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文档简介
空间向量在立体几何中的应用1.立体几何中有关垂直和平行的一些命题,可通过向量运算来证明.
对于垂直问题,一般是利用进行证明;
对于平行问题,一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.
2.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便.其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角,而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。
要点诠释:
平面的法向量的求法:
设n=(x,y,z),利用n与平面内的两个不共线的向a,b垂直,其数量积为零,列出两个三元一次方程,联立后取其一组解,即得到平面的一个法向量(如图)。
线线角的求法:
设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b,则直线AB与CD所成的角为。
(注意:线线角的范围[00,900])
线面角的求法:
设n是平面的法向量,是直线的方向向量,则直线与平面所成的角为(如图)。
二面角的求法:
设n1,n2分别是二面角的两个面,的法向量,则就是二面角的平面角或其补角的大小(如图)
3.用向量法求距离的公式
设n是平面的法向量,AB是平面的一条斜线,则点B到平面的距离为(如图)。
要点诠释:
(1)点A到平面的距离:
,其中,是平面的法向量。
(2)直线与平面之间的距离:
,其中,是平面的法向量。
(3)两平行平面之间的距离:
,其中,是平面的法向量。题组一一、填空题1.(北京五中2011届高三上学期期中考试试题理)一个正方体形状的无盖铁桶的容积是,里面装有体积为的水,放在水平的地面上(如图所示).
现以顶点为支撑点,将铁桶倾斜,当铁桶中的水刚好要从顶点处流出时,棱与地面所成角的余弦值为
答案2.
(福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理)平面内有两定点A,B,且|AB|=4,动点P满足,则点P的轨迹是
.答案:以AB为直径的圆;二、简答题3.(福建省厦门双十中学2011届高三12月月考题理)(本小题满分12分)如图,已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,A1D⊥底面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱AA1=2。
(I)求证:C1D//平面ABB1A1;
(II)求直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角D—A1C1—A的余弦值。答案(I)证明:四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,BB1//CC1,又面ABB1A1,所以CC1//平面ABB1A1,
…………2分ABCD是正方形,所以CD//AB,又CD面ABB1A1,AB面ABB1A1,所以CD//平面ABB1A1,…………3分所以平面CDD1C1//平面ABB1A1,所以C1D//平面ABB1A1
…………4分
(II)解:ABCD是正方形,AD⊥CD因为A1D⊥平面ABCD,所以A1D⊥AD,A1D⊥CD,如图,以D为原点建立空间直角坐标系D—xyz,
…………5分在中,由已知可得所以,
…………6分因为A1D⊥平面ABCD,所以A1D⊥平面A1B1C1D1A1D⊥B1D1。又B1D1⊥A1C1,所以B1D1⊥平面A1C1D,
…………7分所以平面A1C1D的一个法向量为n=(1,1,0)
…………8分设与n所成的角为,则
所以直线BD1与平面A1C1D所成角的正弦值为
…………9分
(III)解:平面A1C1A的法向量为
则
所以
令可得
…………11分则所以二面角的余弦值为
…………12分4.(北京五中2011届高三上学期期中考试试题理)如图①,正三角形边长2,为边上的高,、分别为、中点,现将沿翻折成直二面角,如图②(1)判断翻折后直线与面的位置关系,并说明理由(2)求二面角的余弦值(3)求点到面的距离图①
图②答案解:(1)平行(证明略)(2)取AE中点M,角BMD即所求,余弦值为(3),可得点到面的距离为5.(福建省惠安荷山中学2011届高三第三次月考理科试卷)
(本题满分13分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=CC1=2,AC⊥BC,D为AB的中点.(1)求异面直线与所成的角的余弦值;(2)求证:;(3)求证:答案
5.
解:(1)在直三棱柱中
是所成的角(或其补角)………2分
在中,
…………4分
(2)连结交于,连结。……………5分
则为的中点
又为的中点
……………7分
………………9分
(3)在直三棱柱中
…………10分
…………11分
…………12分
同理:
…………13分6.(宁夏银川一中2011届高三第五次月考试题全解全析理)(本小题满分12分)如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE//CF,BCF=CEF=,AD=,EF=2.(1)求证:AE//平面DCF;(2)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为.【分析】(1)只要过点作的平行线即可;(2)由于点是点在平面内的射影,只要过点作的垂线即可很容易地作出二面角的平面角,剩下的就是具体的计算问题。或者建立空间直角坐标系,使用法向量的方法求解。【解析】
方法一:(Ⅰ)证明:过点作交于,连结,
可得四边形为矩形,又为矩形,所以,
从而四边形为平行四边形,故.因为平面,平面,
所以平面.………6分
(Ⅱ)解:过点作交的延长线于,连结.
