2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之图形的变化

2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之图形的变化

一.选择题（共14小题）

1.（2020•绍兴）将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是（）

A.

C.

2.（2020•恩施州）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（）

4.（2021•宁波）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（）

主视方向

A.B.

C.IJD.I□

5.(2020•嘉兴)如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为0(0,0),A(4,3),5(3,0).以

点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为上的位似图形△OCO,则点C的

6.(2020•台州)如图，把△4BC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到

则顶点C(0,-1)对应点的坐标为()

=zp.当AC平分/B'AC'时，Na与NB满足的数量关系是()

D'

A.Za=2ZpB.2Za=3Zp

C.4Za+Zp=180°D.3Za+2Zp=180°

8.（2021•温州）直六棱柱如图所示，它的俯视图是（）

A.

9.（2021•绍兴）如图，树48在路灯。的照射下形成投影AC,已知路灯高产。=5根，树影

AC=3m,树A8与路灯。的水平距离AP=4.5m,则树的高度AB长是（）

A.2mB.3mC.—mD.^-m

23

10.（2020•绍兴）如图，等腰直角三角形ABC中，ZABC=90°,BA=BC,将BC绕点3

顺时针旋转9（0°<0<90°）,得到5P,连接CP,过点A作A”,C尸交CP的延长线

于点儿连接AP,则N%”的度数（）

A.随着。的增大而增大

B.随着0的增大而减小

C.不变

D.随着。的增大，先增大后减小

11.（2021•台州）如图，将长、宽分别为12c3cm的长方形纸片分别沿AB,AC折叠,

点"，N恰好重合于点P.若Na=60°,则折叠后的图案（阴影部分）面积为（）

A.(36-6A/"§)cm2B.(36-12V3)cm2

C.24cm2D.36cmi

12.（2020•衢州）如图，把一张矩形纸片ABCZ）按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角

三角形BEF,若BC=\,则AB的长度为（）

13.（2019•台州）如图是用8块A型瓷砖（白色四边形）和8块8型瓷砖（黑色三角形）

不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A型瓷砖的总面积与8型瓷砖的总

面积之比为（）

A.5/2：1B.3：2C.«：1D.V2：2

14.（2020•温州）如图，在RtZVLBC中，ZACB=90°,以其三边为边向外作正方形，过

点C作CRLFG于点R,再过点C作PQA.CR分别交边DE,BH于点P,Q.若QH=

2PE,PQ=15,则CR的长为（）

A.14B.15C.8“D.6遥

二.填空题（共4小题）

15.（2021•湖州）如图，已知在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=1,AB=2,则sinB的值

16.（2021•杭州）如图是一张矩形纸片A8CD,点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，

把△DCE沿直线OE折叠，使点C落在对角线AC上的点尸处，连接。凡EF.若

=AB,则ND4F=度.

17.（2021•嘉兴）如图，在△ABC中，ZBAC=30°,NACB=45°,AB=2,点P从点A

出发沿AB方向运动,到达点B时停止运动，连结CP,点A关于直线CP的对称点为A',

连结A'C,A'P.在运动过程中，点A'到直线AB距离的最大值是；点2到

达点8时，线段4'P扫过的面积为

B

18.（2020•金华）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC,

（点A与点B重合），点。是夹子转轴位置，OELAC于点E,OFLBD于点F,OE

=OF=Tcm,AC=BD=6cm,CE=DF,CE：AE=2：3.按图示方式用手指按夹子，夹

子两边绕点。转动.

（1）当E,尸两点的距离最大时，以点A,B,C,。为顶点的四边形的周长是cm.

（2）当夹子的开口最大（即点C与点力重合）时，A,B两点的距离为cm.

三.解答题（共3小题）

19.（2021•杭州）如图，锐角三角形ABC内接于NBAC的平分线AG交。。于点G,

交BC边于点F,连接BG.

（1）求证：△ABGSXAFC,

（2）已知AB=a,AC=AF=b,求线段FG的长（用含a,匕的代数式表示）.

（3）已知点E在线段AF上（不与点A,点F重合），点O在线段AE上（不与点A,点

E重合），NABD=NCBE,求证：BG1=GE'GD.

