第三章时域分析法

第三章时域分析法第一页，共六十四页，2022年，8月28日方法的实质直接解系统的运动微分方程式时间域的微分方程拉氏变换复数域的代数方程复域解时域解拉氏反变换瞬态解自由解瞬态响应稳态解强迫解稳态响应时域问题变换方法复域问题

控制系统的时域分析就是在时间域内，直接求解描述系统性能的运动微分方程或动态方程，它们的解就是系统的输出响应，亦称为时间响应。第二页，共六十四页，2022年，8月28日3.1控制系统的时间响应

控制工程主要研究系统的零状态响应。

一零状态响应和零输入响应控制系统的时间响应零状态响应零输入响应仅有激励而初始状态为零的响应仅有初始状态而激励为零时的响应若将系统的初始状态看成系统的另一种输人激励，则对于线性系统，根据系统的线性特性，其输出总响应必然是每个输入单独作用时相应输出的叠加。第三页，共六十四页，2022年，8月28日☆系统的零状态响应等号右边的第一项是系统的自然响应，其变化规律只取决于系统函数G的极点在s平面的位置，体现了系统本身的特点，与激励函数的形式无关，其中的每一项称为自然响应模式；第二项是系统的强迫响应，其变化规律只取决于输入激励u的极点在S平面的位置，即输入信号的性质。但是待定系数与G和u的零极点分布都有关系。零状态响应为：设系统输入为：设系统传递函数为：若函数中不含有多重极点，可展成部分分式:取拉氏反变换，得到零状态响应:零状态响应的模式由系统G（s）和输入u（s）的极点共同确定。第四页，共六十四页，2022年，8月28日☆瞬态响应和稳态响应若u(s)的极点实部大于或等于零，或者极点在原点，仍假定G(s)具有负实部的极点，在此情况下，自然响应就是瞬态响应，强迫响应就是稳态响应。根据微分方程理论，系统的强迫响应的函数结构与微分方程的右函数（自变量）结构相同，即与输入信号结构相同。二瞬态响应和稳态响应系统的完全响应y(t)还可以分为瞬态响应和稳态响应。随着时间t的增大而衰减为零的部分为瞬态响应，其余部分为稳态响应。瞬态响应与G(s)和u(s)都有关系。当G(s)和u(s)的极点都在S域左半平面时，瞬态响应等于自然响应与强制响应之和，稳态响应等于零。第五页，共六十四页，2022年，8月28日☆系统的时间响应第六页，共六十四页，2022年，8月28日3.2控制系统时间响应的求解一基于传递函数的输出响应求解实质：用拉普拉斯反变换求解系统运动微分方程求系统的零状态响应，可按下列步骤进行：(1)设初始条件为零，对高阶微分方程进行拉氏变换；(2)求解关于s的代数方程，得输出响应的拉氏变换Y(s)；(3)对y(s)进行部分分式展开；(4)取反变换后，得到y(t)。例1已知系统的传递函数，输人为单位阶跃函数，初始条件均为零。求系统的输出响应。解：根据传递函数定义有：阶跃输入的拉氏变换为：部分分式展开：第七页，共六十四页，2022年，8月28日基于传递函数的输出响应求解待定系数的求法：用乘上式两边，取s→pi的极限。注意：系统传递函数的两个极点在指数上。第一项是稳态响应，是阶跃函数；后两项是瞬态响应，因系统极点具有负实部，随着时间的增加将逐渐衰减为零。极点距s平面虚轴越远衰减越快。结论：系统极点决定了系统瞬态响应的特性。

取反变换后，得到y(t)第八页，共六十四页，2022年，8月28日系统的零点对响应的影响

可见，尽管这两个系统的极点相同，但由于零点不同，它们的响应截然不同，系统1有超调。例2已知两个系统的传递函数单位阶跃响应分别为系统的零点影响系统响应曲线的形状。结论第九页，共六十四页，2022年，8月28日3.3

