2021-2022学年高考数学空间向量及立体几何综合专练-考点12：定义法或几何法求线线、线面、面面角综合专练（教师版）

考点12：定义法或几何法求线线、线面、面面角综合专练

(解析版)

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，在正四棱柱中，43=3,e=4,P是侧面BCC4内的动

点，且4P_L8R,记AP与平面BCGS所成的角为。，贝！|tan。的最大值为()

【正确答案】B

【思路点拨】

以94,DC,。。所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设P(x,3,z),

根据空间向量垂直的坐标表示求得Z=：x,继而得忸P|的最小值，连接BP,由线面角

的定义得/4P3就是AP与平面BCG；鸟所成的角，故而得tan。的最大值.

【步步为营】

解：以ZM,DC,。。所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则

4(3,0,0),矶3,3,0),R(0,0,4),

设P(x,3,z),则而=(x-3,3,z),西=(-3,-3,4),

vAP1BD,,..Q.幽=0,

八3

3(x—3)—3x3+4z=0,/.z=—x,

4

/.IBP!=J(x-3)2+z2=x2-6x+9=J-(x--)2,

11VV16V1625255

连接8P,在正四棱柱中，面8CC4,所以N4P8就是AP与平

面BCG耳所成的角，即NAP8=e,

•■•tan<9=^^„I，.•.tan，的最大值为。.

IAL|J3

故选：B.

2.如图，在大小为60的二面角A-Eb-O中，四边形A8尸E,四边形CDEf都是边长

为1的正方形，则5,。两点间的距离是（）

A.72B.2C.1D.后

【正确答案】A

【思路点拨】

由题意，N8FC为二面角A—£F—。的平面角，故NBFC=60，可得〈万瓦丽>=120。，

又丽=丽+在+而，利用数量积运算性质展开即可得到答案

【步步为营】

由题意，四边形A8FE,四边形CDEF都是边长为1的正方形

故3尸人£F,CFAEF,

可得NBFC为二面角A-所一。的平面角，故NBFC=60

又EDHCF,故异面直线5b,EZ）所成角也为60

BD=BF+FE+ED,

.-.IBP=|BF+\FE\+\ED\+2BF•FE+2FE-ED+2BF•ED

=|BF|2+|FE|：+|ED|2+2|BF|-|FE|-COS90:+2|FE|-|ED|-COS90+2|BF|-|£D|-COS120

=1+1+1-1=2

.•.|叫=夜

故选：A

3.如图，正方体/13。。-446。的棱长为1,七是的中点，贝!］（）

A.直线C以平面AB。

B.CE±BD,

C.三棱锥G-dCE的体积为:

o

D.直线用E与平面CODC所成的角正切值为3

【正确答案】C

【思路点拨】

建立空间直角坐标系，利用空间向量即可判断AB选项，通过换顶点即可求出三棱锥

G-8CE的体积，即判断C选项，证得NBEG为直线8万与平面CD»C所成的角，解

三角形即可判断D选项.

【步步为营】

以。为坐标原点，以DA所在直线为天轴，oc所在直线为y轴，0口所在直线为z轴,

建立空间直角坐标系，则C(O,l,O),E(O,g,O),A(l,0,l),8(l,l,0),Q(0,0,0),A(0,0,1),

则瓦西=(1,0,1),丽=(1,1,0),

\DAj•/=%+Z[=0

设平面ABO的法向量为正=（4如4），则取正=（1,一1,一1）,

\DB•而=X]+y=0

----1

因为CE•W=］工0,故直线CE与平面AB。不平行，故A错误；

西=（一1,-1,1）,则CEB£>；=；WO,则CE与BR不垂直，故B错误；

三棱锥G-B,CE的体积分g=VE^CC<=lxlxlxlxl=l,故C正确；

因为GB1，平面COQG，所以NSEG为直线8也与平面CDDG所成的角，因为

B£=1，GE=KM=等,因此1a「少明二色言，故口错误.

故选:C

4.若过正方体ABC。-4&GD1的顶点A作直线/,使得直线/与三条棱A3,AD,

AAi所在直线的夹角均相等，则这样的直线/的条数为（）

A.0B.1C.3D.4

【正确答案】D

【思路点拨】

将小正方体扩展成4个小正方体，根据直线夹角的定义即可判断出符合条件的条数.

