《选择性必修三》随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布列第2课时

2022年安徽省高中优质课团体赛（马鞍山市）7.3离散型随机变量的数字特征安徽省含山中学

韩培杰7.3.1离散型随机变量的均值1.情境引入

赌本分配问题：甲乙两人通过掷硬币进行赌博，每局正面朝上甲胜，反面朝上乙胜.双方各出50个金币，约定的规则是先胜三局者获得全部100枚金币，当赌博进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某种原因终止了赌博，那么该如何分配这100枚金币才比较公平？

【问题1】甲乙两名射箭运动员进行射击比赛，各射击4次，成绩如下（单位：环）：甲78910乙68910甲乙两人谁的射箭水平更高呢？2.问题探究

【问题2】甲乙两名射箭运动员各进行了100次射击，成绩如下（单位：环）：环数78910甲射中的频数10203040乙射中的频数15254020如何比较甲乙两人谁的射箭水平更高呢？

【问题3】甲乙两名射箭运动员根据以往的射击比赛成绩，得到分布列如下表所示：环数78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比较甲乙两人谁的射箭水平更高呢？定义：一般地，若离散型随机变量

的分布列如下表所示，则称

为随机变量

的均值或数学期望，数学期望简称期望.

均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平.3.抽象概念

【例1】在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？

【练习】抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为,求的均值.4.概念理解

【观察】掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数

的均值为3.5.随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数.演示

【探究】如果

是一个离散型随机变量，

加上一个常数或乘以一个常数后，其均值会怎样变化？即

和

（其中

为常数）分别与

有怎样的关系？5.性质探究

【试一试】一般地，若

，请根据和的分布列，推导出与

的关系【例2】猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌

歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示:歌曲猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000规则如下:按照

的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，求嘉宾获得的公益基金总额

的分布列及均值.6.典例分析

【思考】如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大呢？

可以发现，按由易到难的顺序猜歌，获得的公益基金的期望值最大.猜歌顺序21442256211219041872【例3】根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下三种方案：方案1

运走设备，搬运费为3800元；方案2

建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水；方案3

不采取措施，希望不发生洪水.工地的领导该如何决策呢？分析：决策目标为总损失（投入费用与设备损失之和）越小越好.天气状况大洪水小洪水没有洪水概率0.010.250.74总损失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000方案2和方案3的总损失都是随机变量，可以采用期望总损失最小的方案.根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如下表所示：请同学们回顾本节课的学习内容和学习过程，并回答下列问题：思考：你能运用数学期望的知识解决前面的“赌本分配”问题吗？7.总结提升（1）离散型随机变量的均值定义是什么？（2）离散型随机变量的均值与样本的平均值有什么区别和联系？（3）利用期望值原则进行决策时需要注意什么问题？它的作用是什么？我们是如何得到离散型随机变量的均值定义的？【必做题】

1.课本第67页练习第3题；

2.课本第71页习题7.3第2,3,