控制系统动态性能分析

控制系统必须具有良好的动态特性，从而使系统能迅速跟踪参考输入信号，并且不产生剧烈的振荡。因此，对系统动态性能进行分析，改善瞬态响应是自动控制的核心工作。

为了衡量系统的动态性能，同时能对不同系统的性能进行比较，通常采用单位阶跃函数作为测试信号。相应地，系统的响应称为单位阶跃响应。第十页，共六十四页，2022年，8月28日任何复杂系统都是由简单的一阶、二阶系统组成任何复杂信号都是由简单信号叠加而成的—傅立叶级数线性稳定系统响应输入的微分(积分)响应的微分(积分)输入脉冲函数阶跃函数加速度函数速度函数积分积分微分一低阶系统的阶跃响应分析第十一页，共六十四页，2022年，8月28日（一）一阶系统的阶跃响应举例

特点：有一个蓄能元件，含时间常数，具有惯性，输出滞后输入。

响应分析：：时间常数第十二页，共六十四页，2022年，8月28日一阶系统的脉冲响应因为单位脉冲函数的拉氏变换为1，所以记系统的单位脉冲响应函数为g（t），那么00-0.0180.0184T-0.1350.1352T-0.3680.368T0t一阶系统时域指标：一阶系统对单位阶跃输入的响应达到稳态值的98%所对应的时间为系统的过渡过程时间，为4T。

一阶系统对单位脉冲输入的响应达到初始值的2%所对应的时间为系统的过渡过程时间，为4T。第十三页，共六十四页，2022年，8月28日(二)二阶系统的阶跃响应二阶系统结构如图

二阶系统闭环传递函数为

注意典型环节与系统的联系与区别

二阶系统开环传递函数为

1.二阶系统的传递函数第十四页，共六十四页，2022年，8月28日2.二阶系统闭环极点的分布根据系统阻尼比ζ的值，二阶系统有：由图可知第十五页，共六十四页，2022年，8月28日3.二阶系统的响应曲线⑴系统在s左半平面上有一对共轭复数极点①欠阻尼系统

欠阻尼系统的瞬态响应是正弦衰减振荡，衰减的快慢与系统极点的负实部有关，距虚轴越远，衰减越快；振荡频率取决于极点的虚部。阻尼比影响振荡的程度。注意极点的负实部在指数上，虚部是振荡频率。第十六页，共六十四页，2022年，8月28日3.二阶系统的响应曲线⑵②无阻尼系统有一对共轭虚极点，响应是等幅振荡曲线③临界阻尼系统④过阻尼系统两个相同的负实数极点，两个相同的惯性环节的串联有两个负实数极点单调上升曲线单调上升但不会超过稳态值，响应是非振荡的。两个极点中离s平面原点较远的极点对应的瞬态分量幅值较小，衰减较快。随着阻尼比的增大，其中一个极点将越来越远离s平面原点，其幅值越来越小，衰减越来越快；而另一个极点越来越靠近原点，其幅值越来越大，衰减越来越慢。当阻尼比ζ》1时，式右边最后一项可以忽略，二阶系统可以用靠近原点的那个极点所表示的一阶系统来近似分析。第十七页，共六十四页，2022年，8月28日4.系统阶跃响应的特点分析①响应特性与闭环极点位置有关

②响应的快慢与极点距离虚轴的远近有关

③阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn确定了系统动态特性

闭环极点具有负实部，时间趋向无穷大时，瞬态响应趋于零，系统稳定。极点距离虚轴近，对应的响应模式衰减慢；距离越远衰减越快。阻尼比ζ确定了系统响应振荡特性—响应平稳性。ζ越小，响应振荡越剧烈；ζ越大，响应越缓慢呆滞。无阻尼自然频率ωn确定了系统瞬态响应过程时间的长短—响应快速性。ωn越小，即时间常数T越大，响应就慢，反之，ωn越大，即时间常数T越小，响应就越快。响应快速性与响应平稳性是相互矛盾的。共轭复数极点：衰减正弦振荡曲线，系统稳定。负实数极点：响应是单调上升曲线，系统稳定。共轭虚极点：等幅振荡曲线，系统临界稳定。