【步步为营】

第一条：AG是满足条件的直线；

第二条：延长到C2且UC2=1,AC2是满足条件的直线；

第三条：延长C山I到C3且5。3=1,AC3是满足条件的直线；

第四条：找Ci关于4的对称点C4,AC4是满足条件的直线.

综上，满足题意的直线/的条数为4条.

故选：D

5.直角梯形ABC。中，AB//CD,ABLBC,BC=CD=-AB=\,E为A8中点.以£>£

为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且PC=6则下列命题错误的是（

A.平面平面PC。

B.PCLBD

jr

C.二面角尸一。。-8的大小为1

D.PC与平面尸功所成角的正切值为无

2

【正确答案】C

【思路点拨】

根据EC=&，又PC=Q，依=1得PELEC，结合条件和线面垂直判定定理得出

PE_L平面CQE,同理得出CD,平面P0E,进而得出A正确；结合A和三垂线定理

得出PCL8D成立，故B正确；由A得C£>J_平面PDE,根据二面角定义可得“DE就

是二面角尸-DC-B的平面角计算判定C错误；由A得CDJ•平面PDE,所以/CP。就

是斜线PC与平面阻>所成的角，计算判定D正确

【步步为营】

如图，连接EC,8。，则EC=应，乂PC=6，PE=L

所以VPEC中有尸C'P^+EC。，所以

对于A.由题意可得PELOE,又PELEC,EC^}DE=E,EC,OEu平面COE

所以PE_L平面CZ)£,所以PELBE,

又BE工DE,PERDE=E,PE,DEu平面PDE,所以8E_L平面PDE，

因为BEi/CD,所以C£>J>平面PDE，

因为COu平面PC。，所以平面PE£>_L平面PC£),故A正确；

对于B.由A得PEL平面CDE,又BDLCE,由三垂线定理可得PC_LB£>(平面内一

条线和射影垂直，就和斜线垂直)，故B正确；

对于C.由A得C£＞，平面PDE,根据二面角定义可得ZPDE就是二面角P-OC-3的平

7T

面角，易得NPDE=z，故C不正确；

4

对于D.由A得CO_L平面打出，所以NCPO就是斜线PC与平面产中所成的角，易得

PD=6，tanZ.CPD==-4==—,故D正确.

PD62

故选：C

6.已知长方体A8C。-中，AB=BC=4,CCt=2,则直线8G和平面。881A

所成角的正弦值等于（）

AGn石「屈「M

A.15.——C.D.

22510

【正确答案】C

【思路点拨】

取。蜴的中点M,连接GM,可证GM_L平面B。。用，则NC8M即为BG和平面

DBBQi所成角,在R/VGBM中即可求出结果.

【步步为营】

由题意，四边形A4C4为正方形，如下图所示:

取。蜴的中点M,连接GM,则G"_LBQ

由于B4，平面AGCQ,GMu平面A4GA

故C,M1BB,,BB]cBQ[=B1,BB^BRu平面BDD出

所以GM，平面BZ）£*出

所以NC8M即为BG和平面DBBQ所成角；

由勾股定理可知BCi=J16+4=2后,C、M=20

qM2近ViU

所以在RNC、BM中，sinZC,BM=

故选：C

7.正方体48CD-ASGR中，点E,尸分别为棱BC,。上的点（不包含端点），设

二面角A-EF-A的平面角为a,若tana==AA3,则三CF的取值范围为（）

AECD

A.苗B.（』）仁"D-'』）

【正确答案】C

【思路点拨】

根据给定条件结合二面角的相关计算探求得他_LEF,再利用VA8E:VEB列式计算

即得.

【步步为营】

在正方体ABCD-A与GR中，AAJ•平面ABC。，EFu平面ABC。，则A4，EF,过

4作AO_LM,连40,有EF_L平面AO4,如图，

于是得A.OLEF,则NAOA为二面角\-EF-A的平面角，即ZAOA,=a,tana=一，

AO

而tana=--,

AE

因此，AO=在，又A。是点A到直线EF距离最小值，则有点。与点E重合，即AELEF,

因点E,F分别为正方形ABCO的边8C,CD上除端点外的点，从而得VA3E:7ECF,

RF11

则有k=r，令正方体棱长为1，则CF=BE•CE=BE（1-BE）=-（BE--）2+一,

CEAB24

因O<BE<1,于是得0<CF4］，当且仅当BE=2，即E为5c中点时取“=”，此时有

42

八CFJ

0<——<-,

CD4

所以备的取值范围为（0，；.

