金融数量方法讲义 第一章 绪论

1《金融数量方法》

QuantitativeMethods

inFinance主讲教师：程兰芳授课对象：131191班2课前说明课程性质：专业选修课（考查）教学时间：第1周-16周教学学时：32课时考核成绩：总评成绩=平时成绩×30%+期末成绩×70%授课方式：课堂讲授+课中后练习3主要参考文献[英]特里·J.沃特沙姆；基思·帕拉莫尔著，陈工孟，陈守东译：《金融数量方法》，上海人民出版社，2004。2.[美]SheldonM.Ross著，陈典发等译：《数理金融初步》，机械工业出版社，2005。3.张树德编著《金融数量方法教程》，经科出版社，2010年8月

4.约翰·赫尔著，张陶伟译：《期权、期货和衍生证券》，华夏出版社，19975.郑志勇：《金融数量分析——基于MATLAB编程》，北京航空航天大学出版社，20096.杨云红编著：《金融经济学》，武大出版社，20064本课程特点1.注重金融学中使用的定量方法，量化投资模型（包括数学工具）及其应用2.需要一定量的理论推导3.有些内容与金融经济学内容重复，但侧重背后的理论方法4.可能有些难度5内容简介本课程的内容含量较大，信息量较多。从涉及的学科分支来看，将涉及高等数学、线性代数、概率论与数理统计、运筹学、西方经济学、计量经济学、多元统计分析、投入产出学、投资学、金融学等多个分支。该课程将全面地、系统地、深入浅出地讲授数量分析方法，以及其如何应用于经济问题中，从而解释和解决实际金融现象，不仅使学生更好地体会和掌握数量分析方法的思想精髓，而且使他们基本把握分析实际问题的关键因素，可以说它是一门集数量分析方法与金融学应用于一体的综合性课程，具有交叉学科的属性。具体来说，本课程在简介数量分析方法的思想精髓的基础上，重点对其在经济领域中的大量应用实例进行详细和深入的剖析。由于总学时所限，本课程内容共分如下六章。6本课程主要内容体系CH1金融中的微分法CH2数据描述与描述统计学CH3金融中的概率方法Ch4金融中的优化方法CH5金融计量学方法

CH6金融衍生品定价中的数量方法7CH1金融中的微分法

主要内容§1.1微分法基础§1.2金融中的微分法8§1.1微分法基础主要内容一、极限的概念及其性质二、一阶导数和高阶导数概念及其几何意义三、Taylor级数展开及其近似逼近9一、极限的概念及其性质１.函数在某一点的极限定义：2.重要极限之一：3.极限性质：四则运算10

二、一阶导数与二阶导数及其几何意义在经济和金融问题中常用到变化率的概念，而变化率又分为平均变化率与瞬时变化率。平均变化率主要用于离散问题的分析，意思就是函数增量和自变量增量之间的比率。用符号表示为

△y/△x瞬时变化率则是指自变量连续变化的情形，也就是某一个函数关于自变量的导数，即当自变量增量趋于零时的平均变化率的极限。用符号表示为111.一阶导数的概念如果函数y=f(x)在x0可导，则在范围（x0,x0+△x）内的平均变化率为而在x=x0处的瞬时变化率为可见，瞬时变化率就是函数在某一点的导数。表示切线的斜率数值在经济学中，将这两种变化率统称为y在x=x0前一个单位时y的边际变化。区别是前者在实际应用中常用于有函数形式下的离散情形，而后者则用于已知函数条件下的连续情形。12若导数值在某一区间恒大于0，则是递增函数，即f(x)随着x的变大（或小）而增大（或减少）。一阶导数常用来判定函数的单调增减性。132.高阶导数的概念及其几何意义实际上，对于任意给定的x,一阶导数仍然是自变量x的函数，故称为导函数．那么，我们称一阶导函数的导数为原来函数的二阶导数．其符号表示曲线的弯曲方向，即凹凸性。其几何意义为函数变化率随x变动的变化率，常常用来判定函数的极大值，还是极小值。如，恒小于0，则表明切线斜率函数递减，函数有极大值。14

