近年-近年学年高中数学第二章平面向量第4节平面向量的数量积(第1课时)平面向量数量积的物理背景及其含

第1课时平面向量数量积的物理背景及其含义[核心必知]PP问题． 提示：|F|cosθ. (3)力做功的大小与哪些量有关? (1)向量的数量积的定义数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内定义积)记法a·b＝|a||b|cosθ规定零向量与任一向量的数量积为0 (2)向量的数量积的几何意义①投影的概念: (ⅰ)向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ。(ⅱ)向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ。②数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．(3)向量数量积的性质设a与b都是非零向量,θ为a与b的夹角．①a⊥b?a·b＝0。②当a与b同向时,a·b＝|a||b|,当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.③a·a＝|a|2或|a|＝a·a＝错误!。④cosθ＝错误!。⑤|a·b|≤|a||b|. (4)向量数量积的运算律①a·b＝b·a(交换律)．②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．[问题思考]向量间的运算，其运算结果是一个实数，这个实数 提示：①在实数中，若a≠0，且ab＝0,则b＝0,但在数量积中,若a≠0且a·b＝0，不一定能推出b＝0，这是因为|b|cosθ有可能为0,即a⊥b。②在实数中|ab|＝|a||b|，但在向量中|a·b|≤|a|·|b|。 (3)a⊥b与a·b＝0等价吗? ab(5)a·b中的“·”能省略不写吗？(6)对于向量a,b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一定成立吗？提示：不一定成立，∵若(a·b)·c≠0，其方向与c相同或相反，而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反，而a与c方向不一定相同,故该等式不一定成立．[课前反思]; 知识点1算名师指津：要求a·b，需要知道|a|、|b|、cosθ。[思考2]你认为，求平面向量数量积的步骤是什么?(1)求a与b的夹角θ,θ∈[0，π];(2)求|a|和|b|；(3)代入公式求a·b的值．1．(1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4,|b|＝2，求:①a·b；②(a＋b)·(a－2b)．(2)设正三角形ABC的边长为错误!，AB＝c,BC＝a，CA＝b，求a·b＋b·c＋c·a。 [尝试解答](1)①由已知得a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4.②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12。(2)∵|a|＝|b|＝|c|＝2，且a与b、b与c、c与a的夹角均为120°，∴a·b＋b·c＋c·a＝错误!×错误!×cos120°×3＝－3.类题·通法(1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两个向量 (2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运1．(1)已知下列命题：①若a2＋b2＝0，则a＝b＝0；②已知a,b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③|a|·|b|〈|a·b|；④a·a·a＝|a|3;⑤若向量ababa与b的夹角为锐角．其中所有正确命题的序号是________．(2)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ为60°，求：①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)；③|a－b|。解析：(1)对于①,∵a2＋b2＝0，∴|a|2＋|b|2＝0，∴|a|＝|b|＝0,∴a＝b＝0,故对于②,∵a＋b＝0，∴a与b互为相反向量，设a与c夹角为θ，则b与c夹角为π－θ，则a·c＝|a||c|cosθ，b·c＝|b||c|cos(π－θ)＝－|b||c|cosθ，∴|a·c|＝|b·c|,所以②正确；对于③，|a·b|＝|a|·|b||cosθ|≤|a|·|b|,故③错误；对于④，a·a·a＝|a|2·a，其结果为向量，故④错误；对于⑤，当a与b为同向的非零向量时，a·b＝|a||b|cos0＝|a|·|b|〉0，但夹角 (2)①a·b＝|a||b|cosθ＝2×3×cos60°＝3.②(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×22＋5×3－3×32③|a－b|＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.1)①②2[思考]如何求向量的模|a|？提示:|a|＝错误!。2．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61。 (1)求a与b的夹角θ; (2)求|a＋b|。[尝试解答](1)由(2a－3b)·(2a＋b)＝61,得4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.将|a|＝4，|b|＝3代入上式,得a·b＝－6，所以cosθ＝错误!＝错误!＝－错误!.又0≤θ≤π,所以θ＝错误!。 (2)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b222＝|a|＋2a·b＋|b|22所以|a＋b|＝错误!.类题·通法在求向量的模时，直接运用公式|a±b2＝错误!.a|＝a·a，但计算两向量的和与差的长度用|a±b|＝2．(1)已知非零向量a＝2b＋2c,|b|＝|c|＝1，若a与b的夹角为,则|a|＝________；(2)已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，则|a－b|＝________。解析：(1)由于c＝错误!a－b，所以c2＝错误!|a|2＋|b|2－2×错误!|a||b|×错误!，整理得|a|2－2|a|＝0，所以|a|＝2或|a|＝0(舍去)．(2)由已知，|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42,∴a2＋2a·b＋b2＝16。(*)∵|a|＝2，|b|＝3,∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，代入(＊)式得4＋2a·b＋9＝16，即2a·b＝3.又∵|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，∴|a－b|＝错误!.知识点3名师指津：利用cosθ＝错误!求出cosθ的值，然后借助θ∈[0，π]求θ. 名师指津：两非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0.3．(1)已知向量a,b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为________． [尝试解答](1)设a与b的夹角为θ，依题意有：(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以cosθ＝错误!,因为0≤θ≤π,故θ＝错误!。