故选：c

JT

8.在四面体ABC。中，AB=\,AD=2^3,BC=3,CD=2,NABC=NDCB=Q,

则二面角A-8C-O的平面角的大小为（）

A

D

【正确答案】B

【思路点拨】

过点B作BE//CD,使BE=CD，连接AE、DE，由长度、平行关系可以证明43L8C,

EB1BC，则/4BE为二面角A-BC-O的平面角，即得解

【步步为营】

在ABOC中，BC=3,CD=2,ZBCD吗,则8。=旧；

在AABC中，AB=\,BC=3,ZABC=y,则4c=布；

jr

又AD=2a,在AABD中，BD2=AB2+AD2，则/&4。=万；

过点、B作BE//CD,使BE=C£）,连接AE、DE,

则四边形8即C为矩形，BE=2,

因为8CJ,A3,8C_L8E,ABQBE=B

则3cl平面,DE//BC,

则。EJ_平面"E,AEu平面ABE,则DE_LAE

AE^\IAD2-DE2-V3>

在AABE中，AE2+AB2=BE2，

则NBAE—,ZAEB=~,ZABE=-,

263

由于AB_LBC,EBLBC,则/48E为二面角A-BC-。的平面角，

且NABE=q.

故选：B

9.如图，在正方体ABCD-ABCQI中，点0为线段80的中点.设点P在线段CG上,

直线。尸与平面AB。所成的角为a,贝（Jsina的取值范围是（）

rv62应与

A.B.

33

显2>/2

丁亍D.争

【正确答案】D

【思路点拨】

先确定0P与平面AB。所成的角a的范围，然后在三角形中利用边角关系求解后，再

比较大小，即可得到答案.

【步步为营】

如图，连接4C,OA，OG，O尸

由题意可得，直线。P与平面48。所成的角a的取值范围为NC0A，、

不妨取A8=2,在/?以4。4中，

sinZAOA,=迫=r一?一=—

A0"2+诋23

sinZ.C[OA^—sin[7r—2Z.A0Ay)=sinlZ-AOAi—IsinZ.AOA^cosZ.AOAy=2x---x^~-=>~~

又因为，siny=1,

所以siw的取值范围为[g.l]

故选：D

10.四棱雉P-ABCD的底面是矩形，4?=3,AD^PA=2,PD=2叵，ZPAB=60°,

则异面直线PC与AO所成角的余弦值为（）

A.1B.辿

211

C.-D.B

23

【正确答案】B

【思路点拨】

利用条件借助图形，结合异面直线所成角的定义找到共面的两条相交直线，然后结合解

三角形有关知识求解即可.

【步步为营】

在矩形A8CD中，BC//AD,:.APCB（或其补角）为异面直线PC与4。所成角，

由/1£）=曰=2,PD=2后,知PA2+A£）2=PD2,故AD_L〃

由矩形ABC。，又P4nA8=A,AQ_L平面Q4B

又P3u平面P4B,:.AD±PB,BC工PB,

在/\PAB中，利用余弦定理知PB=+AB2-2PA-AB-cosAPAB=布

在RfZXPBC中，PC=yJPB2+BC2=77+4=VTT

BC22717

/.cosZPCB=

~PC~4H~11

所以异面直线PC与AD所成角的余弦值为名叵

11

故选：B

二、填空题

2

11.在三棱锥P-ABC中，总J_平面ABC,ZBAC=—,AP=3,AB=2石，Q是边8c

上的一动点，且直线尸。与平面ABC所成角的最大值为则三棱锥尸-的外接球

的体积为.

【正确答案】卫叵

6

【思路点拨】

设直线尸。与平面ABC所成的角为。，三棱锥P-4?C外接球的球心为。，半径为R,

先求出PQ的最小值为2石，4Q的最小值是百，即点A到BC的距离为6,再利用余

弦定理求出BC的值，取△ABC的外接圆的圆心为O',则圆O'的半径r=2百，连接00'，

作OMLPA于点A7,即得炉=(26)2+(目=?，即得解.