由平面平面,,得平面,
从而.所以为二面角的平面角.
在中,因为,,
所以,.又因为,所以,从而,于是,因为所以当为时,二面角的大小为………12分方法二:如图,以点为坐标原点,以和分别作为轴,轴和轴,建立空间直角坐标系.设,
则,,,,.
(Ⅰ)证明:,,,
所以,,从而,,
所以平面.因为平面,所以平面平面.
故平面.………6分
(Ⅱ)解:因为,,所以,,从而
解得.所以,.设与平面垂直,则,,解得.又因为平面,,所以,
得到.所以当为时,二面角的大小为.………12分【考点】空间点、线、面位置关系,空间向量与立体几何。【点评】由于理科有空间向量的知识,在解决立体几何试题时就有两套根据可以使用,这为考生选择解题方案提供了方便,但使用空间向量的方法解决立体几何问题也有其相对的缺陷,那就是空间向量的运算问题,空间向量有三个分坐标,在进行运算时极易出现错误,而且空间向量方法证明平行和垂直问题的优势并不明显,所以在复习立体几何时,不要纯粹以空间向量为解题的工具,要注意综合几何法的应用。7.(北京龙门育才学校2011届高三上学期第三次月考)(本题满分14分)如图,在四棱锥中,底面是正方形,其他四个侧面都是等边三角形,与的交点为,为侧棱上一点.
(Ⅰ)当为侧棱的中点时,求证:∥平面;
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)(理科做)当二面角的大小为时,试判断点在上的位置,并说明理由.
答案7.
(本题满分14分)如图,在四棱锥中,底面是正方形,其他四个侧面都是等边三角形,与的交点为,为侧棱上一点.
(Ⅰ)当为侧棱的中点时,求证:∥平面;
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)(理科做)当二面角的大小为时,
试判断点在上的位置,并说明理由.解法一:证明:(Ⅰ)连接,由条件可得∥.因为平面,平面,所以∥平面.(Ⅱ)由已知可得,,是中点,所以.又因为四边形是正方形,所以.因为,所以.又因为,所以平面平面.(Ⅲ)解:连接,由(Ⅱ)知.而,
所以.又.所以是二面角的平面角,即.设四棱锥的底面边长为2,在中,,
,
所以.又因为,
,所以是等腰直角三角形.由可知,点是的中点.解法二:(Ⅰ)同解法一(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知,.建立如图所示的空间直角坐标系.设四棱锥的底面边长为2,则,,,,,.
所以,.设(),由已知可求得.所以,.设平面法向量为,则
即令,得.易知是平面的法向量.因为,所以,所以平面平面.(Ⅲ)解:设(),由(Ⅱ)可知,平面法向量为.因为,所以是平面的一个法向量.由已知二面角的大小为.所以,所以,解得.所以点是的中点.8.(北京四中2011届高三上学期开学测试理科试题)(本小题满分13分)已知:如图,长方体
中,、分别是棱,上的点,,.
(1)求异面直线与所成角的余弦值;(
2)证明平面;(
3)求二面角的正弦值.答案
解:
法一:
如图所示,以点
A为坐标原点,建立空间直角坐标系,设
,
依题意得,,,
(1)易得,,于是
所以异面直线与所成角的余弦值为(2)已知,
,
于是·=0,·=0.因此,,,又所以平面(3)设平面的法向量,则,即不妨令X=1,可得。由(2)可知,为平面的一个法向量。于是
,从而,
所以二面角的正弦值为法二:
(1)设AB=1,可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=连接B1C,BC1,设B1C与BC1交于点M,易知A1D∥B1C,由
,可知EF∥BC1.故是异面直线EF与A1D所成的角,易知
BM=CM=,所以
,所以异面直线FE与A1D所成角的余弦值为(2)连接AC,设AC与DE交点N
因为,所以
,从而,又由于
,所以,故
AC⊥DE,又因为CC1⊥DE且,所以DE⊥平面ACF,从而AF⊥DE.
连接BF,同理可证B1C⊥平面ABF,从而AF⊥B1C,
所以AF⊥A1D因为,所以AF⊥平面A1ED.