3.隐函数及其求导公式

（1）隐函数的定义：已知二元方程F(x,y)=0,满足该方程的两个变量x与y之间就存在一个对应，即任意给定x的数值，就有确定的y的数值与之对应，从数学角度看，该对应就是一个函数，即任意一个xy称该对应确定的函数为y对x的隐函数,用符号表示为y=f(x)。如，x+y=0之所以称为隐函数就是因为在多数情况下，不能将y写成x的显函数形式。例如，方程确定了一个隐函数y=f(x)15上述定义仅仅说明，由任何一个二元方程在一定条件下，就能确定一个隐函数，这属于隐函数的确定问题。在隐函数确定了以后，我们还需要进一步求出该函数关于自变量的变化率，即隐函数的导数如何计算？16（2）隐函数的求导公式于是，该隐函数关于自变量的导数的计算公式为注意，这是有条件的，而且公式前面有负号。这说明一元的隐函数的导数可借助于已知的二元显函数的偏导数来表示关于隐函数的存在和求导问题在经济学中常常用于均衡分析（均衡的确定）及其比较静态分析（均衡的变动）。17三、Taylor级数展开基本思想：把一个复杂的、非线性函数近似表示为简单的函数，即用简单的函数去近似一个复杂函数，其有利工具就是级数的展开。一般公式为这表明任何一个复杂的函数可表示为无穷多项简单的幂函数之和。当然，x可以选取所喜欢的任何一点去近似或逼近。当h很小时，即在x附近的函数值，就可以省略掉后面的无穷多项，而只用前面的有限项的近似值来代替。如可用右边的线性函数（可根据需要选择一阶或二阶、甚至高阶来近似）来近似。表达式会写吗？二阶近似表达式呢？18当x在x0附近变化很小时，可以只取一阶导数部分来近似，即作为一阶近似值，Y值的变化可以通过沿着直线，而非曲线移动取近似值。19图像20§1.2金融中的微分法一、货币时间价值及其应用二、使用Taylor级数估计债券价格的收益率曲线三、使用微分度量债券价格的风险四、债券的凸性21一、货币时间价值及其应用所谓货币的时间价值，是指一定量的货币在不同时点上的价值量的差额。对其定义有以下几种：众所周知，在市场经济条件下，既使不存在通货膨胀，等量的货币在不同时点上的价值量也不相等。今天的1元钱与明年的1元钱是不等值的，前者要比后者的价值大。比如，若银行的年利率为6%，今天的1元钱存入银行，一年以后就会是1.06元。可见，经过一年时间，这1元钱就有了0.06元的增值，也就是说，今天的1元钱与一年后的1.06元钱等值。我们将货币（资金）在使用过程中随时间推移而发生的增值现象，称为货币具有时间价值的属性。22Note:资金时间价值与利率不同资金时间价值：指没有风险和通货膨胀下的社会平均资金利用率。利率：不仅包含着资金时间价值，而且也有风险价值和通货膨胀因素。实务上：通货膨胀率很低情况下可以用政府债券利率来表示时间价值。23一、货币时间价值及其应用

在金融学、投资学以及财务管理中，货币（资金）的时间价值问题具有广泛的应用。其中,两个最重要的概念是现值(PresentValue)与终值（FinalValue）.现值是指将来得到或支付的一笔资金在今天的价值。终值是指今天得到或支付的某笔资金在将来某时刻的价值。计算现值的过程称作贴现（Discounting），计算终值的过程称作复利(compounding)。24（一）货币的终值例如，你今天存入银行1000元，存期为1年，在年利率为6%的条件下，一年后将得到本金与利息的总和，共计1000+60=1060元。也就是这笔资金在一年后时刻的终值。那么，本息之和与哪些因素有关呢？25从中可以看出，一笔资金的终值大小取决于以下几个因素：1.利率（rateofinterest）：rori2.存款期限(timetomaturity):n3.计息方式包括：单利(simpleinterest),复利(compoundinterest)如果是复利计息的话，还要考虑计息频率、(frequencyofthecompounding)26（一）单利

1.单利的终值（F）单利，是指每期都按照初始本金计算利息，当期利息即使不取出也不计入下一期本金，即计息本金额始终为初始本金，保持不变。单利特点：只有本金计息，利息不计息。例：本金10000元，年利息率为10%，期限3年，则3年后的本息和为：

