空间向量在立体几何中的应用

空间向量在立体几何中的应用1.立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．

对于垂直问题，一般是利用进行证明；

对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．

2.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。

要点诠释：

平面的法向量的求法：

设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。

线线角的求法：

设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为。

（注意：线线角的范围[00,900]）

线面角的求法：

设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（如图）。

二面角的求法：

设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）

3.用向量法求距离的公式

设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为（如图）。

要点诠释：

（1）点A到平面的距离：

，其中，是平面的法向量。

（2）直线与平面之间的距离：

，其中，是平面的法向量。

（3）两平行平面之间的距离：

，其中，是平面的法向量。题组一一、填空题1．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）一个正方体形状的无盖铁桶的容积是，里面装有体积为的水，放在水平的地面上（如图所示）.

现以顶点为支撑点，将铁桶倾斜，当铁桶中的水刚好要从顶点处流出时，棱与地面所成角的余弦值为

答案2.

（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）平面内有两定点A，B，且|AB|=4，动点P满足，则点P的轨迹是

.答案：以AB为直径的圆；二、简答题3．（福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理）（本小题满分12分）如图，已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，A1D⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2。

（I）求证：C1D//平面ABB1A1；

（II）求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角D—A1C1—A的余弦值。答案（I）证明：四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，BB1//CC1，又面ABB1A1，所以CC1//平面ABB1A1，

…………2分ABCD是正方形，所以CD//AB，又CD面ABB1A1，AB面ABB1A1，所以CD//平面ABB1A1，…………3分所以平面CDD1C1//平面ABB1A1，所以C1D//平面ABB1A1

…………4分

（II）解：ABCD是正方形，AD⊥CD因为A1D⊥平面ABCD，所以A1D⊥AD，A1D⊥CD，如图，以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz，

…………5分在中，由已知可得所以，

…………6分因为A1D⊥平面ABCD，所以A1D⊥平面A1B1C1D1A1D⊥B1D1。又B1D1⊥A1C1，所以B1D1⊥平面A1C1D，

…………7分所以平面A1C1D的一个法向量为n=（1，1，0）

…………8分设与n所成的角为，则

所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为

…………9分

（III）解：平面A1C1A的法向量为

则

所以

令可得

…………11分则所以二面角的余弦值为

…………12分4．（北京五中2011届高三上学期期中考试试题理）如图①，正三角形边长2，为边上的高，、分别为、中点，现将沿翻折成直二面角，如图②(1)判断翻折后直线与面的位置关系，并说明理由(2)求二面角的余弦值(3)求点到面的距离图①

图②答案解：（1）平行（证明略）（2）取AE中点M,角BMD即所求,余弦值为（３），可得点到面的距离为5．（福建省惠安荷山中学2011届高三第三次月考理科试卷）

（本题满分13分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，AC⊥BC，D为AB的中点.（1）求异面直线与所成的角的余弦值；（2）求证：；（3）求证：答案

5.

解：（1）在直三棱柱中

是所成的角（或其补角）………2分

在中，

…………4分

（2）连结交于，连结。……………5分

则为的中点

又为的中点

……………7分

………………9分

（3）在直三棱柱中

…………10分

…………11分

…………12分

同理：

…………13分6．（宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理）（本小题满分12分）如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=,AD=,EF=2．（1）求证：AE//平面DCF；（2）当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为．【分析】（1）只要过点作的平行线即可；（2）由于点是点在平面内的射影，只要过点作的垂线即可很容易地作出二面角的平面角，剩下的就是具体的计算问题。或者建立空间直角坐标系，使用法向量的方法求解。【解析】

方法一：（Ⅰ）证明：过点作交于，连结，

可得四边形为矩形，又为矩形，所以，

从而四边形为平行四边形，故．因为平面，平面，

所以平面．………6分

（Ⅱ）解：过点作交的延长线于，连结．

由平面平面，，得平面，

从而．所以为二面角的平面角．

在中，因为，，

所以，．又因为，所以，从而，于是，因为所以当为时，二面角的大小为………12分方法二：如图，以点为坐标原点，以和分别作为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．设，

则，，，，．

（Ⅰ）证明：，，，

所以，，从而，，

所以平面．因为平面，所以平面平面．

故平面．………6分

（Ⅱ）解：因为，，所以，，从而

解得．所以，．设与平面垂直，则，，解得．又因为平面，，所以，

得到．所以当为时，二面角的大小为．………12分【考点】空间点、线、面位置关系，空间向量与立体几何。【点评】由于理科有空间向量的知识，在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用，这为考生选择解题方案提供了方便，但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷，那就是空间向量的运算问题，空间向量有三个分坐标，在进行运算时极易出现错误，而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显，所以在复习立体几何时，不要纯粹以空间向量为解题的工具，要注意综合几何法的应用。7．（北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考）（本题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点．

（Ⅰ）当为侧棱的中点时，求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）（理科做）当二面角的大小为时，试判断点在上的位置，并说明理由．

答案7.