20.（2021•温州）如图中4X4与6X6的方格都是由边长为1的小正方形组成.图1是绘成

的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相

应的格点图形（顶点均在格点上）.

(1)选一个四边形画在图2中，使点尸为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位

后所得的图形.

(2)选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的加倍，画在图3中.

\/

/

/\/

/\/

图1图2图3

21.(2020•宁波)【基础巩固】

(1)如图1,在△ABC中，。为上一点，ZACD^ZB.求证：AC1=AD'AB.

【尝试应用】

(2)如图2,在。A8C£>中，E为BC上一点，尸为延长线上一点，NBFE=NA.若

BF=4,BE=3,求AZ)的长.

【拓展提高】

(3)如图3,在菱形ABCQ中，E是A8上一点，F是△ABC内一点，EF//AC,AC=2EF,

ZEDF=^ZBAD,AE=2,DF=5,求菱形ABC£>的边长.

2

图1图2图3

2017-2021年浙江中考数学真题分类汇编之图形的变化

参考答案与试题解析

一.选择题（共14小题）

1.（2020•绍兴）将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为中心对称图形的是（）

【考点】中心对称图形；七巧板；多边形.

【专题】平移、旋转与对称；儿何直观.

【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断.

【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

8、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

。、是中心对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋

转180°后能够于原图形重合.

2.（2020•恩施州）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（）

主视方向，

【考点】简单组合体的三视图.

【专题】投影与视图；几何直观.

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.

【解答】解：从正面看易得第一列有2个正方形，第二列底层有1个正方形.

故选：A.

【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

3.（2021•衢州）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（）

从正面看

HB

【考点】简单组合体的三视图.

【专题】投影与视图；空间观念.

【分析】根据主视图的意义，从正面看该组合体所得到的图形进行判断即可.

【解答】解：从正面看该组合体，所看到的图形与选项A中的图形相同，

故选：A.

【点评】本题考查简单组合体的主视图，理解视图的意义，掌握三视图的画法是正确判

断的前提.

4.（2021•宁波）如图所示的几何体是由一个圆柱和一个长方体组成的，它的主视图是（）

主视方向

C.I]D.I]

【考点】简单组合体的三视图.

【专题】投影与视图；空间观念.

【分析】根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案.

【解答】解：从正面看，底层是一个比较长的矩形，上层中间是一个比较窄的矩形.

故选：C.

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是正视图，注意圆柱的

主视图是矩形.

5.(2020•嘉兴)如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以

点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为工的位似图形△OCD,则点C的

3

坐标为()

A.(-1,-1)B.(-A,-1)C.(-1,-A)D.(-2,-1)

33

【考点】位似变换；坐标与图形性质.

【专题】图形的相似；应用意识.

【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以

-工即可.

3

【解答】解：•.•以点O为位似中心，位似比为工，

3

而A(4,3),

点的对应点C的坐标为(-冬，-1).

3

故选：B.

【点评】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中

心，相似比为A，那么位似图形对应点的坐标的比等于/或

6.(2020•台州)如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到

则顶点C(0,-1)对应点的坐标为()

D

A.(0,0)B.(1,2)C.(1,3)D.(3,1)

【考点】坐标与图形变化-平移.

【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】利用平移规律进而得出答案.

【解答】解：：把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△OE凡顶点

C(0,-1),

：.F(0+3,-1+2),

即F(3,1),

故选：D.

【点评】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，正确得出对应点位置是解题关键.

7.(2021•衢州)如图.将菱形A8CD绕点A逆时针旋转Na得到菱形A8'CD',NB

=Zp.当AC平分NB'AC'H寸，Na与NB满足的数量关系是()

A.Za=2ZpB.2Za=3Zp

C.4Za+Zp=180°D.3Za+2Zp=180°

【考点】旋转的性质；菱形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】由菱形和旋转的性质可证：ZBAB'=ZB'AC=ZCAC=ZDAC=Za,再根据

AD//BC,即可得出4/a+/0=18O°.

