工程光学习题参考答案第十一章 光的干涉和干涉系统

第十一章光的干涉和干涉系统1.双缝间距为1mm,离观察屏1m,用钠光灯做光源，它发出两种波长的单色光九二589.0nm和九二589.6nm，问两种单色光的第十级亮条纹之间的间距是多少12解：由题知两种波长光的条纹间距分别为=589x10-6mD九lx589x10=589x10-6me=i=—id10-3lx589.6x10-9103

=589.6x10-6m•:第十级亮纹间距A=10(e-e)=10x(589.6-589)x106=0.6x10-5m21解：设厚度为h，则前图光程程差为习题@-1)h.・.(n-1)h=◎D0.58h=0.58h=0.5x10-2x10-305h=1.72x10-2mm3.一个长30mm的充以空气的气室置于杨氏装置中的一个小孔前，在观察屏上观察到稳定的干涉条纹系。继后抽去气室中的空气，注入某种气体，发现条纹系移动了25个条纹，已知照明光波波长九=656.28nm，空气折射率n°=1.000276。试求注入气室内气体的折射率。解：设气体折射率为n，则光程差改变A=(n-n)h0

Ax-dD=Ax-dD=25e-D=20mK25x656.28x10-90^+1.000276=1.0008234・**垂直入射的平面波通过折射率为n的玻璃板，投射光经投射会聚到焦点上。玻璃板的厚度沿着C点且垂直于图面（见图11-18）的直线发生光波波长量级的突变d，问d为多少时，焦点光强是玻璃板无突变时光强的一半。图11-18图11-18解：无突变时焦点光强为410，有突变时为210，设d'，D.I=41COS2=210KD0(m>0)又、：A=(n-l)dd二厶n-15・若光波的波长为K，波长宽度为A，相应的频率和频率宽度记为V和Av，证明AvvAvvAKT对于K=632.8nm的氦氖激光，波长宽度AK=2x10-8nm，求频率宽度和相干长度。解：・.・Kv解：・.・Kv=cAKAvv对于K=632.8nmnv.•.AvAKA.•.AvAKAK=*v=—KKc2x10-8x10-9x3x108K_632.8x632.8x10-18=1.498x104Hz=2x104m「九2632.8xlO-=2x104mA九2x10-176.直径为0.1mm的一段钨丝用作杨氏实验的光源，为使横向相干宽度大于1mm,双孔必须与灯相距离多少解：设钨灯波长为九，则干涉孔径角卩=二bc又•・•横向相干宽度为d=1mmdd-bc・•・孔、灯相距卩九.m取九=550nm在等倾干涉实验中，若照明光波的波长九=600nm，平板的厚度h=2mm，折射率n=1.5，其下表面涂上某种高折射率介质（n>1.5），问（1）在反射光方H向观察到的圆条纹中心是暗还是亮（2）由中心向外计算，第10个亮纹的半径是多少（观察望远镜物镜的焦距为20cm）（3）第10个亮环处的条纹间距是多少TOC\o"1-5"\h\z解：（1）n<n<n,・•.光在两板反射时均产生半波损失，对应的光程差为0HA=2nh=2x1.5x0.002=0.006m・中心条纹的干涉级数为A6x106m=一==104o九600为整数，所以中心为一亮纹⑵由中心向外，第n⑵由中心向外，第n个亮纹的角半径为en・・.e10,'10x1，5x600nm=0.067rad2mm・・.e10半径为r=f-e=0.067x200mm=13.4mm10103）第十个亮纹处的条纹角间距为n九Ae==3.358x10-3rad102eh10・间距为Ar=f-Ae=0.67mm1010用氦氖激光照明迈克尔逊干涉仪，通过望远镜看到视场内有20个暗环且中心是暗斑。然后移动反射镜M，看到环条纹收缩，并且一一在中心消失了20环，此刻视

场内只有10个暗环，试求（1）M移动前中心暗斑的干涉级次（设干涉仪分光板G不镀膜）；（2）M移动后第5个暗环的角半径。移动前边缘暗纹级次为mo-2°,0对应角半径为01移动后边缘暗纹级次为mo-3°,对应角半径02/.0移动前边缘暗纹级次为mo-2°,0对应角半径为01移动后边缘暗纹级次为mo-3°,对应角半径02/.0=0n10=2012hh21又•・•Ah=h-h=必=10九122(1)（2）条纹收缩，h变小）h=20九,h=10九12•.2h九+=m九120m=40.50尢(2)移动后2hcos0+—=m225—2x10—cos0+—=(20.5—5)—23cos0=4.•.角半径0=41.4。=0.72rad在等倾干涉实验中，若平板的厚度和折射率分别是h=3mm和n=，望远镜的视场角为60，光的波长九=450nm,问通过望远镜能够看到几个亮纹解：设有N个亮纹，中心级次