【步步为营】

设直线PQ与平面ABC所成的角为6,三棱锥P-MC外接球的球心为0,半径为/?,

如图所示，则0<sind=^=焉《亭，所以PQ22百，则P。的最小值为26,AQ

的最小值是6,即点A到BC的距离为6,所以N8AQ=(.

因为/BAC=g,所以NCAQ=q,所以A8=AC=2』，

所以BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cos^=(273)2+(2>/3)2-2x2A/3x2^x，；)=36,

所以8C=6.

=16—n

取的外接圆的圆心为O',则圆O'的半径，=万IF"

sin——

3

连接。。'，作QWLB4于点M,则点M为R4的中点，所以

R1=OA2=OP'=(2同+(I)=/

故三棱锥P-ABC的外接球。的体积为V=色长57炳〃

36

51屈兀

故答案为:

--6-一

12.当动点P在正方体ABCD-A/CQ的棱OC上运动时，异面直线。，与BG所成角

的取值范围___________

【正确答案】

【思路点拨】

由正方体的性质易知AR//BG，故NA〃P即为所求，在△ARP中可求cosNA^P,

再利用余弦函数的性质即求.

【步步为营】

设正方体棱长为1,DP=x,则xe[0,l],连接A。，AP,

由正方体的性质可知AD"/BG，

/ARP即为异面直线2P与BC所成角,

在△ARP中，AD1=6,AP=D[P=，1+X2,

6

故

cosZAD.P=

Vi77

XVXG[0,1],

72

14

icosZAD,P=/2,

2，-2~

5/1+X2

又y=co&r在（0,"）为单调减函数,

冗71

NARPe4,7

U5生、r冗冗

故答案为：4'?

13.如图，正三角形42A，点A、B、C分别为边尸/、枕、［旦的中点，将三角形

沿A8、BC、C4折起，使不丹、巴三点重合为点P,则折起后［A与平面ABC所成

的角为.

Pl

Pl

【正确答案】arccosB

3

【思路点拨】

先判断所得几何体的形状，然后作出PO,平面A8C并判断出线面角，结合线段长度求

解出线面角的大小.

【步步为营】

由条件可知所得几何体为正三棱锥，过点尸作PO_L平面ABC,则。为底面AABC的

重心，如图所示，

因为R，P重合，所以[4与平面A8C所成的角即为ZPAO,

设正三角形的边长为“，所以AB=AC=3C=],

所以cosNA4O=-^—=立，

a3

2

所以《A与平面ABC所成的角为arccos也，

3

故答案为：arccos—.

3

14.如图，在正方体中，8a的中点为M,。的中点为N,异面直

线AM与D,N所成的角是一.

【思路点拨】

取CC'中点M，，连接DM',利用三角形全等证明"W'_LZyN即可得出答案.

【步步为营】

取CC中点M',连接

由于分别为B9,CC'的中点，且AZ)=5C=MM'

.•.皿/加为平行四边形

：.AMIIDM'

由于N,M'分别为CD,CC'的中点

/.CM'=DN,CD=DD'且:.ZM'CD=ND'DC=90°

故上DCM'^/\D'DN

可知NCOM'=/DO'M

ZCDM'+ZD'ND=NDDN+ND'ND=90。,

J.DM'LD'N,

：.AM1D'N,

：.异面直线AM与D'N所成的角为90°.

故答案为：90°.

15.已知线段AB与平面a相交，AB的长度为10,两端点到a的距离分别为2和3,

则与a所成角的大小为.

【正确答案】30°

【思路点拨】

设线段AB与平面a交于。点，通过已知条件和线段比例关系求出|4。|,然后通过图像

找出所求角即可求解.

【步步为营】

分别过A、8两点向平面a作垂线，垂足分别为N、M,连接MN,设线段A8与平面

a交于。点，如下图：

由图可知，AN//BM,故A、N、B、M四点共面，从而易知，。点也在线段上,

从而.AON-BOM,故而证=的'

因为线段A8两端点到。的距离分别为2和3,AB的长度为10,

不妨设14Vl=2,\BM\=3,

2|AO|

所以§=,解得，|AO|=4,

10-|AO|

因为AN_L平面a,从而线段A8与a所成角为NAON,且NAONe（0,工］,

2

所以sinNA°N=^^===g,故ZAQN=30「

故答案为：30.