第十八页，共六十四页，2022年，8月28日二高阶系统的时域响应不失一般性，高阶系统的闭环传递函数可表示为：当输入为阶跃函数时，输出可表示为：通过拉氏反变换，输出响应可表示为：第十九页，共六十四页，2022年，8月28日闭环主导极点当某极点（一对共轭极点）离虚轴很近，其余极点实部之模大于该极点（该对共轭极点）实部模的5倍以上时，则其他极点对应的响应持续时间很短，系统输出响应可以近似地视为该极点（该对共轭极点）所产生，其余极点对应的响应可以忽略不计。该极点（该对共轭极点）称为系统的闭环主导极点。据此，假如闭环主导极点附近没有闭环零点时，可以消去其他远极点而实现对系统的降阶。须注意保持系统稳态增益不变。第二十页，共六十四页，2022年，8月28日2.偶极子假如某极点与某零点很近，那么由该极点产生的响应的将很小，因而该响应分量在全部响应中所占的“比重”也必然很小，可以忽略不计。这对零点和极点称为偶极子。高阶系统降阶时可以同时取消偶极子，但须注意保持系统稳态增益不变。第二十一页，共六十四页，2022年，8月28日3.高阶系统降阶举例已知系统的闭环传递函数为：四个闭环极点为：单个闭环零点为：消去偶极子和远极点后得到：第二十二页，共六十四页，2022年，8月28日三用Matlab求系统响应步骤1：启动Matlab第二十三页，共六十四页，2022年，8月28日步骤2：设置工作文件路径第二十四页，共六十四页，2022年，8月28日步骤3：打开文件编辑窗口，输入、编辑文件并存盘。下图示例中传递函数为：第二十五页，共六十四页，2022年，8月28日步骤4：运行文件，显示结果。第二十六页，共六十四页，2022年，8月28日第二十七页，共六十四页，2022年，8月28日例2降阶前后阶跃响应对比。第二十八页，共六十四页，2022年，8月28日四控制系统时域动态性能指标最大超调量:相对稳定性,响应平稳性,阻尼程度时间指标：响应的快速性。注意：响应的平稳性与快速性是相互矛盾的。第二十九页，共六十四页，2022年，8月28日时域动态性能指标概念与定义(1)线性控制系统典型的单位阶跃响应曲线延迟时间td：系统阶跃响应达到稳态值50%所需的时间。上升时间tr：系统阶跃响应从稳态值的10%第一次达到稳态值的90%所需的时间。第三十页，共六十四页，2022年，8月28日时域动态性能指标概念与定义(2)峰值时间tp：响应曲线第一次到达最大峰值所需时间。调节时间ts：系统阶跃响应曲线进入并保持在稳态值±Δ%允许误差范围内的最小时间。±Δ%取稳态值的±2%或±5%，根据系统所完成的任务而定。调节时间又称调整时间、过渡过程时间。超调量σ：又称最大超调量，反映系统响应振荡的剧烈程度。振荡次数N：在调节时间ts内，响应曲线振荡的次数。在上述指标中，调节时间和超调量反映了对系统动态性能最重要的要求：响应快速性和相对稳定性。第三十一页，共六十四页，2022年，8月28日2.欠阻尼二阶系统时域性能指标计算只有二阶系统可以推导出上述性能指标的解析式，其他系统只能从响应曲线、仿真结果中获取相应指标数值。延迟时间、上升时间、峰值时间和调节时间都是系统无阻尼自然频率和阻尼比的函数，当阻尼比给定时，系统自然频率越高，这些时间指标越短，系统响应越快。超调量仅仅是阻尼比的函数。学生思考的问题：①综合性能指标；②高阶系统的降阶处理；③速度反馈的作用；④传递函数零点的影响；⑤系统对输入信号的微分（积分）的响应，等于系统对输入信号响应的微分（积分）。第三十二页，共六十四页，2022年，8月28日☆自然响应模式的概念⑴若输出函数中不含有多重极点，可展成部分分式:

