Chap1-风险和收益的衡量

第二部分

资产组合理论PortfolioManagement2“不要把所有的鸡蛋都放在同一只篮子里。”——1981年诺贝尔经济学奖公布后，记者要求获奖人、耶鲁大学的JamesTobin教授尽可能简单、通俗地概括他的研究成果，教授即回答了这句话3内容提要收益和风险的衡量风险资产组合理论—HarryMarkowitz风险资产组合与无风险借贷的结合—JamesTobin注意！本章内容具挑战性——汇聚数位诺贝尔奖得主的研究成果风险资产组合理论15从一则故事说起……从前，一老妪膝下生有

二女：长女嫁至城东染布

店作妇、小女许与城西雨

伞店为媳。遇天雨，老妇

就愁眉不展；逢天晴，老

妇也唉声叹气，全年到头

未尝舒心开颜。人怪之，或问其故，对曰：“阴天染布不得晒，晴天伞具无从卖。悲乎吾二女，苦哉老身命！”

……故事本意劝人换个角度看问题，但其中也蕴含多元化减低风险的道理——16例：多元化降低风险——

DiversificationReducesRisk投资天气概率结果加权结果染布店晴天.40￥600￥240（￥1,000）下雨.60-200-120预期结果￥120雨伞店晴天.40-￥300-￥120（￥1,000）下雨.60500300预期结果￥180组合：晴天.40￥300￥120染店＋伞店下雨.60300180（￥2,000）预期结果￥30017多元化的效果本例中，单独来看两项投资都有风险，但若将它们看成是包含在一个投资组合中的项目时，不确定性完全消失（不论阴晴皆稳赚￥300），风险为零。这是多元化（diversification）的一个特例：多元化完全消除风险在其它大多数情况下，多元化只能部分消除风险。但这已经够了——想想看，两个或多个风险项目组合在一起，风险不是相加，而是相抵！1Chap1风险和收益的衡量1概率基础知识事件随机变量概率概率分布数学期望方差标准差协方差相关系数单一资产的收益与风险1预期未来收益与风险历史收益与风险单一资产的收益持有期收益率

波音公司股票1983年12月31日和1984年12月31日的价格分别是29.13美元和37.75美元，1984年该股票每股股息是0.93美元。第i种资产第t期的收益率单一资产的收益单一资产多期收益率单一资产的收益(4.4)例：单一资产投资收益率的计算单一资产的收益=AVERAGE（）=GEOMEAN（）-114单一资产的收益——

单一资产的预期收益率(expectedreturn)根据历史预测未来投资前景，考虑各种可能情况及其出现的概率pi、该种情况下的可能收益率Ri，并进行加权平均：1单一资产的收益(4.3)∑pi=115表：单一资产预期收益率的计算1单一资产的收益=SUMPRODUCT（）表：染布店和雨伞店的预期收益率16单一资产的收益1单一资产的风险——

风险就像赌博一样，当你押大时，你的期望是开大，而真正“开”的时候却是小，那你就要输钱。实际与预期可能不符就是风险。前例，期望可以获得10%的收益，实际上却获得了5%，偏离了你的期望值。你在最初投资时就存在风险，因为实际与预期不相符。单一资产的风险金融学上的风险表示收益的不确定性。（注意：风险与损失的意义不同）。由统计学上知道，所谓不确定就是偏离正常值（均值）的程度，那么，方差（标准差）是最好的工具。118单一资产的风险——

单一资产收益率的方差(variance)

/标准差(standarddeviation)1单一资产的风险(4.1)(4.2)19表：单一资产收益率的方差/标准差计算1单一资产的风险20表：染布店和雨伞店收益率的方差/标准差标准差相等，风险相同？1单一资产的风险21表：染布店和雨伞店单一投资的

收益与风险染布店雨伞店预期收益率E(R)12%18%方差σ2.1536.1536标准差σ39.19%39.19%1单一资产的风险历史风险单一资产的风险

不是无偏估计历史风险单一资产的风险历史风险的衡量单一资产的风险(4.5)历史风险单一资产的风险=AVERAGE（）=GEOMEAN（）-1=VAR（）=SQRT（）=STDEV（）单一资产多期收益率单一资产的收益和风险(4.4)(4.5)资产组合的收益与风险128资产组合权数portfolioweights组合中每一单项资产投资占资产组合总价值的百分比，记作wi在我们前面的投资组合例子中，