【解答】解：平分NB'AC',

：.ZB'AC=ZCAC,

•.•菱形ABC。绕点A逆时针旋转Na得到菱形AB'C'D',

：.ZBAB'=ZCAC=Za,

；AC平分/BAO,

：.ZBAC=ZDAC,

：.ZBAB'=ZDAC,

：.ZBAB'=ZB'AC=ZCAC=ZDAC=Za,

'JAD//BC,

NB+NBAD=180°,

.,.4Za+Zp=180°,

故选：C.

【点评】本题考查了菱形的性质，以及旋转前后对应角相等等知识，熟记其性质是解题

的关键.

【考点】简单几何体的三视图.

【专题】投影与视图；空间观念.

【分析】根据简单几何体的三视图进行判断即可.

【解答】解：从上面看这个几何体，看到的图形是一个正六边形，因此选项C中的图形

符合题意，

故选：C.

【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提.

9.（2021•绍兴）如图，树在路灯。的照射下形成投影AC,已知路灯高?。=5〃?，树影

AC=3m,树AB与路灯。的水平距离AP=4.5m,则树的高度AB长是（）

A.2mB.3mC.—mD.

23

【考点】相似三角形的应用；中心投影.

【专题】图形的相似；应用意识.

【分析】利用相似三角形的性质求解即可.

【解答】解：

...△CABsZxcpo,

•ABAC

,*P0"PC"

.AB3

••丁=3+4.5’

：.AB^2（〃z）,

故选：A.

【点评】本题考查中心投影以及相似三角形的应用.测量不能到达顶部的物体的高度，

通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长

的比相等”的原理解决.

10.（2020•绍兴）如图，等腰直角三角形ABC中，NABC=90°,BA^BC,将BC绕点B

顺时针旋转0（0°<0<90°）,得到BP,连接CP,过点A作AHI.CP交CP的延长线

于点，，连接AP,则的度数（）

--------斗

A.随着。的增大而增大

B.随着8的增大而减小

C.不变

D.随着。的增大，先增大后减小

【考点】旋转的性质；三角形的外角性质；等腰直角三角形.

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】由旋转的性质可得BC=BP=BA,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可

求NBPC+/8必=135°=ZCPA,由外角的性质可求NB4H=135°-90°=45°,即可

求解.

【解答】解：：将BC绕点8顺时针旋转6（0°<0<90°）,得至IJB尸,

：.BC=BP=BA,

；.NBCP=NBPC,ZBPA=ZBAP,

,：ZCBP+ZBCP+ZBPC^180°,ZABP+ZBAP+ZBPA^180Q,ZABP+ZCBP=90°,

：.ZBPC+ZBPA^\35°=NCB4,

VZCPA=ZAHC+ZPAH=135°,

：.ZPAH=135°-90°=45°,

的度数是定值，

故选：C.

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这

些性质解决问题是本题的关键.

11.（2021•台州）如图，将长、宽分别为12c加,3cm的长方形纸片分别沿AB,AC折叠，

点M,N恰好重合于点P.若/a=60°,则折叠后的图案（阴影部分）面积为（）

C

A.（36-673）cm2B.（36-12V3）cm2

C.24cw2D.36cm2

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；几何直观.

【分析】根据题意可知阴影部分的面积=长方形的面积-三角形ABC的面积，根据题中

数据计算三角形ABC的面积即可.

【解答】解：根据翻折可知，

NMAB=NBAP,ZNAC=ZPAC,

：.ZBAC=ZPAB+ZPAC=1-（ZMAB+ZBAP+ZNAC+ZRAC）=-kx180°=90°,

22

VZa=60°,

：.ZMAB=1SO°-ZBAC-Za=180°-90°-60°=30°,

：.AB=——=6(cm),

sin30

AC=.三。=2娟(cm),

sin600

...阴影部分的面积=S长方形-SAABC=12X3-工x6X2«=(36-673)&,/),

2

故选：A.

【点评】本题主要考查翻折和矩形的性质等知识点，熟练掌握和应用翻折的性质是解题

的关键.

12.（2020•衢州）如图，把一张矩形纸片ABC。按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角

三角形若5c=1,则AB的长度为（）

【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；矩形的性质.

【专题】平移、旋转与对称；运算能力.