取拉氏反变换，得到零状态响应:

零状态响应的模式由系统G(s)和输入R(s)的极点共同确定。式中，等号右边的第一项和式是系统的自然响应，其变化规律只取决于系统函数G(s)的极点在S平面的位置，体现了系统本身的特点，与激励函数的形式无关，其中的每一项称为自然响应模式，亦称为主振型、主模态；第二项和式是系统的强迫响应，其变化规律只取决于输入激励R(s)的极点在S平面的位置。但是待定系数Ck（留数）与G(s）和R(s）的零点、极点分布都有关系。第三十三页，共六十四页，2022年，8月28日☆自然响应模式的概念⑵单重实数极点p单重共轭复数极点α±jβ

r重实数极点pr重共轭复数极点α±jβ

第三十四页，共六十四页，2022年，8月28日☆自然响应模式的概念⑶当G(s)的极点与R(s)的零点或G(s)的零点和R(s)的极点相消时，就会使G(s)的极点所对应的自然响应模式或R(s)的极点所对应的强迫响应模式消失。若将系统的初始状态看成系统的另一种输人激励，一般它相当于脉冲信号，可以证明零输入响应(自然响应)的模式由D(s)＝0的根确定，它的幅度和相位则与初始状态有关。这里D(s)=0称为系统的特征方程，其根称为特征根或系统的固有频率。可以说零输入响应的模式由系统的固有频率确定。如果G(s)没有零、极点相消，则特征方程D(s)=0的根也就是G(s)的极点，则零输入响应的模式由G(s)的极点确定。但是，当G(s)有零极点相消时，系统的某些固有频率在G(s)的极点中将不再出现，这时零输入响应的模式不再由G(s)的极点确定，但G(s)的零极点是否相消，并不影响零状态响应的模式。这一现象说明，系统传递函数G(s)一般只用于研究系统的零状态响应。第三十五页，共六十四页，2022年，8月28日☆学习中应思考的问题

综合性能指标高阶系统的降阶处理速度反馈的作用传递函数零点的影响系统对输入信号的微分（积分）的响应，等于系统对输入信号响应的微分（积分）。系统结构及其结构参数系统的零点和极点系统的瞬态、稳态特性即系统性能瞬态性能指标响应的快速性响应的平稳性无阻尼自然振动频率ωn系统阻尼比ζ第三十六页，共六十四页，2022年，8月28日3.4线性控制系统的稳定性分析

稳定性的概念稳定性的物理意义系统稳定的必要充分条件稳定性判据系统稳定性分析第三十七页，共六十四页，2022年，8月28日一稳定性概念与物理意义(1)⒈系统稳定与不稳定举例稳定不稳定c点稳定，a、e点不稳定当系统受到外界干扰后，显然它的平衡状态被破坏，但它仍能恢复到原有平衡状态下继续工作，系统的这种性能，通常称为稳定性。稳定性是系统的一个动态属性。稳定是系统能够工作的首要条件！第三十八页，共六十四页，2022年，8月28日一稳定性概念与物理意义(2)系统处于偏离平衡位置的初始状态，且不存在输入作用，若在初始状态的影响下，系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零，即回到平衡状态，则称该系统是稳定的；反之，若在初始状态影响下,系统的时间响应随时间的推移发散(即偏离平衡位置来越远)，则称该系统不稳定。——小偏差稳定⒉稳定性定义稳定性概念系统的由初始状态所引起的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零，即回到平衡位置的性质。系统在受到扰动作用后，随着时间的推移，系统能恢复到原有平衡工作点的性质。数学实质：系统齐次微分方程的解是收敛的。——大范围稳定第三十九页，共六十四页，2022年，8月28日※稳定性的物理意义

