2022年初升高数学衔接讲义(第2套) 第13讲 幂函数（教师版含解析）

第13讲幂函数图像及其性质1.幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．2.幂函数的图象3.幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．其中当时，幂函数在递增的趋势越来越快，图像下凹；当时，幂函数在递增的趋势越来越慢，图像上凸.④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．基础强化下列函数中既是偶函数又在上是增函数的是() A． B． C． D．【答案】A函数在区间上的最大值是()A． B． C．4 D．【答案】C下列所给出的函数中，是幂函数的是()A． B． C． D．【答案】B函数的图象是() ABCD【答案】A下列命题中正确的是()A．当时函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过和点C．若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数D．幂函数的图象不可能出现在第四象限【答案】D【解析】A错误:当时函数的图象是一条直线除去点；B错误：幂函数的图象都经过点，当指数大于0时，都经过点；C错误：若幂函数是奇函数且，则是定义域上的减函数，例如；D正确：幂函数的图象一定经过第一象限，不可能出现在第四象限.函数和图象满足()A．关于原点对称B．关于轴对称C．关于轴对称D．关于直线对称【答案】D函数，满足()A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数C．是奇函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数【答案】C【解析】，作出图像如下图，由图可知是奇函数又是增函数，故选C.函数的定义域是.【答案】【解析】由可知其定义域为.函数是偶函数，且在是减函数，则整数的取值集合是.【答案】【解析】由在是减函数得，解得，整数，，又是偶函数，，则的取值集合是.函数的单调递减区间是.【答案】【解析】函数中有，解得，在上递减，的单调递减区间是.比较下列各组中两个值大小(1)和； (2)和【答案】(1)；(2)下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)(A)(B)(C)(D)(E)(F)【答案】(1)A；(2)F；(3)E；(4)C；(5)D；(6)B【解析】(1)，定义域为，非奇非偶函数，在单调递增；(2)，定义域为，奇函数，在单调递增；(3)，定义域为，偶函数，在单调递增；(4)，定义域为，偶函数，在单调递减；(5)，定义域为，奇函数，在单调递减；(6)，定义域为，非奇非偶函数，在单调递减.对比分析可知对应关系为(1)A；(2)F；(3)E；(4)C；(5)D；(6)B.

跟踪训练下列函数中，值域是的函数是()A．B．C．D．【答案】C【解析】A中值域为；B中值域为；C中值域为；D中值域为，故选C.函数的图象()A．关于直线对称B．关于轴对称C．关于原点对称D．关于轴对称【答案】C【解析】是奇函数，图象关于原点对称，故选C.幂函数的图象一定经过点()A． B． C．D．【答案】B已知幂函数的图象经过点，则的值为()A．16B. C. D．2【答案】C【解析】依题意设，则，，，，选C.下列结论中，正确的是()①幂函数的图象不可能在第四象限②时，幂函数的图象过点和③幂函数，当时是增函数④幂函数，当时，在第一象限内，随的增大而减小A．①②B．③④ C．②③ D．①④【答案】D【解析】①正确：当时，恒成立，故幂函数的图象不可能出现在第四象限；②错误：时，无意义，故幂函数的图象不过；③错误：时，不具备单调性；④正确：当时，幂函数在上为减函数，故选D在函数中，幂函数有()A．1个B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．所以只有是幂函数，个数为2，故选B.已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则()A．B．C．D．【答案】B【解析】由偶函数在上单调递减且可得，即，选B.已知幂函数的图象经过，则.【答案】3【解析】依题意设，则，，.已知函数，为何值时，是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．【答案】(1)1；(2)；(3)或；(4)或.【解析】(1)若是正比例函数