【分析】先判断出N4OE=45°,进而判断出4E=AO,利用勾股定理即可得出结论.

解答

解：由折叠补全图形如图所示,

；四边形4BCD是矩形,

...NAD4'=NB=NC=NA=90°,AD=BC=\,CD=AB,

由第一次折叠得：/ZM'E=NA=90°,N4OE=1_/A£）C=45°,

2

：.ZAED=ZADE=45°,

：.AE^AD=\,

在RtZVIQE中，根据勾股定理得，£>E=&4O=J5，

由第二次折叠知，CD=DE=®

.".AB=y[2-

故选：A.

【点评】此题主要考查了折叠问题，掌握折叠前后的对应边，对应角相等是解本题的关

键.

13.（2019•台州）如图是用8块A型瓷砖（白色四边形）和8块8型瓷砖（黑色三角形）

不重叠、无空隙拼接而成的一个正方形图案，图案中A型瓷砖的总面积与3型瓷砖的总

面积之比为（）

A.&：1B.3：2C.73：1D.如：2

【考点】图形的剪拼；正方形的性质.

【专题】图表型；矩形菱形正方形.

【分析】如图，作。C_LEF于C,DKLFH于K,连接。F.求出△QFN与△£>*的面

积比即可.

【解答】解：如图，作OCJ_EF于C,DKLFH于K,连接。F.

由题意：四边形。CFK是正方形，ZCDM=ZMDF=ZFDN=ZNDK,

；.NCDK=NDKF=90°,DK=FK,DF=4QPK,

A^ADFN=FN=DF=^（角平分线的性质定理，可以用面积法证明）,

^ADNK耶DK

.SAgj_2SADFW_

SB型2s△DNK

/.图案中A型瓷砖的总面积与B型瓷砖的总面积之比为血：1,

【点评】本题考查图形的拼剪，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运

用所学知识解决问题.

14.（2020•温州）如图，在RtZVLBC中，ZACB=9Q°,以其三边为边向外作正方形，过

点C作CRLFG于点R,再过点C作PQ1.CR分别交边DE,BH于点P,Q.若QH=

2PE,PQ=15,则CR的长为（）

A.14B.15C.8V3D.6娓

【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；图形的相似；解直角三角形及其应用.

【分析】如图，连接EC,CH.设A8交CR于J.证明△ECPS^.HC。，推出匹=四

CQCH

空=工，由PQ=15,可得PC=5,CQ=10,由ECCH=1：2,推出AC：BC=1：2,

HQ2

设AC=mBC=2a,证明四边形ABQC是平行四边形，推出A8=CQ=10,根据AC2+8C2

=4解，构建方程求出a即可解决问题.

【解答】解：如图，连接EC,CH.设AB交CR于J.

:四边形ACDE,四边形3C7H都是正方形，

.•.N4CE=/BCH=45°,

VZACB=90°,ZBCI=90°,

AZACE+ZACB+ZBCW=180°,NACB+/BC/=180°

：.B,C,。共线，A,C,/共线，E、C、H共线，

'：DE//AI//BH,

：.NCEP=NCHQ,

；NECP=NQCH,

:.XECPS^HCQ,

•PC=CE^EP=X

"CQCHHQ

PQ=15,

：.PC=5,CQ=10,

,:EC：CH=\：2,

：.AC：BC=1：2,设AC=a,BC=2a,

■:PQLCR,CRLAB,

J.CQ//AB,

'JAC//BQ,CQ//AB,

...四边形A8QC是平行四边形，

.•.48=CQ=10,

,AC2+BC2=AB2,

A5a2=100,

:.a=2忌（负根已经舍弃），

"C=2泥，BC=4娓,

"：^'AC'BC=^AB'CJ,

22

2x

...C7=V5W5-=4t

10

：JR=AF=AB=1O,

：.CR=CJ+JR=14,

故选：A.

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形

等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数

构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

二.填空题（共4小题）

15.（2021•湖州）如图,已知在RtZ\4BC中，ZACB=90°,AC=l,AB=2,则sinB的值

【考点】锐角三角函数的定义.

【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.

【分析】根据在直角三角形中sin8=A£,代值计算即可得出答案.