10000×（1＋10%×3）＝13000元单利终值=本金+单利利息

=P+P·i·n=P(1+i·n)272.单利现值：是单利终值计算的逆运算比如，你打算5年后积蓄到10万元，若现在的年利率为4%，则现在应该一次性存入银行多少钱？（按照目前银行的单利计算）28（二）复利的终值与现值

复利计息特点：不仅本金计息，利息也计息。俗称“利滾利”年期初金额（本金或现值）利息期末金额（本息和，即终值）110000100011000211000110012100312100121013310假设年利率为10%29例：一次投资100元，利息为每年10％，各年末的终值为一年后：100×（1+10%）＝110

二年后：5年后：...100×1.1×…×1.1＝100×1.15用复利方式计算终值301.复利计息下的终值复利终值，是指一定量的本金按照复利计算若干期后的本利和（价值）。若每年计息一次复利，某笔资金P在年利率为i的条件下,n年后的终值的计算公式为其经济意义是什么？复利终值系数，记为(F/P，i，n),书后面有附录A可查出其值31复利计息的收益变化规律是，在最初较短的时间内，终值（收益）增速比较缓慢，但随着时间的推移，收益就呈现几何级数的增长态势，并且时间越长，收益的增长速度变得越高。从数学角度看，这是指数函数，它的图形你会画吗？32理财学中有著名的“72法则”若存入1元钱，且年利率为1%，则大约经过72年后，其值就会翻番至2元。若年利率为2%,则需要多少年呢？你能否给出一般性公式？33复利的魔力在金融实务和现实经济生活中，人们利用复利原理进行长期投资具有神奇和巨大的威力。著名科学家阿尔伯特·爱因斯坦曾将其认为：复利是世界上的最奇异的现象，它的奥秘在于既简单又不可思议，是投资理财的重要基础原理之一。34前面的计息方式是一年复利一次。

但在许多金融交易中，复利计算的频率比一年1次要多，例如，利息经常是按照季度、月度加入到本金中的，于是会更早些时候计算利息加入到本金中，且利息本身会更早的获得新利息。一般的，若一年复利计息次数为m,那么n年后的本息和，即复利终值则为每期利率计算复利的总次数35例如，存入1000元，年利率为6%，按照季度计算复利，则3年后的终值为可以看出，把年计息改为按照季度计息会得到更多的利息，即终值会更大一些（请问按照年复利计算的终值是多少？）。36可以想象和证明，当计息频率m越来越频繁时，以至于每时每刻都计息，则会导致终值越来越大。当m无限增大时（计息频率无限大）,复利终值是不会无限增加的，会收敛到某个有限的常数值。这就是极限方法的一个重要应用，称为连续复利(continuouscompounding)。其经济意义是，随着计息频率无穷大以至于利息被不间断的增加到本金中，导致本金呈现指数增长。其中e为指数常数，近似为2.71828372.连续复利的作用很多金融学理论中都用到连续复利的假设期权定价模型中也使用了连续复利。另外，把具有不同计息频率的利率转化为相应的连续复利也便于利率之间的比较。因此，分期复利率与连续复利之间的转化就成为必要383.把分期复利率转化为相应的连续复利率条件：某笔资金投资于连续复利率(continuouscompounding)得到的终值，与投资于相应的分期复利率(discretecompounding)下的终值相等因此容易解得：例如，与年利率6%，按季度计息的分期复利相对应的连续复利率为显然，比分期利率要小，Why?请思考如何直观理解！394.把连续复利率转化为相应的分期复利率根据等式解得：例如，假设连续复利率每年为12.5%，那么相应的每年4次计息的分期复利率为显然，比连续复利率要大，Why?请思考！405.复利的现值

例如：某人存入一笔钱，想5年后得到10万，若银行存款年利率为5%，请问：现在应一次性存入多少？

答案：单利：P=S/（1+n×i）=10/（1+5×5%）=8（万元）

复利：P

=S×（1+i）-n=10×（1+5%）-5

=10×0.7835=7.835（万元）

这就是复利的现值计算了！415.复利的现值复利现值，就是指未来时点上收到或支付的一笔款项，按照某个利率所计算出的现值。它是终值的逆运算。其优点是，通过计算现值，能够使得在未来不同时点上发生的若干笔现金流可以比较，因而它们可以被加总。

