2022-2023学年江苏省徐州市八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省徐州市八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）1．下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（）去最省事．A．① B．② C．③ D．①③3．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL4．如图，在四边形ABCD中，对角线BD所在的直线是其对称轴，点P是直线BD上的点，下列判断错误的是（）A．AD＝CD B．∠DAP＝∠DCP C．AP＝BC D．∠ABP＝∠CBP5．在如图所示的方格纸中，△ABC的顶点均在方格纸的格点上，则在方格纸中与△ABC成轴对称的格点三角形共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（）A．9 B．10 C．11 D．157．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC平分线交于点O，若AB＝6，BC＝9，△ABO的面积为6，则△BCO的面积是（）A．9 B．18 C．13.5 D．548．已知△ABC的周长为1，BC＝1﹣2AB，则下列直线一定是△ABC的对称轴的是（）A．△ABC的边AB的垂直平分线 B．∠ACB的平分线所在的直线 C．△ABC的边AC上的高所在的直线 D．△ABC的边BC上的中线所在的直线二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）9．如图，两个三角形是全等三角形，x的值是．10．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为．11．等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为．12．如图，AC＝AD，∠1＝∠2，请你添加适当的条件（只需填一个即可），使△ABC≌△AED．13．如图，在△ABC的内部取一点O，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若∠ABC＝30°，且OM＝ON，则∠ABO＝°．14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，若∠B＝55°，过点A作AD⊥BC于点D，在CD上取一点B'，使BD＝B'D，则∠CAB'＝．15．如图，点P在△ABC的内部，且PB＝3，M、N分别为点P关于直线AB、BC的对称点，若MN＝6，则∠ABC＝°．16．如图，∠AOB＝70°，点C是边OB上的一个定点，点P在角的另一边OA上运动，当△COP是等腰三角形，∠OCP＝．三、解答题（本大题有9小题，共84分）17．在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝CD，AC与BD相交于点O，求证OB＝OD．证明：∵AB∥CD（）；∴＝（两直线平行，内错角相等）；在△AOB和△COD中；，∴△AOB△COD；∴OB＝OD．18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D，DE⊥AB，DF⊥AC，且BD＝DC，求证：EB＝FC．19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．（1）作四边形ABCD关于直线l的对称图形；（2）在直线l上找一点P，使PA+PC最小；（3）四边形ABCD的面积＝．20．已知：如图，AE∥CF，AE＝CF，DE＝BF，（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）线段AB与CD的关系为．21．如图，等边△ABC中，BD是边AC上的高，延长BC到点E，使CE＝CD，求证：BD＝DE．22．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，连接CD．（1）若∠B＝50°，求∠DCA度数；（2）若点E是AB上的一个动点，则线段CE的最小值为．23．操作与探究（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形；（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c．请你利用图拼成的大正方形证明勾股定理．24．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．将一个含45°角的直角三角尺DEF按图1所示放置，使直角三角尺的直角顶点D恰好落在BC边的中点处，将直角三角尺DEF绕点D旋转，设AB交DF于点N，AC交DE于点M，示意图如图2所示．（1）[证明推断]求证：DN＝DM；小明给出的思路：若要证明DN＝DM，只需证明△BDN≌△ADM即可，请你根据小明的思路完成证明过程；（2）[延伸发现]连接AE，BF，如图3所示，求证：AE＝BF；（3）[迁移应用]延长EA交DF于点P，交BF于点Q．在图3中完成如上作图过程，猜想并证明AE和BF的位置关系．

参考答案一、选择题（本大题有8小题，每小题3分，共24分）1．下列图形中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（）去最省事．A．① B．② C．③ D．①③【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带③去．解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，所以，最省事的做法是带③去．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．3．如图，AC与BD相交于点O，OA＝OD，OB＝OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL【分析】根据全等三角形的判定定理SAS求解即可．解：在△ABO和△DCO中，，∴△ABO≌△DCO（SAS），故选：B．【点评】此题考查了全等三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．4．如图，在四边形ABCD中，对角线BD所在的直线是其对称轴，点P是直线BD上的点，下列判断错误的是（）A．AD＝CD B．∠DAP＝∠DCP C．AP＝BC D．∠ABP＝∠CBP【分析】利用轴对称变换的性质解决问题即可．解：∵四边形ABCD是对称轴，∴△APD≌△CPD，△ABD≌△CBD，∴AD＝CD，∠DAP＝∠DCP，∠ABP＝∠CBP，故选项A，B，D正确，故选：C．【点评】本题考查轴对称变换的性质，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．5．在如图所示的方格纸中，△ABC的顶点均在方格纸的格点上，则在方格纸中与△ABC成轴对称的格点三角形共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据轴对称图形的定义与判断可知．解：如图所示：在方格纸中与△ABC成轴对称的格点三角形共有2个．