近年-近年学年高中数学第二讲证明不等式的基本方法二综合法与分析法教案(含解析)新人教A版选修4-5

二综合法与分析法(1)定义:一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推． (2)特点：由因导果,即从“已知”看“可知"，逐步推向“未知"．用P表示已知条件或已有的不等式，用Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为 (1)定义：证明命题时，常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)(2)特点：执果索因,即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知"．式 求证：错误!＋错误!＋错误!<错误!＋错误!＋错误!.[思路点拨]答本题可从左到右证明，也可从右到左的差异，这种差异正是我们思考的方向．左端含有根错误!＝错误!〈错误!实现；也可以由右到左证明，按上述思路逆向证明即 [证明]法一：∵a，b,c是不等正数，且abc＝1，∴a＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!〈错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!。c∴错误!＋错误!＋错误!＝bc＋ca＋ab＝2＝2＋错误!＋错误!>错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋错误!.综合法证明不等式,揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之a2＋b2＋c2≥错误!(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca。2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，①即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.②bc3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，即即a2＋b2＋c2≥3(a＋b＋c)2.③在不等式②的两端同时加上2(ab＋bc＋ca)得:(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca),即错误!(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca。④bcabbcca式本题考查分析法在证明不等式中的应用．[证明]要证c－错误!<a<c＋错误!，即证|a－c|〈错误!,222222c (1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的(2)分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆．证明：∵错误!＋错误!>0，2错误!>0，∴要证错误!＋错误!<2错误!。只需证(错误!＋错误!)2〈(2错误!)2.即证221<10,即证21<25(显然成立)．证明：要证明(x2＋y2)错误!>(x3＋y3)错误!，(x2＋y2)3〉(x3＋y3)2.6422466336即证x＋3xy＋3xy64224663364224333xy＋3x42243322∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy。∴3x2＋3y2>2xy成立．∴(x2＋y2)错误!>(x3＋y3)错误!。[例3]设a〉0,b>0，且a＋b＝1，求证:错误!＋错误!≤错误!。[思路点拨]所证不等式含有开方运算且两边都为正数，可考虑两边平方，用分析法转 [证明]要证错误!＋错误!≤错误!，只需证(错误!＋错误!)2≤6，即证(a＋b)＋2＋2错误!≤6。由a＋b＝1得只需证错误!≤错误!，即证ab≤错误!。得ab≤错误!2＝错误!,即ab≤错误!成立．(1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法,或称“两头挤"法,证明：要证2错误!≤3错误!，只需证a＋b－2错误!≤a＋b＋c－3错误!，即－2错误!≤c－3错误!.移项,得c＋2错误!≥3错误!。得c＋2错误!＝c＋错误!＋错误!≥3错误!成立．∵错误!＋错误!>错误!＋错误!>2错误!。A.＋错误!≥2B.错误!＋错误!≥a＋bC。错误!＋错误!≤错误!D.错误!＋错误!≥错误!解析：选CA项满足基本不等式；B项可等价变形为(a－b)2(a＋b)≥0,正确;C项中b＝错误!－错误!＝错误!。∴错误!＜错误!,即a<b.222222222222∴a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)，即S<2P.5．设a,b，c都是正实数,且a＋b＋c＝1，若M＝错误!·错误!·错误!，则M的取值范围是________．∴M＝错误!·错误!·错误!＝错误!·错误!·错误!＝错误!·错误!·错误!≥2错误!·2错误!·2错误!＝8.即M的取值范围是[8，＋∞)．答案:[8，＋∞)∴R＝错误!≤Q＝错误!≤P＝错误!，又(a－c)·错误!＝[(a－b)＋(b－c)]·错误!≥2错误!·2错误!＝4,当且仅当a－b＝b－∴m∈(－∞,4]．＋b＋c)． (1)a＋b＋c≥错误!；(2)错误!＋错误!＋错误!≥错误!(错误!＋错误!＋错误!)．abc错误!，由于a,b,c＞0，因此只需证明(a＋b＋c)2≥3.即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，故只需证明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)．22即证a＋b＋c≥ab＋bc22而这可以由ab＋bc＋ca≤错误!＋错误!＋错误!＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得． (2)错误!＋错误!＋错误!＝错误!。中已证a＋b＋c≥3.只需证明错误!≥错误!＋错误!＋错误!，即证abc＋b错误!＋c错误!≤1，即证a错误!＋b错误!＋c错误!≤ab＋bc＋ca。而a错误!＝错误!≤错误!，b错误!≤错误!,c错误!≤错误!.所以a错误!＋b错误!＋c错误!≤ab＋bc＋ca(当且仅当a＝b＝c＝错误!时等号成立)．所以a＋a≥xy2错误!＝2错误!。因为x－x2＝x(1－x)≤错误!2＝错误!,又因为0〈a<1，axxax立．所以ax＋ay＞2a，又∵0<a<1，a来，本文档在发布之前我们对内容进行仔如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解ThisarticleiscollectedandcompiledbymycolleaguesandIinourbusyschedule.Weproofreadthecontentcarefullybeforethereleaseofthisarticlebutitisinevitablethattherewill