染布店、雨伞店的投资组合权数各是多少？1资产组合的收益29资产组合的收益——

组合的预期收益率portfolioexpectedreturn资产组合的预期收益率第i项资产的

预期收益率第i项资产的投资组合权数投资组合中的资产数目1或记作：资产组合的收益率是单一资产收益率的加权平均。资产组合的收益(4.7)30表：染布店＋雨伞店组合的预期收益率1资产组合的收益31资产组合的风险——

组合收益率的方差/标准差切忌惯性思维。资产组合的风险非单个资产风险的加权。正如我们已看到，该组合不存在风险，故而组合的方差/标准差应该为0。正确的计算方法仍可从方差的定义出发——1资产组合的风险32表：染布店＋雨伞店组合收益率的

方差与标准差计算1资产组合的风险(4.8)33表：单项资产的收益与风险vs.

资产组合的收益与风险染布店雨伞店组合：

染店+伞店预期收益率，E(R)12%18%15%方差，σ2.1536.15360标准差，σ39.19%39.19%0从收益与风险看多元化，其得失如何1资产组合的风险多元化减少风险的原理135收益率的协方差(Covariance)衡量组合中一种资产相对于其它资产的风险，记作Cov(RA,RB)或σAB。衡量两个随机变量如何共同变化，即它们之间的互动性。协方差>0，该资产与其它资产的收益率正相关协方差<0，该资产与其它资产的收益率负相关协方差=0，该资产与其它资产的收益率不相关1协方差(4.10)36表：染布店和雨伞店收益率的协方差1协方差37用协方差计算组合的方差（两种资产）若已知两种资产的协方差σAB和各自的方差σA2、σB2，则由这两种资产按一定权重构成的组合的方差为：wA

、wB为资产组合权数，wA

+wB=11协方差两种资产组合的风险协方差39例：用协方差计算雨伞店＋染布店

组合的方差已知：WA=WB=

.5,οA2=οB2=.1536,οAB=-.1536,则组合的方差——计算结果同表5-71协方差40收益率的相关系数(Correlation)——

将协方差标准化协方差的数值大小难以解释，解决办法就是计算两种资产的相关系数——协方差除以各自标准差的乘积：相关系数总是介于+1和-1之间，其符号取决于协方差的符号“rho”1相关系数(4.13)41例：染布店和雨伞店收益率的相关系数ρAB

=+1，两种资产的收益率完全正相关(极罕见)ρAB>0，正相关（最常见）ρAB

=0，无关（极罕见）ρAB<0，负相关（罕见）ρAB

=-1，完全负相关（极罕见）1相关系数42两种资产的协方差σAB可被定义为相关系数同每个单项资产标准差的乘积——σAB=ρABσAσB，故两种资产组合的方差又可表示为多元化减少风险的原理该式不仅为我们提供了另一种计算资产组合的方差的途径，更重要的是，它揭示了多元化效应产生的机理——143多元化减少风险的原理（续）若ρAB=1，σP

=wAσA+wBσB，组合的风险等于单个资产风险的加权平均数——即若两种资产收益率完全正相关，多元化无助于消除风险若ρAB<1，σP<wAσA+wBσB，组合的风险小于单个资产风险的加权平均数。亦即，只要两种资产收益率不完全正相关，组合的多元化效应就会起作用当ρAB=－1，多元化将能完全消除风险144推广到多种资产组合*以上仅讨论两种资产的组合，我们还可以将其推广到多种资产构成的组合，即只要组合中两两资产收益间的相关系数<1，组合的标准差（风险）一定小于组合中各种资产标准差（风险）的加权平均数——多元化效应一定会出现1多元化效应及其启示146N种资产组合的方差资产组合的方差是构成资产方差的加权平均与每两种不同资产之间协方差的加权平均之和——其中：i≠j(4.9)1如何推导？47表：N种资产组合方差的矩阵计算表资产123…N1w12σ12w1w2σ12w1w3σ13…w1wNσ1N2w2w1σ21w22σ22w2w3σ23…w2wNσ2N3w3w1σ31w3w2σ32w32σ32…w3wNσ3N………………NwNw1σN1wNw2σN2wNw3σN3…wN2σN2注：wi为第i种资产的投资比例；矩阵对角线为每种资产方差，其它各项则为协方差；非对角线上的项数，大大超过对角线项数——资产组合种数148表：组合中的方差与协方差项数与