N<12.68・•・可看到12条亮纹10・用等厚干涉条纹测量玻璃楔板的楔角时，在长达5cm的范围内共有15个亮纹，玻璃楔板的折射率n=,所用光波波长九=600nm,求楔角。解：600X10-92ne2解：600X10-92ne2x1.52x0.055.9x10-5rad1511.土11-50所示的装置产生的等厚干涉条纹称牛顿环。证明R=,N和r分别表N九示第N个暗纹和对应的暗纹半径。九为照明光波波长，R为球面曲率半径。图11-50习题12图证明：在0点空气层厚度为0,此处为一暗斑，设第N暗斑半径为rN，由图r2=R2-（R—h2）=2Rh一h2N•:R》h:.r2沁2RhN又•・•第N暗纹对应空气层2h+-=（2N+1）-22N-h=—212•试根据干涉条纹清晰度的条件（对应于光源中心和边缘点，观察点的光程差5A必

须小于久），证明在楔板表面观察等厚条纹时，光源的许可角度为6p=f拎,其中h是观察点处楔板厚度，n和n'是板内外折射率。证明：如图，扩展光源沆照明契板皿张角为26，设中心点so发出的光线在两表面反射由什发出的光以交于P，则P点光程差为A/2nh（h为对应厚度），若板极薄时,由什发出的光以角6i入射也交于P点附近，光程差A2=2nhC0S62（62为折射角）/.A=/.A=2nhcos6=2nh22(6、(6)1一2sin2—沁2nh1_T12丿I2丿九由干涉条纹许可清晰度条件，对于Si，So在P点光程差小于-九/A-A=nh62<1224nh1•••许可角度1•••许可角度26i<n证毕。13.在图11-51中，长度为10cm的柱面透镜一端与平面玻璃相接触。另一端与平面玻璃相间隔0.1mm，透镜的曲率半径为1m。问：（1）在单色光垂直照射下看到的条纹形状怎样（2）在透镜长度方向及于之垂直的方向上，由接触点向外计算，第N个暗条纹到接触点的距离是多少设照明广博波长九=500nm。高0.1mm高0.1mm图11-51习题14图解：（1）沿轴方向为平行条纹，沿半径方向为间距增加的圆条纹，如图九（2）T接触点光程差为-・•・为暗纹7九沿轴方向，第N个暗纹有h=N-—

・•・距离dh_N九_500xlO一・•・距离dh_N九_500xlO一9N厂2X10-3_0.25Nmm沿半径方向r_\RNX_f1xNx500x10-9m2_0.707*NmmN14.假设照明迈克耳逊干涉仪的光源发出波长为九和九的两个单色光波，12X=X+AX，且AX<<X，这样，当平面镜M移动时，干涉条纹呈周期性地消1211失和再现，从而使条纹可见度作周期性变化，（1）试求条纹可见度随光程差的变化规律；（2）相继两次条纹消失时，平面镜M移动的距离Ah；（3）对于钠灯，设X=11和X=均为单色光，求Ah的值。2解：（1）当X的亮纹与X的亮纹重合时，太欧文可见度最好，X与X的亮暗纹重合1212时条纹消失，此时光程差相当于X的整数倍和X的半整数倍（反之亦然），即12A_2h+A'_mX_（m+丄）X1122X式中假设cos9_1，A'为附加光程差（未镀膜时为巧）222h+A'2h+A'-X一212h+A'•AXXX12(1)当M1移动时干涉差增加丄，所以12(h+Ah)+A'm一m+—+1_•AX212XX12(2)1）（2）式相减，得到2)Ah_0.289mm15.图11-52是用泰曼干涉仪测量气体折射率的示意图，其中D和D是两个长度为1210cm的真空气室，端面分别与光束I和II垂直。在观察到单色光照明（X=）产生的干涉条纹后，缓慢向气室D充氧气，最后发现条纹移动了92个，（1）计算氧气2的折射率；（2）若测量条纹精度为110条纹，求折射率的测量精度。

TOC\o"1-5"\h\z解：(1)条纹移动92个，相当于光程差变化A=92九设氧气折射率为"一,2C—-l)x0.1=92九n=氧氧氧(2)若条纹测量误差为AN，周围折射率误差有2lAn=AN•九=2.95x10-7人AN•九0.1x589.3xlO-=2.95x10-7\o"CurrentDocument"An==—2l2x0.116．红宝石激光棒两端面平行差为10''，将其置于泰曼干涉仪的一支光路中，光波的波长为,棒放入前，仪器调整为无干涉条纹，问应该看到间距多大的条纹设红宝石棒的折射率n=.解：契角为Q,光经激光棒后偏转2(n-lb・•・两光波产生的条纹间距为九2(n九2(n-l)a=8.6mm解：设附加相位变化申，当两条纹重合时，光程差为为1，几2的整数倍,‘2h‘‘2h‘2h+工-T+二冗丿兀丿丿v1J2在移动前Am=m-m12=2h九一九12移动后Am'=mAm'=m-m+1=122(h+Ah)Q2(h+Ah)