16.如图所示正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC-A8c的底面边长为2,侧

棱长为2&，则AG与侧面所成的角为.

【正确答案】＞#

O

【思路点拨】

取4片的中点Q,连接CQ、AD,证明出G。，平面4B8A，可得出直线AQ与面

ABBH所成的角为NGA。，计算出4G和CQ,进而可求得NGAO.

【步步为营】

如下图所示，取A片的中点。，连接G。、AD,

•.•△ABC为等边三角形，D为A4的中点，则CQ“瓦,

•••AAJ_平面ABC,0。＜Z平面4耳£,

C.D1/L4,,

又A41nAq=A,

.•.G。，平面ABB/,

•・・直线AG与面ABBH所成的角为NGA。,

2

易得AC}=JAC+CC；=2G,C、D-AGsin—=>/3,

sinZC.AD=^-=-,

在R〃AC1。中,

AC12

•.•NGA力为锐角，则NGAO=f.

6

因此，直线AG与平面AB81A所成的角为］

o

故答案为：—.

O

17.直线/与平面a所成的角为g,则直线/与平面a内直线所成角的最小值是

【正确答案】^##60

【思路点拨】

根据题意可知线面角为再证明线面角是直线与平面a内直线所成角中最小的角，即

可求解.

【步步为营】

设直线/与平面a相交于点。，直线/上任一点。在平面a内的射影为点尸，连接0P,

。尸，

则NQOP即为直线/与平面a所成的角，所以NQOP=g,

下面证明直线/与平面a内直线所成角中，NQOP是最小的角，

设。P'为平面a内任意一条直线，

如图：过点P作RWLOP于点M,连接QM,

因为QP_L而a,QWu面a,所以QP_LOM,PMLOM,QPcPM=P,

所以OMJ■面QPM,乂因为QMu面。尸M,所以OM_LQM,

因为cosNQOP=空，cosZPOM=,cosZQOM=2^L

OQOPOQ

所以cosZ.QOM=cosZ.POMcosZ.QOP,

所以cosNQOM<cosZ.QOP,

因为y=cosx在（0e）上为减函数，所以NQOPW/QOM,

即直线/与平面a内直线所成角中线面角最小，

所以直线/与平面a内直线所成角的最小值是三.

故答案为：y.

18.已知直三棱柱ABC-A山iG中，ZABC=90°,48=2,BC=CC\=1,则异面直

线ABx与BCx所成角的正弦值为

【正确答案】巫

10

【思路点拨】

连接8C交8cl于点O,取AC的中点£>,连接。£>,易知NBOO或其补角即为所求,

再在AOBO中，由余弦定理，即可得解.

【步步为营】

连接8C,交BG于点O,则。为8。的中点，取AC的中点。，连接

ODUABy,OD=^ABi=叵,

NBOD或其补角即为异面直线ABi与BG所成角，

在AOBO中，BD=3AC=@,OB二BC尸包,

2222

由另玄jii耳:大口，cos/BOD=---------------=----，

206x0。10

・・・sinN8OO=^^,

10

・・・异面直线ABx与BCi所成角的正弦值为皿.

10

故答案为：亚.

10

B,

G

19.如图，三棱锥P-ASC中，平面ABC,。是棱PB的中点，已知R4=BC=2,

AB-4,BC1AB,则异面直线PC,AO所成角的余弦值为

【正确答案】叵

10

【思路点拨】

取8c的中点。，连接。。，AQ,易知NAOQ或其补角即为所求，结合勾股定理分别计

算出A。、。。和A。的长，再在△AOQ中，由余弦定理求出cosNADQ的值，即可得解.

【步步为营】

取8c的中点Q,连接。。，AQ,

为PB的中点，,PC//OQ,

；•NAOQ或其补角为异面直线PC与A。所成角，

在心AABC中，AC=>]AB2+BC2=>/42+22=2石，

与,=必¥=后,

AQ=.AB'+

:PA_L平面ABC,AB,ACu平面A8C,

PALAC,PArAB.