构成组合的资产种数之间的关系构成组合的

资产种数组合方差的

总项数组合中各种资产方差的项数组合中各对资产协方差的项数11102422393610100109010010,0001009,900…………NN2NN2

－N随着投资组合中资产种数的增加，资产间的协方差

对组合方差的影响大于单项资产方差对组合方差的影响149例：一个特殊的资产组合假设表(p48)中，(1)每种资产具有相同的方差（Var）；(2)每对资产的协方差相同（Cov

）

；(3)每种资产占组合比例相同（1/N）资产123…N1(1/N2)Var(1/N2)Cov(1/N2)Cov…(1/N2)Cov2(1/N2)Cov(1/N2)Var(1/N2)Cov…(1/N2)Cov3(1/N2)Cov(1/N2)Cov(1/N2)Var…(1/N2)Cov………………N(1/N2)Cov(1/N2)Cov(1/N2)Cov…(1/N2)Var150特殊资产组合的方差将上表的各项相加，得到该特殊资产组合的方差为：不断增加组合中资产的种数，N∞(4.15)(4.16)151图：特殊组合方差与组合中资产种数

之间的关系组合的风险组合中资产的种数1234不可化解风险：组合风险、市场风险、或系统性风险可化解风险：特有风险、或非系统性风险152从特殊资产组合的方差看多元化效应当组合中资产种数增加时，组合的方差逐步下降，这就是组合的多元化效应（可推广至协方差、标准差不相等的一般情形）各种资产的方差会因组合被分散消失，但各对资产的协方差不因组合而被分散消失，组合的方差成为组合中各对资产的平均协方差投资组合能分散和化解部分风险，但不能分散和化解全部风险上述结论对于现实证券投资的指导意义是——153多元化效应的启示投资者可以通过增加证券品种，构建投资组合以化解个别证券的一些风险存在一个不能仅仅通过分散化来化解的最低风险水平。即使投资者能买齐所有种类的证券（购买市场组合），仍有部分风险无法消除从图中可见，通过增加证券个数来降低风险所获的好处，将随着证券数量的增多而越来越小（边际收益递减）；同时在现实生活中，多元化存在相应的成本（如佣金）。权衡多元化的得失，国外研究最优多元化需要由大约30种证券构成一个投资组合154多元化与非系统风险非系统风险（unsystematicrisk）只影响某一证券或某一组证券，是个别公司或资产所特有的，又称特有风险（uniquerisk），或具体资产风险（asset-specificrisk）多元化能使组合内个别资产之间的非系统风险相互抵消而被化解，一个相当大的投资组合几乎没有非系统风险，所以非系统风险又被称作可分散风险（diversifiablerisk）155多元化与系统风险系统风险（systematicrisk）作用于全体证券，不能通过多元化予以消除——“覆巢之下，安有完卵”。也称市场风险（marketrisk）或不可分散风险（nondiversifiablerisk）某一证券的总风险＝系统性风险＋非系统性风险对于投资者来说，某一证券的总风险（方差）并不重要。当增加一种证券于组合中，投资者关心的是该证券的系统风险（协方差）——即该种证券对整个投资组合风险的贡献后续章节将加以具体说明156例：多元化效应的应用假设你有￥10万，并有一个投资项目——由掷一枚均匀硬币来决定你是取得连本带利4倍的回报（正面），或是分文不归（反面）。有如下两种可供选择的投资策略：将￥10万尽数投入，一掷定输赢每次投入￥1万，掷10次硬币两种策略的预期收益率相同，都是100%，你选哪一个？157你选的是这个答案吗？作为风险厌恶者，当然选b。因为两种投资策略的预期收益率都一样