AB

【解答】解：；NACB=90°,AC=1,AB=2,

sinB=-^-=A.

AB2

故答案为：1.

2

【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握在直角三角形中，正弦=强空■是解

斜边

题的关键.

16.（2021•杭州）如图是一张矩形纸片ABCD,点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，

把△£＞（7£沿直线QE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接QF,EF.若

=AB,则ND4F=18度.

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质.

【专题】三角形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力.

【分析】连接DM,利用斜边上的中线等于斜边的一半可得△AM。和△MC。为等腰三角

形，ZDAF=ZMDA,ZMCD=ZMDC；由折叠可知£>F=QC,可得NOFC=NOCF；

由MF=A8,AB=CD,DF=DC,可得FM=FD,进而得到NFA〃）=NF£）M；利用三角

形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得/OFC=2NFA〃）；最后在△MCC中，

利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得.

【解答】解：连接。M,如图：

•.•四边形A8C。是矩形，

AZADC=90°.

是AC的中点，

.".DM=AM=CM,

：./FAD=NMDA,ZMDC=ZMCD.

"：DC,关于OE对称，

：.DF=DC,

ZDFC=NDCF.

;MF=AB,AB=CD,DF=DC,

：.MF=FD.

：.ZFMD=ZFDM.

'：ZDFC=NFMD+NFDM,

：.ZDFC=2ZFMD.

•・•/DMC=NEW+NAQM,

：.ZDMC=2ZFAD.

设/以。=工°,则NQPC=4x0,

ZMCD=ZMDC=4x°.

VZDMC+ZMCD+ZMDC=180°,

2x+4x+4x=180.

Ax=18.

故答案为：18.

【点评】本题主要考查了矩形的性质，折叠问题，三角形的内角和定理及其推论，利用

三角形内角和定理列出方程是解题的关键.

17.（2021•嘉兴）如图，在△ABC中，N54c=30°,/ACB=45°,AB=2,点P从点A

出发沿AB方向运动,到达点B时停止运动，连结CP,点A关于直线CP的对称点为A',

连结A'C,A'P.在运动过程中，点A'到直线A8距离的最大值是工业；点2

一2一

到达点8时，线段A'P扫过的面积为（1+1）口-1-遍.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【分析】如图1中，过点B作8HLAC于H.解直角三角形求出CA,当C4'LA8时,

点A'到直线4B的距离最大，求出CA',CK.可得结论.如图2中，点P到达点8时,

线段A'尸扫过的面积=S扇形4cA-2SZSABC,由此求解即可.

【解答】解：如图1中，过点8作于〃.

图1

在RtZVW“中，B，=4B・sin30°=1,AH=4^BH=g

在RtZ\BC”中，ZBCH=45°,

：.CH=BH=\,

•'•AC=CA'1+"^3，

当。'_L4B时，点A'到直线A8的距离最大，

设CA'交A8的延长线于K.

在Rtz2i4CK中，CK=AC・sin30°

_2_

：.A'K=CA'-CK=]+y/3-

22

如图2中，点P到达点B时，线段A'P扫过的面积=S扇形上。-2sJBC=

9°兀“（1+V^）_2xlx（1+V3）x1=（1+返）7T-1-贬”

36022

图2

故答案为：上正，(1+返)n-1-V3.

22

【点评】本题考查轴对称的性质，翻折变换，解直角三角形，扇形的面积，三角形的面

积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用分

割法求面积，属于中考填空题中的压轴题.

18.(2020•金华)图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC,

(点A与点B重合)，点。是夹子转轴位置，OELAC于点E,OFLBD于点F,OE

=OF=lcm,AC=BD=6cm,CE=DF,CE：AE=2：3.按图示方式用手指按夹子，夹

子两边绕点。转动.

(1)当E,尸两点的距离最大时，以点4,B,C,。为顶点的四边形的周长是16cm.

(2)当夹子的开口最大(即点C与点。重合)时，A,B两点的距离为段cm.

-13一

【考点】旋转的性质；角平分线的性质.

【专题】平移、旋转与对称；应用意识.

【分析】(1)当E,F两点的距离最大时，E,O,尸共线，此时四边形AB8是矩形，

求出矩形的长和宽即可解决问题.