故选：B．【点评】本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．6．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（）A．9 B．10 C．11 D．15【分析】由ED是AB的垂直平分线，可得AD＝BD，又由△BDC的周长＝DB+BC+CD，即可得△BDC的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC．解：∵ED是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∵△BDC的周长＝DB+BC+CD，∴△BDC的周长＝AD+BC+CD＝AC+BC＝6+4＝10．故选：B．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．7．如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC平分线交于点O，若AB＝6，BC＝9，△ABO的面积为6，则△BCO的面积是（）A．9 B．18 C．13.5 D．54【分析】过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，如图，根据角平分线的性质得到OD＝OE，然后根据三角形面积公式得到S△BCO：S△ABO＝BC：AB，据此即可得解．解：过O点作OD⊥AB于D点，OE⊥BC于E点，如图，∵OB平分∠ABC，∴OD＝OE，∴S△BCO：S△ABO＝BC：AB，∴S△BCO＝×6＝9，故选：A．【点评】本题考查了角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．8．已知△ABC的周长为1，BC＝1﹣2AB，则下列直线一定是△ABC的对称轴的是（）A．△ABC的边AB的垂直平分线 B．∠ACB的平分线所在的直线 C．△ABC的边AC上的高所在的直线 D．△ABC的边BC上的中线所在的直线【分析】根据条件可以推出AB＝AC，由此即可判断．解：∵1＝AB+BC+AC，∴BC＝1﹣2AB＝AB+BC+AC﹣2AB，∴AB＝AC，∴△ABC中BC上中线所在的直线是△ABC的对称轴，故选：D．【点评】本题考查了轴对称的性质、三角形的周长、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是根据条件推出AB＝AC，属于中考常考题型．二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）9．如图，两个三角形是全等三角形，x的值是30．【分析】根据三角形内角和定理求出∠A，根据全等三角形的性质解答即可．解：∠A＝180°﹣105°﹣45°＝30°，∵两个三角形是全等三角形，∴∠D＝∠A＝30°，即x＝30，故答案为：30．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．10．如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为100．【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A＝36+64＝100．解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝64，则斜边的平方＝36+64＝100．故答案为100．【点评】本题考查正方形的面积公式以及勾股定理．11．等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10．【分析】因为已知长度为2和4两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解：当2为底时，其它两边都为4，∵2、4、4可以构成三角形，∴周长为10；当2为腰时，其它两边为2和4，∵2+2＝4＝4，所以不能构成三角形，故舍去，∴答案只有10．故答案为：10．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．12．如图，AC＝AD，∠1＝∠2，请你添加适当的条件∠C＝∠D或∠B＝∠E或AB＝AE（只需填一个即可），使△ABC≌△AED．【分析】由已知∠1＝∠2可得∠BAC＝∠EAD，又有AC＝AD，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．可根据判定定理ASA、SAS尝试添加条件．解：添加∠C＝∠D或∠B＝∠E或AB＝AE（1）添加∠C＝∠D∵∠1＝∠2∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD∴∠CAB＝∠DAE又∵AC＝AD，∠C＝∠D∴△ABC≌△AED（ASA）（2）添加∠B＝∠E∵∠1＝∠2∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD∴∠CAB＝∠DAE又∵AC＝AD，∠B＝∠E∴△ABC≌△AED（AAS）（3）添加AB＝AE∵∠1＝∠2∴∠1+∠BAD＝∠2+∠BAD∴∠CAB＝∠DAE又∵AC＝AD，AB＝AE∴△ABC≌△AED（SAS）故填∠C＝∠D或∠B＝∠E或AB＝AE．【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．13．如图，在△ABC的内部取一点O，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若∠ABC＝30°，且OM＝ON，则∠ABO＝15°．【分析】根据角平分线的判定定理求解即可．解：∵OM⊥AB，ON⊥BC，OM＝ON，∴OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°．故答案为：15．【点评】此题考查了角平分线的判定，熟记角平分线的判定定理是解题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，若∠B＝55°，过点A作AD⊥BC于点D，在CD上取一点B'，使BD＝B'D，则∠CAB'＝20°．【分析】根据直角三角形的性质可求∠C＝35°，根据垂直平分线的性质可求∠AB′D＝55°，再根据三角形外角的性质即可求解．解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝55°，∴∠C＝35°，∵AD⊥BC，BD＝B'D，∴∠AB′D＝55°，∴∠CAB'＝∠AB′D﹣∠C＝55°﹣35°＝20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，求得∠C＝35°，∠AB′D＝55°是解题的关键．15．如图，点P在△ABC的内部，且PB＝3，M、N分别为点P关于直线AB、BC的对称点，若MN＝6，则∠ABC＝90°．【分析】证明M，B，N共线，利用轴对称变换的性质求解即可．解：如图，连接BM，BN．∵P，M关于AB对称，P，N关于BC对称，∴PB＝BM＝BN＝3，∵MN＝6，∴M，B，N共线，∴∠MBN＝180°，∴∠ABC＝∠PBM+∠PBN＝（∠PBM+∠PBN）＝90°，故答案为：90．