响应是有界的；系统能够消耗初始状态提供给系统的能量。系统的初始状态就是系统的蓄能状态，研究系统稳定性就是研究系统零输入响应的情况。如果零输入响应逐渐衰减并趋向于零，则系统是稳定的，即系统能够消耗系统初始蓄存的能量。或者说，系统的响应是能量有界的。（BIBO稳定）⒊稳定性的物理意义第四十页，共六十四页，2022年，8月28日☆稳定程度——相对稳定性⒋稳定程度——相对稳定性系统的零输入响应逐渐衰减并趋于零，则系统稳定；如果系统的零输入响应是发散的，则系统不稳定。而如果系统的零输入响应趋于某一恒定值或成为等幅振荡，则系统处于稳定的边缘，即处于临界稳定状态。显然，对于实际的系统，临界稳定状态一般是不能工作的。而且即使没有超出临界稳定状态，只要与临界稳定状态接近到某一程度，系统在实际工作中就可能变成不稳定。因此，对一个实际系统，只知道系统稳定还是不稳定是不够的，还要了解系统的稳定程度，即系统必须具有稳定性储备。系统离开临界稳定状态的程度，反映了系统稳定的程度，称为相对稳定性。

第四十一页，共六十四页，2022年，8月28日二线性系统稳定的必要充分条件系统的全部特征根都必须具有负实部；反之，若特征根中只要有一个具有正实部，则系统必不稳定。也可以表述为：系统传递函数G(s)的全部极点均位于[s]平面的左半开平面，则系统稳定,反之，只要有一个极点位于[s]平面的右半平面，则系统不稳定。

注意：系统运动微分方程右端各项系数，对系统稳定性没有影响，这相当于系统传递函数的各零点对稳定性没有影响，因为这些系数仅反映系统与外界作用的关系，与系统稳定与否无关。线性系统是否稳定，完全取决于系统的特征根，即取决于系统本身的固有特性。第四十二页，共六十四页，2022年，8月28日三稳定性时域判据——Routh判据

线性定常系统稳定的条件是其特征根均具有负实部。因此，要判别某系统的稳定性，只要解得系统特征根即可。但实际控制系统的特征方程往往是高阶的，求解困难。如果不去直接求解特征方程，就能判定系统的稳定性，那么在工程上就有现实意义。为此形成了一系列稳定性判据，其中最重要的是(1884年)劳斯(Routh)判据。劳斯判据是基于方程式的根和系数的关系建立起来的，它是判别系统稳定性的充分必要条件。第四十三页，共六十四页，2022年，8月28日1.应用劳斯判据的步骤下面以六阶系统为例说明劳斯判据的用法。步骤判据⒈列写闭环系统特征方程（特征多项式）⒉列出劳斯表⒊考查劳斯表第一列元素的符号，进行判别。符号相同则系统稳定，符号不同则系统不稳定；符号改变的次数是正实部根的数目。第四十四页，共六十四页，2022年，8月28日2.劳斯判据应用举例⒉列出劳斯表，劳斯表将有n+1行；此例有7行。⒈已知六阶系统的特征方程为第四十五页，共六十四页，2022年，8月28日◎劳斯表的排列与计算第四十六页，共六十四页，2022年，8月28日◎劳斯判据的用法

⒊判据：当劳斯表中第一列的全部元素具有相同的符号时，系统的特征根全部位于s平面的左半部，而其符号改变次数恰恰就是具有正实部或位于s平面右半部的根的个数。

4.劳斯判据的其它应用计算使系统稳定的某个参数的取值范围。估计系统的相对稳定性。确定自由震荡频率。

5.两种特殊情况的处理第一列出现零元素——用任意小的正数替代；出现全行元素都为零——用该行构造辅助方程。第四十七页，共六十四页，2022年，8月28日举例1ConsiderthestabilityofasystemhavingthecharacteristicequationofThecharacteristicequationhastworootswithpositiverealparts.Hence,thesystemisunstable.ThecompleteRoutharrayis第四十八页，共六十四页，2022年，8月28日举例2IfafeedbackcontrolsystemhasopenlooptransferfunctionasFindoutthevalueofKtoenabletheclosed-loopsystemtobestable.closed-loopcharacteristicequation

Routh'sarraySothatthevalueofKisas第四十九页，共六十四页，2022年，8月28日举例3FormtheRoutharray,

replacethezerobyanepsilon,ε,andcompletethearray.

