数值分析实验报告

实验目的掌握Gauss消元法的原理和具体操作，并讨论主元的选取对结果的影响。

715（1）取矩阵A ,b

,则方程有解x* 1 6

151410阶的A矩阵：开始Gaussx Cond(A)1.7276a11a22x a11a22

x n=20（x 当n=50时，顺序消元法 最小主元消去法 去法求解出的x111.00000.0312最大主元法的计算结果（有效数字5）仍为x 当n=100时，顺序消元法与最小主元法的结算结果仍然保持一致，且结131.00000.1833⋮选取其他感的问题或者随机生成矩阵计算其条件数重复上述实验，10A0，并定义𝜉=‖𝑥−

Cond(A0)2范数𝜉=‖𝑥𝑥∗‖2满足：实验目的通过实际求解线性方程组，讨论Gauss消去法、J迭代方法、GS迭代法SOR迭代法在问题中的应用。考虑方程组𝐻𝑥=𝑏H为Hilbert1𝐻= ℎ𝑖,𝑗=𝑖+𝑗−1 𝑖,𝑗=1,2⋯,实验要求选择问题的维数为6，分别用Gauss消去法（即LU分解、J迭代法、GSSOR迭代求解方程组，其各自的结果如何？将计算结果与问题首先，在Hilbert.mHilbert矩阵，并给定解即精确解各个分量均为1，生成对应的b从而生成已知解的线性方程组。并令𝜉=‖𝑥−𝑥∗‖2Gaussx 20.01，否100000Jacobi迭代法：GS20852SOR收敛因子𝜔=0.233309收敛因子𝜔=0.426708收敛因子𝜔=0.622147收敛因子𝜔=0.819211收敛因子𝜔=0.918592子的SOR法迭代得到的收敛结果差不多，且迭代次数也差不多。Gaussx Jacobi迭代法：GS77765SOR收敛因子𝜔=0.217633收敛因子𝜔=0.413431收敛因子𝜔=0.657527仍然得到了最精确的结果，JSORGS法，也就是说收敛得到同样精度的解时，具有最佳松弛因子的SOR法优于GS法。n=12GaussJacobi迭代法：GS100000SOR收敛因子𝜔=0.110567从以上结果可以看到，对于该12维的线性方程组，J迭代法无法求GS法和SORSOR法的迭代次数远远小于优于GS法。讨论问题求解的算精度比较高，计算比较容易实现。随着维数的增加，可以看到Gauss法的SOR法的计算结果精度，特别是收敛速度远远优于GS法。实验目的通过实际计算两组方程组，来分析比较法和Broyden法在求解非线性方程实验要求用法和Broyden法分别计算下面的两个例子在达到精度相同的前提下，比较其迭代次数、浮点运算次数和CPU时间等。Newton先求解线性方程组𝐹′(𝑥𝑘)∆𝑥𝑘=−𝐹(𝑥𝑘)得解再通过𝑥𝑘+1=𝑥𝑘+∆𝑥𝑘得到下一步𝑥𝑘+1Broyden通过求解矩阵𝐴𝑘近似𝐹′(𝑥𝑘)k xk1xkA1Fxkkk skk

k

ykAsk

skT使用牛顿法和Broyden两种方法，分别迭代到𝜉=‖𝑥𝑘−𝑥𝑘−1‖0.5×10−512xx2

7 12x210x12

取初值

=

212𝑥1−𝑥2−4𝑥3−21𝐹(𝑥)=(𝑥2+10𝑥2−𝑥3−12𝐹′(𝑥)=2𝐹′(𝑥)=0Newton24次迭代，CPU0.00010s𝑥=(𝑥1,𝑥2,𝑥3)𝑇=Broyden6次迭代，CPU0.00370s𝑥=(𝑥1,𝑥2,𝑥3)𝑇= 3x1cosx2x3 12x212 e

取初值13𝑥1−cos(𝑥2𝑥3)−

=𝐹(𝑥)=𝑥2−

+

+sin𝑥3+1 +20𝑥3+3(10𝜋− 𝐹′(𝑥)=

𝑥3 𝑥2 −162(𝑥2+ cos Newton7次迭代，CPU0.00013s𝑥=(𝑥1,𝑥2,𝑥3)𝑇=(0.4999,0.0494,Broyden8次迭代，CPU0.00400s𝑥=(𝑥1,𝑥2,𝑥3)𝑇=(0.4999,0.0494,1:首先在初值𝑥(0)=(0,0,0)𝑇初值x迭代5555455411x迭代997768768787887可以看到在初值𝑥(0)=(0,0,0)𝑇附近小范围内改变初值时，对于同一种迭CPU计算时间差别不是很大，得到的解也基本一Newton迭代法和Broyden迭代法可以看到，Broyden法的迭代次数和CPU时间均高于Newton法。（10，10（50（100x9CPUxCPU2020CPU时间也在增加，Broyden法的迭代次数和CPU时间仍然均高于Newton法，但是Broyden法迭代出了另一组解。（10，-（10，-x5CPUx7CPU不同的初值，会导致迭代收敛的解结果不同对于收敛到同一结果的不同初值，收敛速度不同在初值𝑥(0)=(0,0,0)𝑇初值（0，-（0，-1，--（-1，-x迭代5888888455x迭代897322且两组解的差别较小。Broyden法的迭