；•PC=ylP^+AC2=&+（2后）2=2#，PB=y/P^+AB2="+2?=2石，

:.DQ=；PC=n,AD=；PB=-B,

在△AQQ中，由余弦定理知,

心十0Q2_AQ2AD2+DQ2-AQ2回

cosZADQ=

2ADDQ2ADDQlo-

•.•异面直线所成角的取值范围为,

异面直线PC,所成角的余弦值为叵.

故答案为：詈

20.如图：已知4是△BCD所在平面外一点,AD=BC,E、尸分别是A3、的中

点，若异面直线4。与BC所成角的大小为。,AZ）与EF所成角的大小为

【正确答案】［-名或

22

【思路点拨】

利用异面直线夹角的定义知ZFGE或其补角是异面直线40与8c所成角，NGFE或其

补角是异面直线AO与E尸所成角，结合三角形内角和即可得解.

【步步为营】

取AC中点G,连接EG,FG

QE,G,尸分别是A8,AC,CD的中点，.•.£G〃BC,FG//AD

.•.NFGE或其补角是异面直线A。与8c所成角，\?GFE或其补角是异面直线AD与

EF所成角

又AD=BC,:.EG=FG,△尸GE为等腰三角形，

若Z.FGE=3,则Z.GFE=—~-=---

222

若NFGE=7r-e,则NGCE二万二(乃一8)=\

22

所以异面直线AZ)与E尸所成角的大小为或3

222

故答案为：彳或；

222

三、解答题

21.如图，已知E、尸分别是正方形A8CZ)边8C、8的中点，EF与AC交于点。,

PA.NC都垂直于平面ABCD,且P4=AB=4,NC=2,M是线段以上一动点.

(2)若PC//平面MEF,试求的值；

(3)当M是上4中点时，求二面角M-EF-N的余弦值.

【正确答案】(1)证明见解析；(2)(；(3)-叵.

333

【思路点拨】

(1)连接B。，易得BD//EF,由正方形的性质有8。_LAC,再由线面垂直的性质及

判定可证结论.

AMAO

(2)若M是P4的四等分点靠近户的位置，连接。M,结合题设易得黑==二=3,

再应用线面平行的判定可得PC//平面MEF,即可得PM:MA的值.

(3)连接。M,CW,由题设易知二面角M-E尸-N为万-(/WOA+/VOC),进而求

NWOA/VOC的正余弦值，应用诱导公式及两角和余弦公式求二面角M-EF-N的余

弦值.

【步步为营】

(1)连接5。，由E、F分别是8C、8的中点，则5£)〃£；尸，

由ABCD为正方形，则BOJ.AC,故所_LAC,

:PAJ_面ABCD，EFu面ABCD,

APAYEF,PADAC=A,则EF_L平面PAC；

(2)若〃是E4的四等分点靠近户的位置，连接。例，

由题设及(1),易知：。是AC的四等分点靠近C的位置，

A]\4AO

...在△PAC中——=—=3,即0M〃尸C,又QWu面MEF,PC<Z面MEF,

MP0C

二PC//平面MEE,符合题设.

故PC〃面M£户时，PM:MA=^.

(3)连接。M,ON,由(1)结论易知：二面角M—EF—A、N-EF-C的平面角分别

为ZMOA,ZNOC,则二面角Af-EF-N为"-(，。4+ZNOC),

由左=AB=4，NC=2,结合（2）知：MA=2,OA=3&OC=6,

tanZMOA=,tanZNOC=,则cosZMOA=—^=r,sinZWOA="^,

OA3ocVnVil

cosZNOC=4=，sinZNOC=,

由二面角M-£F-N的余弦值知：cos［不一（,。4+ZNOC）］=-cos（ZMOA+ZNOC）=

23

sinZMOAsinZNOC-cosZMOAcosZNOC=-f=一一一=一".

V33V3333

22.如图，45CD是正方形，SD_L平面ABC。，SD=AD=2.

S

(1)求证：AC±SB;

(2)求二面角C-SA-D的大小.

【正确答案】(1)证明见解析；(2)arccos—.

3

【思路点拨】

(1)连接AC,BD,由给定条件证得AC_L平面S3。即可得解；

(2)取SA中点E,连接CE,DE,探求得NCED为二面角C-SA-D的平面角即可计算得解.