即错误!②－①得23b2－46a·b＝0，∴|a|＝|b|，∴cosθ＝错误!＝错误!＝错误!.∵θ∈[0，π],∴θ＝错误!.类题·通法 (1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|,在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ算cosθ＝|a||b|，最后借助θ∈[0,π]，求出θ值．(2)在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算cosθ的值．解：由已知得a·b＝3×2×cos60°＝3.由c⊥d，得c·d＝0,即c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝27m＋3(5m－9)－60 [课堂归纳·感悟提升] (1)数量积的计算，见讲1； (2)向量的模的计算，见讲2； (3)向量的夹角及垂直问题，见讲3. (1)在实数运算中，若ab＝0,则a与b中至少有一个为0。而在向量数量积的运算中,不能从a·b＝0推出a＝0或b＝0。实际上由a·b＝0可推出以下四种结论： (2)在实数运算中，若a,b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，但对于向量a,b，却有|a·b|≤|a||b|，当且仅当a∥b时等号成立．这是因为|a·b|＝|a||b||cosθ|，而|cosθ|≤1. (3)实数运算满足消去律：若bc＝ca，c≠0，则有b＝a.在向量数量积的运算中,若a·b＝a·c(a≠0)，则向量c，b在向量a方向上的投影相同，因此由a·b＝a·c(a≠0)不能得到b＝c。 (4)实数运算满足乘法结合律,但向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c)，这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．课下能力提升(十九)[学业水平达标练]1．下面给出的关系式中正确的个数是()①0·a＝0；②a·b＝b·a;③a2＝|a|2；④|a·b|≤a·b；⑤(a·b)2＝a2·b2.解析：选C①②③正确，④⑤错误,|a·b|＝|a|·|b|·|cosθ|≥a·b，(a·b)2＝(|a|·|b|·cosθ)2＝a2·b2cos2θ≠a2·b2.2．已知|b|＝3,a在b方向上的投影是错误!，则a·b为()∴a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝3×错误!＝错误!.ABCMBCAMPAMAPPMAPPB＋PC)等于()49A.B。错误!C．－错误!D．－错误!9且AP＝2PM,∴|AP|＝错误!.＝错误!。AP·(PB＋PC)＝AP·2PM＝AP·AP＝(AP)2＝错误!24。如图所示，在平行四边形ABCD中，|AB|＝4,|AD|＝3,∠DAB＝60°。求：(1)AD·BC; (2)AB·CD；(3)AB·DA。解：(1)AD·BC＝|AD|2＝9；(2)AB·CD＝－|AB|2＝－16；(3)AB·DA＝|AB||DA|cos(180°－60°)＝4×3×错误!＝－6.题组2向量的模解析:选B根据题意，得|a＋2b|＝a2＋4a·b＋4b2＝错误!.故选B。6．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72,则|a|＝()解析：选C∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝－72,∴|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝－72，∴|a|2－2|a|－24＝0，∴|a|＝6或|a|＝－4.又|a|≥0，∴|a|________.解析：(a＋2b)·(a－2b)＝a2－4b2，∵a⊥b，∴|a＋2b|＝错误!，|a－2b|＝错误!。故cos120°＝错误!＝错误!错误!＝错误!，即错误!＝错误!。23答案：3题组3两向量的夹角与垂直问题8．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()AB°解析：选C因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b·b＝0，所以a·b＝－错误!|b|2.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝错误!＝错误!＝－错误!，故θ＝120°。9．已知|a|＝3，|b|＝2,且a，b的夹角为60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，那么m的)A。错误!B.错误!C.错误!D。错误!解析:选C由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0，3m×32＋(5m－3)×3×2cos60°－5×22＝0，解得m＝错误!.10．已知|a|＝3，|b|＝4，且(a－2b)·(2a＋b)≥4，则a与b的夹角θ的取值范解析：(a－2b)·(2a＋b)＝2a2＋a·b－4a·b－2b2＝2×9－3|a||b|cosθ1－2×16＝－14－3×3×4cosθ≥4，∴cosθ≤－2，∴θ∈错误!。 (1)求(2a－b)·(a＋b)；(2)若(a＋b)⊥(λa－2b)，求实数λ的值．解：(1)由题意，得a·b＝|a|·|b|cos60°＝1×4×错误!＝2.∴(2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝2＋2－16＝－12。(2)∵(a＋b)⊥(λa－2b)，∴(a＋b)·(λa－2b)＝0，∴λa2＋(λ－2)a·b－2b2＝0，∴λ＋2(λ－2)－32＝0，∴λ＝12。升综合练]1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ＝45°,则向量a在向量b上的投影为()解析：选A由已知|a|＝3，|b|＝5，cosθ＝cos45°＝错误!，而向量a在向量b上的投影为|a|cosθ＝3×错误!＝错误!。ab－4e2，ab|故选C.AD解析：选D因为AC＝BC－BA＝错误!BD－BA，所以AC·AD＝(错误!BD－BA)·AD＝错误!BD·AD－BA·AD。又AD⊥AB,所以BA·AD＝0,所以AC·AD＝错误!BD·AD.又BD＝AD－AB,所以AC·AD＝错误!BD·AD＝错误!(AD－AB)·AD＝错误!AD2－错误!AB·AD＝错误!。解析：选B|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝x2，两式相减得4a·b＝1－x2.又a·b＝－错误!x，所以1－x2＝－错误!x，解得x＝2或x＝－错误!(舍去)．故选B.5．已知平面向量α，β,|α|＝1，|β|＝2,α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．解析：|α|＝1，|β|＝2，由α⊥(α－2β)，知α·(α－2β)＝0,2α·β＝所以|2α＋β|2＝4α2＋4α·β＋β2＝4＋2＋4＝10，故|2α＋β|＝错误!。错误!ete求实数t的取值范围．∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2t