(2)如图3中，连接EF交OC于，.想办法求出EF,利用平行线分线段成比例定理即

可解决问题.

【解答】解：(1)当E,F两点的距离最大时，E,O,F共线，此时四边形ABCD是矩

形，

"：OE=OF=lcm,

:・EF=2ctn,

•*»AB=CD=2cm，

，此时四边形的周长为2+2+6+6=16(an),

故答案为16.

(2)如图3中，连接EF交OC于H.

*：OE=OF=\cm,

・・・C。垂直平分线段ER

7。。=任2暝2=，(卷)2.12=_1^_(cvn),

15

OE-EC=LCO'EH,

22

IX.

/.EH=———=-12.(cm),

13

5

：.EF=2EH=^-(cm)

13

,:EF〃AB,

.EF=CE=_2

**ABCB??

.•.42=$><处=啦（cm）.

21313

故答案为毁.

13

【点评】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识,

解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

三.解答题（共3小题）

19.（2021•杭州）如图，锐角三角形ABC内接于。0,NBAC的平分线AG交。。于点G,

交BC边于点F,连接BG.

（1）求证：△ABGsXAFC.

（2）已知A8=a,AC=AF=b,求线段FG的长（用含a,〃的代数式表示）.

（3）已知点E在线段A尸上（不与点月，点尸重合），点。在线段AE上（不与点A,点

E重合），/ABD=/CBE,求证：BG1=GE-GD.

【考点】相似三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心.

【专题】圆的有关概念及性质；应用意识.

【分析】(1)根据/B4C的平分线4G交。。于点G,知由圆周角定理

知NG=NC,即可证△ABGsaAFC；

(2)由(1)知姻•=超，由AC=A尸得AG=A8,即可计算FG的长度；

AFAC

(3)先证△DGBSABGE,得出线段比例关系，即可得证8G2=GE,GD.

【解答】(1)证明：：AG平分/8AC,

：.ZBAG^ZFAC,

又；NG=/C,

△ABGs/MFC；

(2)解：由(1)知，△ABGSZ\AFC,

•AB=AG

AFAC)

；AC=AF=b,

.\AB=AG=a,

：.FG=AG-AF=a-b；

9

(3)证明：：ZCAG=ZCBG,ZBAG=ZCAGf

:"BAG=/CBG,

V/ABD=/CBE,

：./BDG=NBAG+/ABD=NCBG+NCBE=NEBG,

又•：/DGB=/BGE,

•••△DGBs/\BGE,

・・・毁=弛

**BGGE，

：.BG2=GE'GD.

【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，熟练掌握圆

周角定理和相似三角形的判定和性质是解题的关键.

20.(2021•温州)如图中4X4与6X6的方格都是由边长为1的小正方形组成.图I是绘成

的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相

应的格点图形(顶点均在格点上).

(1)选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位

后所得的图形.

(2)选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的加倍，画在图3中.

图1图2图3

【考点】利用平移设计图案；相似三角形的性质；七巧板；勾股定理.

【专题】作图题；几何直观.

【分析】(1)直接将其中正方形向右平移3个单位得出符合题意的图形;

(2)直接将其中直角边为我的三角形边长扩大为原来的加倍，即可得出所求图形.

【解答】解：(1)如图2所示，即为所求;

(2)如图3所示,

图2

【点评】此题主要考查了平移变换以及图形的相似，正确将三角形各边扩大是解题关键.

21.(2020•宁波)【基础巩固】

(1)如图1,在△ABC中，。为上一点，ZACD^ZB.求证：AC^^AD'AB.

【尝试应用】

(2)如图2,在。ABC。中，E为BC上一点、,F为C。延长线上一点，ZBFE=ZA.若

BF=4,BE=3,求AO的长.

【拓展提高】

(3)如图3,在菱形A8CD中，E是48上一点，F是△ABC内一点，EF//AC,AC=2EF,

【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力.

【分析】(1)证明△AOCS/XACB,得出迫工£,则可得出结论；

ACAB

(2)证明△BF£'S/\BCF,得出比例线段巫理，则BF2=BE・BC,求出8C,则可求

BCBF

出AD.