【步步为营】

(1)连接AC,BD,如图，

因ABCD是正方形，贝ijAC_LB。，又S£)_L平面A8CO,ACu平面4BC。，则AC_LSD,

而BDcSD=D,且BO,SOu平面SBD,于是得AC_L平面S8/),又SBu平面58。，

所以ACLS3；

(2)由(1)知CDLAACDLSO,而4)cSD=D,A£),5Z)u平面S4O,因此，CDL平

面SA。，又SAu平面SW,则C£>_LSA,

取SA中点E,连接CE,DE,因SO=AZ)=2,则DE_L%,而C£>nDE=D,CD,DEu

平面CDE,于是得SA_L平面CDE,有SA_LCE,

从而得NCE力为二面角CSA-£>的平面角，在直角三角形CDE中，CD=2,DE=C，

则CE=C，cosZCED=—=—,

CE3

h

因此有Z.CED=arccos^-)

3

所以二面角C-SA-D的大小arccos］叵.

3

23.如图，长方体中ABCO-ABCR中，AB=AD=2,AAl=4,点尸为面4。力必的对

角线4。上的动点(不包括端点)，PNLBD^N.

(1)若点尸是AR的中点，求线段PN的长度；

(2)设AP=x,将PN表示为x的函数，并写出定义域；

(3)当PN最小时，求直线PN与平面ABC。所成角的大小.

【正确答案】(1)—：(2)PN=L的叱-40石x+200”(0,26)；(3)arcsin-.

2103

【思路点拨】

⑴过点P作PM〃DDi交AD于M,连MN,证明&)_LMN,P为AD1中点，求出PM,

MN长即可得解；

(2)利用(1)中信息，用x表示出PM,MN长即可得解；

(3)探求出直线PN与平面A8CO所成角，求出(2)中函数最小值即可计算作答.

【步步为营】

⑴在长方体中ABCD-ABQR中，过点p作PMMDD\交.AD于M,连MN,如图所示:

因。。_L平面A8CO,则加_1_平面438,而3Du平面ABCQ,则

因PNJ_8O,PNcPM=P,且PMPMu平面RWV,则有8。_1_平面尸MN,又MVu

平面PMN,于是得BD工MN,

点P是的中点时，因AB=AO=2,AA=4,则M是AD中点，PM=；A4,=2,

显然底面A8CD是正方形，则有MN=OMsin45=在，在直角三角形中，

2

PN=yJPM2+MN2=R+哼y=乎，

所以线段PN的长度是逑；

2

(2)当AP=x时，AD、=2加,sinNDAR=^=迈,由(1)知PM_LA£>,MN，3D,

AD、5

则PM=APs\nZDADt=竽x,AM=^-x,MN=DMsin45,=

在直角三角形中,PN=yjPM2+MN2

PMN［叫、亭2亨『

0W+2

105

因0<AP<AQ,UP0<x<2A/5.

所以/W=布,90/-40底+200,xe(0,2石)，

(3)由(1)知，NPNM是直线PN与平面ABC。所成的角，由(2)知,

1600>4

P/V=-^90(x-

97744PM1

当且仅当％二至三时，PN取最小值一，止匕时PM=—,sin/PNM=——=-,

939PN3

Z.PNM=arcsin—,

3

所以当PN最小时，直线PN与平面ABCD所成角的大小为arcsing.

24.如图，在边长为2的正方形ABC。中，点E是A8的中点，点尸是8C的中点，将△血),

(1)求证：AD±EF;

(2)求直线AD与平面EF7)所成角的正弦值.

【正确答案】(1)证明见解析；(2)

【思路点拨】

(1)由正方形ABC。折叠后，得到证得A'O_L平面A£F,进

而得到AOJ.EF.

(2)取E/中点G,连接AG,由折叠前后结合线面垂直的判定定理知所J_平面A'GD,

进而得到ZADG即为直线AD与平面EFD所成的角，在直角AA'DG中可求解.

【步步为营】

(1)证明：由题意，根据折叠前后，可得

又A'EnAN=A,所以A'DJ_平面AEF,

又EFu平面A'EF,所以A'O_LEP;

(2)取EF中点G,连接AG,由折叠前后知4E=AN=1,；.A'G_L£F,

DE=DF=&：.DGLEF,

乂£)GcAG=G,平面AGO,

A在面EFD的射影在DG上，则ZA'DG即为直