28日§3.3导数的基本公式和运算法则

（七）导数公式（一）函数的和、差、积、商的求导法则

（二）复合函数的求导法则（三）反函数的求导法则

（四）隐函数的求导法则

（五）对数求导法则（六）由参数方程确定的函数的求导法则

（八）综合杂例第二页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分设（为常数）（一）函数的和、差、积、商的求导法则1、常数的导数第三页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分2、幂函数的导数设（为正整数），由二项式定理知以后可以证明，为任何实数公式也成立。第四页，共六十页，2022年，8月28日3、代数和的导数第三章导数与微分设可导，则也可导，且

证明证毕.第五页，共六十页，2022年，8月28日此公式可以推广到有限个函数的情形第三章导数与微分

例1求函数的导数

解第六页，共六十页，2022年，8月28日4、乘积的导数第三章导数与微分设可导，则也可导，且

证明第七页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分证毕.可导一定连续第八页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分乘积公式可以推广到有限个函数的情形特别地（为常数）

例2求的导数

解第九页，共六十页，2022年，8月28日5、商的导数第三章导数与微分设可导，则也可导，且

证明且第十页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分可导一定连续可导一定连续证毕.第十一页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分特别地（为常数）

例3求的导数

解第十二页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分

例4求的导数

解第十三页，共六十页，2022年，8月28日6、对数函数的导数第三章导数与微分设第十四页，共六十页，2022年，8月28日7、三角函数的导数第三章导数与微分（1）设

连续同理可得（2）设第十五页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分（3）设同理可得（4）设第十六页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分（5）设（6）设第十七页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分例5求的导数解第十八页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分设是的一个复合函数若在处有导数则在对应点处有导数复合函数在点处的导数也存在，且或写成

（二）复合函数的求导法则第十九页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分则所以故

证明因为在点处可导，（当时，）所以证毕.可导一定连续第二十页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分此法则可推广到多个中间变量的情形若链式法则关键

弄清复合函数结构，由外向内逐层求导第二十一页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分例6求的导数

解设例7求的导数解第二十二页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分例8求的导数

解例9求的导数解第二十三页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分例10求的导数

解第二十四页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分例11求的导数

解第二十五页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分

解例12设存在，导数求的第二十六页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分

证例13证明（为任意常数）证毕.第二十七页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分设在点处可导，且则又设反函数在相应点处连续，存在，且或

（三）反函数的求导法则第二十八页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分证设反函数的自变量取得改变量时，因变量取得相应的改变量，当时，必有，否则由得因为函数的变量是一一对应的，所以这与的假设相矛盾。第二十九页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分因此，有当时，再由假设得当时，又由的连续性知，证毕.第三十页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分反三角函数的导数（1）由于的反函数是第三十一页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分（2）同理可得（3）（4）第三十二页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分

解例14求的导数例15求的导数

解第三十三页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分

（四）隐函数的求导法则且可导，设方程确定了是的函数，并再利用复合函数的两边同时对求导，求导公式可求隐函数对的导数。第三十四页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分

例16方程确定是的函数，求

解方程两边同时对求导解得是的函数第三十五页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分

例17方程确定是的函数，求

解方程两边同时对求导解得第三十六页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分求其曲线上点处的切线和法线方程

例18方程确定是的函数，

解方程两边对求导得切线方程法线方程第三十七页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分指数函数的导数设两边取对数，写成隐函数的形式两边对求导解得第三十八页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分

例19求函数的导数

解

例20求函数的导数

解

例21方程确定是的函数，求

解方程两边对求导解得第三十九页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分

（五）对数求导法则

例22求函数的导数两边取对数，写成隐函数的形式两边对求导解得

解此函数既不是幂函数也不是指数函数称其为幂指函数。不能用幂函数或指数函数的求导公式，第四十页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分

例23求函数的导数两边对求导

解此函数若直接求导会很复杂。两边取对数（设）第四十一页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分解得当时，当时，用同样的方法求导可得与上面相同的结果。第四十二页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分

（六）由参数方程所确定的函数的求导法则若参数方程确定是的函数，则称此函数关系为由参数方程所确定的函数。设有连续反函数又存在，且则有第四十三页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分

例24已知求

解

例25已知求

解第四十四页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分

（七）导数公式基本初等函数的导数公式第四十五页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分说明在公式中均为常实数。第四十六页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分说明在公式中为常实数，运算法则均为函数。第四十七页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分

（八）综合杂例例26设求

解第四十八页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分例27设求

解函数，求例28确定是的

解整理得第四十九页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分例29设求

解当时，当时，当时，当时，第五十页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分由上节例10知不存在，不存在，故有第五十一页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分例30已知可导，求

解其中为常数第五十二页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分例31已知若求证证证毕.第五十三页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分求当球半径时，例32设球半径以的速度等速增加，其体积增加的速度。

解两边对时间求导当时（此题为相关变化率问题）第五十四页，共六十页，2022年，8月28日内容小结1.导数公式2.函数的求导法则3.隐函数求导法则4.对数求导法则作业P13815---45第三章导数与微分和、差、积、商反函数、复合函数由参数方程确定的函数第五十五页，共六十页，2022年，8月28日备用题第三章导数与微分

1.已知则（2004）

解第五十六页，共六十页，2022年，8月28日第三章导数与微分

2.已知可导，

解（1）（1）求下列函