(3)分别延长EF,0c相交于点G,证得四边形AEGC为平行四边形，得出AC=EG,

CG=AE,NEAC=NG,证明△EDFs^EGO,得出比例线段班•①，则OE=y历EF,

EGDE

可求出。G,则答案可求出.

【解答】解：(1)证明：•.•/AC£>=NB,ZA-ZA,

AADC^AACB,

•.•-A-D-二一A'C一，

ACAB

：.AC2^AD-AB.

(2)•四边形A3CD是平行四边形,

：.AD=BC,NA=NC,

又,：NBFE=NA,

:.NBFE=/C,

又,：/FBE=NCBF,

:.丛BFEs丛BCF,

•••B--F二，1B-E，

BCBF

:.B^=BE，BC,

22

.„r_BF_416

BE33

.•.AO=西.

3

（3）如图，分别延长EF,0c相交于点G,

•.•四边形A8C。是菱形，

：.AB//DC,NBAC=LZBAD,

2

VAC//EF,

四边形AEGC为平行四边形，

：.AC=EG,CG=AE,ZEAC=ZG,

:NEDF=LNBAD,

2

；.NEDF=NBAC,

:.NEDF=/G,

又,：NDEF=NGED,

:.AEDFs/\EGD,

•••-E-D='EF,,

EGDE

:.D£=EF*EG,

又,：EG=AC=2EF,

：.DE1=2EF2,

:.DE=4Q^F,

乂••DGDE

・DF=EF，

•e•Z）G—A/^DF=5

：.DC=DG-CG=5g-2.

【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判

定与性质，菱形的性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键.

考点卡片

1.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到X轴的距离与纵

坐标有关，到），轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离

求坐标时，需要加上恰当的符号.

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，

是解决这类问题的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去

解决问题.

2.七巧板

（1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小

形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形.

（2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可

以拼成各种具体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号.

（3）制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格.②再从

左上角到右下角画一条线.③在上面的中间连一条线到右面的中间.④再在左下角到右上角

画一条线，碰到第二条线就可以停了.⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四

份之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停.⑥最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线

条剪开，你就有一副全新的七巧板了.

3.三角形的外角性质

（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.

（2）三角形的外角性质：

①三角形的外角和为360°.

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.

（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去.

（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角

形的外角.

4.角平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相

等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分

线的性质语言：如图，在NAOB的平分线上，CD1.OA,CE1.OB：.CD=CE

5.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平

方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为C,那么42+/；2=C.2.

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

22,

（3）勾股定理公式J+/=c2的变形有：«=7c-b人=窄：及c=*忑.

（4）由于a1+b1=c1>a1,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形

中的每一条直角边.

6.等腰直角三角形

（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.

（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和

直角三角形的所有性质.即：两个锐角都是45。，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，

三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R,而高又为内切圆的直径（因为等

腰直角三角形的两个小角均为45°,高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三

角形，则两腰相等）；

（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=l,则外接圆的半径/?=扬1,所以r：R=l：

V2+1.

7.多边形

（1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.

（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

（3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.

（4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一

边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧.②每个内角的度数均小于180。，通常所说

的多边形指凸多边形.

（5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳

状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心.

常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边

中线的交点（4）任意多边形.

8.菱形的性质

（1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

（2）菱形的性质

①菱形具有平行四边形的一切性质；

②菱形的四条边都相等；

③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线.

（3）菱形的面积计算

①利用平行四边形的面积公式.

②菱形面积=L4（。、人是两条对角线的长度）

2

9.矩形的性质

（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

（2）矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在

的直线；对称中心是两条对角线的交点.

（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于

斜边的一半.

10.正方形的性质

（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

（2）正方形的性质

①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；

②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；

③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时:正方形又是轴对称图形，有

四条对称轴.

11.圆周角定理

（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上.②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可.

（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的

圆心角的一半.

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.

（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能

技巧一定要掌握.

（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形.利用等腰三角形

的顶点和底角的关系进行转化.②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”——圆心角转

化.③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，

把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角.

12.三角形的外接圆与外心

（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.

（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.

（3）概念说明:

①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.

②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三