【点评】本题考查轴对称的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．16．如图，∠AOB＝70°，点C是边OB上的一个定点，点P在角的另一边OA上运动，当△COP是等腰三角形，∠OCP＝55°或40°或70°．【分析】分三种情况：①OC＝OP1；②CO＝CP2；③P3O＝P3C；根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解．解：①OC＝OP1，∵∠AOB＝70°，∴∠OCP1＝＝55°，②CO＝CP2，∵∠AOB＝70°，∴∠OCP2＝180°﹣70°×2＝40°；③P3O＝P3C，∵∠AOB＝70°，∴∠OCP3＝70°．综上所述，∠OCP＝55°或40°或70°．故答案为：55°或40°或70°．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，关键是分三种情况结合三角形内角和定理求解．三、解答题（本大题有9小题，共84分）17．在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝CD，AC与BD相交于点O，求证OB＝OD．证明：∵AB∥CD（已知）；∴∠OAB＝∠COD（两直线平行，内错角相等）；在△AOB和△COD中；，∴△AOB≌△COD；∴OB＝OD全等三角形的对应边相等．【分析】由SAS证明△AOB≌△COD，即可得出结论．解：∵AB∥CD（已知）；∴∠OAB＝∠OCD（两直线平行，内错角相等）；在△AOB和△COD中；，∴△AOB≌△COD（AAS）；∴OB＝OD（全等三角形的对应边相等）．故答案为：已知；∠OAB，∠OCD；≌；全等三角形的对应边相等．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D，DE⊥AB，DF⊥AC，且BD＝DC，求证：EB＝FC．【分析】根据角平分线的性质可得出DE＝DF，结合BD＝CD即可证出Rt△BED≌Rt△CFD（HL），再根据全等三角形的性质即可证出EB＝FC．【解答】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°．在Rt△BED和Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴EB＝FC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，根据角平分线的性质结合BD＝CD证出Rt△BED≌Rt△CFD（HL）是解题的关键．19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．（1）作四边形ABCD关于直线l的对称图形；（2）在直线l上找一点P，使PA+PC最小；（3）四边形ABCD的面积＝8．【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C，D的对应点A′，B′，C′，D′即可；（2）连接AC′交直线l于点P，连接CP，点P即为所求；（3）把四边形的面积看成矩形的面积减去周围的4个三角形面积即可．解：（1）如图，四边形A′B′C′D′即为所求；（2）如图，点P即为所求；（3）四边形ABCD的面积＝4×4﹣2××1×2﹣2××2×3＝8，故答案为：8．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．20．已知：如图，AE∥CF，AE＝CF，DE＝BF，（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）线段AB与CD的关系为AB∥CD，AB＝CD．【分析】（1）证得DF＝BE，可证明△ABE≌△CDF（SAS）．（2）由全等三角形的性质得出∠ABE＝∠CDF，AB＝CD，得出AB∥CD，则可得出结论．【解答】（1）证明：∵DE＝BF，∴DE﹣EF＝BF﹣EF．即DF＝BE，∵AE∥CF，∴∠AEF＝∠CFE，∴∠AEB＝∠CFD，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）解：AB∥CD且AB＝CD．理由：∵△ABE≌△CDF，∴∠ABE＝∠CDF，AB＝CD，∴AB∥CD，AB＝CD．故答案为：AB∥CD，AB＝CD．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．21．如图，等边△ABC中，BD是边AC上的高，延长BC到点E，使CE＝CD，求证：BD＝DE．【分析】由等边三角形的性质得出∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，证出∠CDE＝∠CED＝30°，则可得出结论．【解答】证明：∵等边△ABC中，BD是边AC上的高，∴∠ABD＝∠CBD＝30°，∠ACB＝60°，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴∠DBC＝∠CED，∴BD＝DE．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．22．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，连接CD．（1）若∠B＝50°，求∠DCA度数；（2）若点E是AB上的一个动点，则线段CE的最小值为4.8．【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝DB，从而利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠DCB＝50°，最后进行计算即可解答；（2）根据垂线段最短可得：当CE⊥AB时，线段CE有最小值，然后利用面积法进行计算即可解答．解：（1）∵AB＝10，AC＝6，BC＝8，∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∵点D是AB的中点，∴CD＝DB＝AB，∴∠B＝∠DCB＝50°，∴∠DCA＝∠ACB﹣∠DCB＝40°，∴∠DCA度数为40°；（2）当CE⊥AB时，线段CE有最小值，∵△ABC的面积＝AB•CE＝AC•BC，∴AB•CE＝AC•BC，∴10CE＝6×8，∴CE＝4.8，∴线段CE的最小值为4.8，故答案为：4.8．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质，垂线段最短，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．23．操作与探究（1）图1是由有20个边长为1的正方形组成的，把它按图1的分割方法分割成5部分后可拼接成一个大正方形（内部的粗实线表示分割线），请你在图2的网格中画出拼接成的大正方形；（2）如果（1）中分割成的直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c．请你利用图拼成的大正方形证明勾股定理．【分析】（1）根据网格用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，即可完成拼图；（2）利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理；解：（1）如图所示即为拼接成的大