Ifεischosenpositive,thesystemisunstableandhastwopolesintherighthalf-plane.Ifεischosennegative,theresultisexactlythesameasthatforapositivechoiceforε.

Thus,thesystemisunstable.第五十页，共六十四页，2022年，8月28日举例4Determinethenumberofrighthalf-planepolesintheclosed-looptransferfunction,ifitscharacteristicequationisWestopatthefourthrow,sincetheentirerowconsistsofzeros.Wehavetousethefollowing

procedure.Returntotherowimmediatelyabovetherowofzerosandformanauxiliarypolynomial,usingtheentriesinthatrowascoefficients.第五十一页，共六十四页，2022年，8月28日举例4(续）DifferentiatethepolynomialwithrespecttosandobtainUsethecoefficientsoftheequationtoreplacetherowofzeros.ThustheentireRoutharraybecomes:Allelementsinthe1stcolumnarepositive,hencethesystemisstable.？第五十二页，共六十四页，2022年，8月28日举例4(续）Whenarowofzerosoccurs,thereexistsanevenoroddpolynomialdivisoroftheoriginalpolynomial.Thecoefficientsofthisdivisorpolynomialaregivenbythepreviousnonzorerowofthearray.ForthisExamplepolynomial,thedivisorisDividingtheoriginalpolynomialbythisevendivisorgives第五十三页，共六十四页，2022年，8月28日举例4(续）Evenlydividingimplysthatthedivisorpolynomialisafactoroftheoriginalpolynomial.Hencetherootsofthedivisorpolynomialalsoaretherootsoftheoriginalpolynomial.Therootsare:Whichindicatesthatthedivisorrepresentstwoconjugatepairsofimaginaryaxisroots,andacturelythesystemiscriticallystable.Bythemean,theoscillationfrequenciescanbedetermined.第五十四页，共六十四页，2022年，8月28日3.5控制系统的稳态误差分析控制系统的控制精度用稳态误差来表征，稳态误差越小控制精度越高。稳态时系统的误差分为原理性误差和结构性误差：与系统型号、输入信号性质有关的误差称为原理性误差，而因制造、间隙、死区等造成的误差是结构性误差。这里仅仅讨论原理性误差。

误差与偏差的定义、关系决定系统稳态误差的因素稳态误差的计算方法第五十五页，共六十四页，2022年，8月28日一误差与偏差的概念与关系偏差：在输入端定义的误差，它是输入信号与反馈信号之差，亦称偏差。既可计算，也可量测。误差：在输出端定义的误差，它是期望输出与实际输出之差。只能计算，不能量测。当偏差为零时，系统的输出定义为系统的期望输出误差与偏差的关系G(s)H(s)R(s)E(s)C(s)B(s)+－1/H(s)E’(s)Cd(s)+－第五十六页，共六十四页，2022年，8月28日二瞬态误差和稳态误差

第五十七页，共六十四页，2022年，8月28日三主令输入下的稳态误差的计算

稳态误差的终值与系统的开环传递函数(即系统结构)和输入信号的性质有关！⒈用终值定理计算结论设一单位反馈控制系统的开环传递函数为

试分别求出系统在单位阶跃、速度、加速度输入时的稳态误差。⒈单位阶跃输入时：⒉单位速度输入时：⒊单位加速度输入时：稳态误差为∞。结论：0型系统不能跟踪速度和加速度信号。第五十八页，共六十四页，2022年，8月28日⒉用静态误差系数计算阶跃信号输入引入位置误差系数0型系统kp=K0，Ⅰ型以上系统kp=∞

引入速度误差系数0型系统kv=0，Ⅰ型系统kv=K0，Ⅱ型系统kv=∞斜坡信号输入加速度信号输入

开环传递函数中积分环节个数决定了系统在阶跃、斜坡及抛物线信号输入时系统是否存在稳态误差。开环增