(3)连接A1N.FN,由(2)可知DE⊥平面ACF,
又NF平面ACF,A1N平面ACF,所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故为二面角A1-ED-F的平面角.易知,所以,
又
所以,在
,连接A1C1,A1F
在
。所以
所以二面角A1-DE-F正弦值为.9.(浙江省金丽衢十二校2011届高三第一次联考理)(本题满分14分)如图,在长方体中,,且.(I)求证:对任意,总有;(II)若,求二面角的余弦值;(III)是否存在,使得在平面上的射影
平分?若存在,
求出的值,
若不存在,说明理由.答案解:(I)以为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,设,则,,从而,
,即.(4分)(II)由(I)及得,,设平面的法向量为,则,从而可取平面的法向量为,又取平面的法向量为,且设二面角为,所以(9分)(III)假设存在实数满足条件,由题结合图形,只需满足分别与所成的角相等,即
,即,解得
.所以存在满足题意得实数,使得在平面上的射影平分
(14分)空间向量在立体几何中的应用题组二一、选择题1.(浙江省菱湖中学2011届高三上学期期中考试理)
三棱锥S—ABC中,SA⊥底面ABC,SA=4,AB=3,D为AB的中点∠ABC=90°,则点D到面SBC的距离等于(
)A.
B.
C.
D.答案
C.2.(河南省长葛第三实验高中2011届高三期中考试理)向量与共线(其中等于
(
)A.
B.
C.-2
D.2答案
A.二、填空题3.(浙江省桐乡一中2011届高三文)如图,边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G,已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形,现给出下列命题:①动点A′
在平面ABC上的射影在线段AF上;②三棱锥A′—FED的体积有最大值;③恒有平面A′GF⊥平面BCED;④异面直线与BD不可能互相垂直;⑤异面直线FE与所成角的取值范围是.其中正确命题的序号是
.(将正确命题的序号都填上).答案
①②③⑤三,解答题4.
(河北省唐山一中2011届高三文)(本题满分12分)已知四棱锥P—ABCD的底面是正方形,PA⊥底面ABCD.异面直线PB与CD所成的角为45°.求:
⑴二面角B—PC—D的大小;⑵直线PB与平面PCD所成的角的大小.答案
4.解:⑴∵AB∥CD,∴∠PBA就是PB与CD所成的角,即∠PBA=45°,……1分
于是PA=AB.
作BE⊥PC于E,连接ED,在△ECB和△ECD中,BC=CD,CE=CE,∠ECB=∠ECD,△ECB≌△ECD,∴∠CED=∠CEB=90°,∠BED就是二面角B—PC—D的平面角.………4分设AB=a,则BD=PB=,PC=,
BE=DE=,cos∠BED=,∠BED=120°二面角B—PC—D的大小为120°;
……………6分⑵还原棱锥为正方体ABCD—PB1C1D1,作BF⊥CB1于F,
∵平面PB1C1D1⊥平面B1BCC1,
∴BF⊥平面PB1CD,………………8分连接PF,则∠BPF就是直线PB与平面PCD所成的角.……………10分BF=,PB=,sin∠BPF=,∠BPF=30°.所以就是直线PB与平面PCD所成的角为30°.…12分注:也可不还原成正方体,利用体积求出点B到平面PCD的距离,或用向量法解答.5.(广东省河源市龙川一中2011届高三文)(14分)如图,一简单几何体的一个面ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,且DC平面ABC。(1)证明:平面ACD平面;(2)若,,,试求该几何体的体积V.答案
5.解:(1)证明:
∵DC平面ABC,平面ABC
∴.
----------------2分∵AB是圆O的直径∴且
∴平面ADC.
---------------------------------------------------------------4分∵四边形DCBE为平行四边形
∴DE//BC
∴平面ADC------------------------------------------------------------------6分又∵平面ADE
∴平面ACD平面-------------------------7分(2)解法1:所求简单组合体的体积:-----9分∵,,
∴,-------------11分∴-------12分---------13分∴该简单几何体的体积-------------------------------14分解法5:将该简单组合体还原成一侧棱与底面垂直的三棱柱---8分如图∵,,
∴,-------------10分∴=-----------------------------12分
=-----------------------------------------------14分6.
(广西桂林十八中2011届高三第四次月考试卷文)
(12分)如图,四棱锥中,底面ABCD是矩形,,点E是棱PB的中点.(1)证明:;(2)若AD=1,求二面角的大小.答案7
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