复利现值的计算公式：复利现值系数，记为(P/F，i，n),可查附录B查出值复利终值系数与复利现值系数互为倒数！复利现值系数的经济意义是什么？426.分期复利现值与连续复利现值为了能把未来不同时刻到期的不同现金流价值进行比较，就需要把未来现金流贴现成他们的现值。同样，金融实务中，也经常遇到一年中计息频率多于1次，其现值计算公式为当复利计息次数m无限大时，就成为连续复利现值，或者叫做连续贴现：此时称利率为贴现率。显然，现值与贴现率成反比，43（二）货币时间价值的应用1.抵押贷款问题住房抵押（按揭）贷款是一种常见的贷款形式，其特点是在给定的利率下，在贷款期内债务人周期性的进行等额的还款支付。在抵押的初期，本金最大，每月的还款支付额主要是利息支付，其本金偿付很少。但随着本金的减少，用于偿还本金的数额在增加。44例如，以等额还款的方式，偿还20年期、年复利利率为10%的抵押贷款100，000元，分别求每年和每月的还款额为多少？分析：假设每年末的还款额为X，则第二年初的债务余额为100，000×1.1-X;同理，第三年初的债务余额为（100，000×1.1-X）×1.1-X=100，000×1.12-1.1X-X重复上述过程20次，就得到第21年初的债务表达式，此时应该正好还清债务，即其中，括弧内是等比数列的前20项之和。45化简后得到方程为解方程，解得每年的还款额为：对于一般贷款问题，若贷款总额为P，偿还n年，年利率为r，其每年的等额还款额的公式为现行居民购房按揭贷款的每年还款额是计算公式如果是月供应该是多少？46如果进一步计算现实生活中按每月的等额还款，则需要把上述的年利率转化为等价的月利率的同时，还需要把偿还次数修改为240次，仍用X表示月供额假设等价的月度复利因子是C，那么有那么关于X的方程为代入C值得：显然，这种月度还款方式比年度还款方式一年下来少支付大约500元，WHY？47对于一般贷款问题，若贷款总额为P，偿还n年，年利率为r，其每月的等额还款额的公式为482.（永久）年金问题现在考虑一个年金问题。年金：是指在某一时期内等间隔的发生的一系列等额的收入或支付款项。比如，希望从今后的若干年内每年获得一笔等额的收入流，那么需要现在一次性存入或投资多少钱？这是抵押贷款的反问题，即初期进行一笔大的支付，以便以后在某时期内得到一系列等额的小的现金流入。假设希望未来20年内，每年能够得到1200元的年金收入（如生活费），年收益率为10%，那么现在应该一次性投入多少？49这属于求年金的现值问题第一年末收到的1200元的现值为1200/1.10，第二年末的1200元的现值为1200/1.102以此类推，那么这20笔收入流的现值为50年金现值的一般公式为其中，a为每年的年金数额，其余同上当有限期的收付年金变为无限期，即收入流或支付流的次数n无限大，以至于趋于无穷时，其年金现值为对于此例中的数据来说，现值为1200/0.1=12000元，也就是说，只要现在一次性存入12000元，就可以无限期的每年永远得到1200元。这又一次体现了极限的应用51如果将此例中的年度收入流改为月度收入流（比如用于养老年金）也就是说，每月能得到100元的收入，一共持续240个月。那么你知道这些年金的现值是多少吗？请写出公式，并计算出来数额。52二、使用Taylor级数近似估计债券价格的收益率曲线债券价格的含义：其价格就是其未来逐笔实现的现金流的贴现值总和。对于附息债券价格的公式为Y——收益率（计量单位：%）CF——现金流（cashflow）显然，债券价格P是关于收益率y的函数，且是递减的、非线性函数，称为债券价格的收益率曲线。记作P=f(y)53债券价格收益率曲线的近似——可用直线或二次曲线近似54三、利用微分度量债券价格的风险已经知道，债券的价格受到收益率的影响，现在的问题是，当收益率y变动1%时，价格P变动百分之多少？该衡量指标叫做修正久期（modifiedduration）由于收益率y本身的单位是%，所以收益率的变动量为绝对变量△y,但需要考虑价格P的相对变动△P/P，用公式表示为55可见，计算修正久期的关键在于计算导数dP/dy对债券价格公式求导，得到方括号内的表达式为久期，等号右边称为修正久期。修正久期在债券