（本题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，与的交点为，为侧棱上一点．

（Ⅰ）当为侧棱的中点时，求证：∥平面；

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）（理科做）当二面角的大小为时，

试判断点在上的位置，并说明理由．解法一：证明：（Ⅰ）连接，由条件可得∥．因为平面，平面，所以∥平面．（Ⅱ）由已知可得，,是中点，所以．又因为四边形是正方形，所以．因为，所以．又因为，所以平面平面．（Ⅲ）解：连接，由（Ⅱ）知．而,

所以．又．所以是二面角的平面角，即．设四棱锥的底面边长为2，在中，,

,

所以．又因为,

,所以是等腰直角三角形．由可知，点是的中点．解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，．建立如图所示的空间直角坐标系．设四棱锥的底面边长为2，则，，，，，．

所以，．设（），由已知可求得．所以，．设平面法向量为，则

即令，得．易知是平面的法向量．因为，所以，所以平面平面．（Ⅲ）解：设（），由（Ⅱ）可知，平面法向量为．因为，所以是平面的一个法向量．由已知二面角的大小为．所以，所以，解得．所以点是的中点．8．（北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题）（本小题满分13分）已知：如图，长方体

中，、分别是棱,上的点，,.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；（

2）证明平面；（

3）求二面角的正弦值.答案

解：

法一：

如图所示，以点

A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设

,

依题意得,,,

（1）易得,,于是

所以异面直线与所成角的余弦值为（2）已知,

,

于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面（3）设平面的法向量，则,即不妨令X=1,可得。由（2）可知，为平面的一个法向量。于是

，从而,

所以二面角的正弦值为法二：

（1）设AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=连接B1C,BC1，设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C，由

,可知EF∥BC1.故是异面直线EF与A1D所成的角，易知

BM=CM=,所以

,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为（2）连接AC，设AC与DE交点N

因为，所以

，从而，又由于

,所以，故

AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，从而AF⊥DE.

连接BF，同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,

所以AF⊥A1D因为，所以AF⊥平面A1ED.

（3）连接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,

又NF平面ACF,A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故为二面角A1-ED-F的平面角.易知，所以，

又

所以，在

,连接A1C1,A1F

在

。所以

所以二面角A1-DE-F正弦值为.9．（浙江省金丽衢十二校2011届高三第一次联考理）（本题满分14分）如图，在长方体中，，且．（I）求证：对任意，总有；（II）若，求二面角的余弦值；（III）是否存在，使得在平面上的射影

平分？若存在,

求出的值,

若不存在，说明理由．答案解：（I）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，则，，从而，

，即．（４分）（II）由（Ｉ）及得，，设平面的法向量为，则，从而可取平面的法向量为，又取平面的法向量为，且设二面角为，所以（９分）（III）假设存在实数满足条件，由题结合图形，只需满足分别与所成的角相等，即

，即，解得

．所以存在满足题意得实数，使得在平面上的射影平分

（14分）空间向量在立体几何中的应用题组二一、选择题1．（浙江省菱湖中学2011届高三上学期期中考试理）

三棱锥S—ABC中，SA⊥底面ABC，SA=4，AB=3，D为AB的中点∠ABC=90°，则点D到面SBC的距离等于（

）A．

B．

C．

D．答案

C.2．（河南省长葛第三实验高中2011届高三期中考试理）向量与共线（其中等于

（

）A．

B．

C．－2

D．2答案

A.二、填空题3．（浙江省桐乡一中2011届高三文）如图，边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列命题：①动点A′

在平面ABC上的射影在线段AF上；②三棱锥A′—FED的体积有最大值；③恒有平面A′GF⊥平面BCED；④异面直线与BD不可能互相垂直；⑤异面直线FE与所成角的取值范围是.其中正确命题的序号是

．（将正确命题的序号都填上）．答案

①②③⑤三，解答题4.

（河北省唐山一中2011届高三文）（本题满分12分）已知四棱锥P—ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD.异面直线PB与CD所成的角为45°.求：

⑴二面角B—PC—D的大小；⑵直线PB与平面PCD所成的角的大小.答案

4.解：⑴∵AB∥CD，∴∠PBA就是PB与CD所成的角，即∠PBA=45°,……1分

于是PA=AB.

作BE⊥PC于E，连接ED，在△ECB和△ECD中，BC=CD，CE=CE，∠ECB=∠ECD，△ECB≌△ECD，∴∠CED=∠CEB=90°,∠BED就是二面角B—PC—D的平面角.………4分设AB=a，则BD=PB=，PC=，

BE=DE=,cos∠BED=,∠BED=120°二面角B—PC—D的大小为120°；

……………6分⑵还原棱锥为正方体ABCD—PB1C1D1，作BF⊥CB1于F,

∵平面PB1C1D1⊥平面B1BCC1，

∴BF⊥平面PB1CD,………………8分连接PF,则∠BPF就是直线PB与平面PCD所成的角.……………10分BF=,PB=,sin∠BPF=,∠BPF=30°.所以就是直线PB与平面PCD所成的角为30°.…12分注：也可不还原成正方体,利用体积求出点B到平面PCD的距离，或用向量法解答.5.（广东省河源市龙川一中2011届高三文)（14分）如图，一简单几何体的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC平面ABC。（1）证明：平面ACD平面；（2）若，，，试求该几何体的体积V．答案

5.解：（１）证明：

∵DC平面ABC,平面ABC

∴．

----------------2分∵AB是圆O的直径∴且

∴平面ADC．

---------------------------------------------------------------4分∵四边形DCBE为平行四边形

∴DE//BC

∴平面ADC------------------------------------------------------------------6分又∵平面ADE

∴平面ACD平面-------------------------7分（2）解法１：所求简单组合体的体积：-----9分∵，，

∴,-------------11分∴-------12分---------13分∴该简单几何体的体积-------------------------------14分解法5：将该简单组合体还原成一侧棱与底面垂直的三棱柱---8分如图∵，，

∴,-------------10分∴=-----------------------------12分

=-----------------------------------------------14分6.

（广西桂林十八中2011届高三第四次月考试卷文）

（12分）如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，,点E是棱PB的中点.（1）证明：;（2）若AD=1，求二面角的大小.答案7