x2+日冗丿=2(h+Ah)毎112由上两式得A由上两式得A九=九九122Ah~2Ah・•・未知波长为599.88nm18.F-P标准具的间隔为2.5mm，问对于x=500nm的光，条纹系中心的干涉级是多少如果照明光波包含波长500nm和稍少于500nm的两种光波，它们的环条纹距离为1/100条纹间距，问未知光波的波长是多少=0.12nm解：若不考虑附加相位5则有2h=吟m==1040xAe九1(500x10-9)AX=—2=-=5x10-4nme2h1002x2.5x10-3・•・未知波长为499.99995nm19.F-P标准具两镜面的间隔为0.25mm，它产生的-谱线的干涉环系中的第2环和第5环的半径分别是2mm和3.8mm,,谱系的干涉环系中的第2环和第5环的半径2分别是2.1mm和3.85mm。两谱线的平均波长为500nm，求两谱线波长差。解：设反射相位P产生附加光程差A'，则对于X有1TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2h+A'=mX(1)01若m=m+q,(m为整数)，则第N个亮纹的干涉级数为「m-(N-1)]01111其角半径为2hcos0+A'=[m-(N-1)]X(2)由(1)(2)得2h(1-cos0)=(N-1+q)XN11X02占1(N-1+q)Nh1又7rN=fN

・••第五环与第二环半径平方比为r2-5-r22同理q二0.2702又：(m+q11)又：(m+q11)-(m+q2'2h'2hT+二-T+二冗兀，v1丿J2丿2hA九2•AX=2h(q2-q16x10-2nm20.如图11-53所示，F-P标准具两镜面的间隔为1cm,在其两侧各放一个焦距为15cm的准直透镜L和会聚透镜L。直径为1cm的光源（中心在光轴上）置于L的焦平121面上，光源为九=589.3nm的单色光；空气折射率为1。（1）计算L焦点处的干2涉级次，在L的焦面上能看到多少个亮条纹其中半径最大条纹的干涉级和半径是2多少（2）若将一片折射率为，厚为0.5mm的透明薄片插入其间至一半位置，干涉环条纹应怎样变化观察屏观察屏解：（1）忽略金属反射时相位变化®，则m=T=58駕0-9=33938.57・干涉级次为339381光源经成像在观察屏上直径为1cm，相应的张角tg9=30，中心亮纹干涉级为m】=33938，设可看到N个亮纹，则最亮纹干涉级次为［m］-（N光源经成像在观察屏上直径为1cm，相应的张角tg9其入射角01=「m-(N-1)_|1NN1

m—(N-1)=33919.71•°・最外层亮纹级数为33920・•・可看到18个亮纹2)上下不同，所以有两套条纹，不同处即上：2nh二m下：2nh+2(n'—n)Ah=m'九(以上对应中心条纹)21.在玻璃基片上(n=1.52)涂镀硫化锌薄膜，入射光波长为九=500nm，求正入G射时给出最大反射比和最小反射比的膜厚及相应的反射比。解：正入射时，反射比为()5()5\o"CurrentDocument"n—n2丿cos2+oG2p=—()5\o"CurrentDocument"n+n2丿cos2-

oG2nnog—nn丿nn、og+nn丿2.5sm2-2,5=$nh\o"CurrentDocument"25九sm2—2当5=兀时，反射率最大(n＞叮pmax=pmax=o.33对应h==52.52nm4n当5=2兀时，反射率最小，p.=0.04min九对应h==105.04nm2n22•在玻璃基片上镀两层光学厚度为为0/4的介质薄膜，如果第一层的折射率为，问为达到在正入射下膜系对九0全增透的目的，第二层薄膜的折射率应为多少(玻璃基片折射率n=L6)1.71

1.7123.在玻璃基片（n=1.6）上镀单层增透膜，膜层材料是氟化镁（n=1.38）,控制G膜厚使得在正入射时对于波长九二500nm的光给出最小反射比。试求这个单层膜0在下列条件下的反射比：（1）波长九二600nm，入射角9二00；（2）波长00九=500nm，入射角申=300。00TOC\o"1-5"\h\z4兀nh4兀九5解：（1）九=600nm时，o==—0=兀九九46代入式（11-67）有P=0.01（2）斜入射时，对s,p分量有ncos0-ncosncos0-ncos0r=—00,rsncos0+ncos0p00nn—0—cos0cos00ncos0n+0—cos00可见对s分量若令ncos0=n,ncos0=n,可见对s分量若令ncos0000GGGn-n—n—p分量令=n,0=n,G=ncos0cos00cos0G0G则其形式与正入射时类似，因此可用于计算斜入射情形当0当00=30。时，可求得0=sin-1=21。15'TOC\o"1-5"\h\z(n)0=sin—1G一sin0=sin—1GIn丿G•:对s分量n=ncos0=0.866,n=1.286,n=1.52000G4兀4兀在30°角入射下，0=nhcos0=nhcos21O15'=0.932兀\o"CurrentDocument"九九00将上述值代入（11-67）式有r=0.014，s同理r=0.004p1因入射为自然光，所以反射率为P=入r+r=0・0092sp图示为检测平板平行性的装置。已知光源有：白炽灯，钠灯九=589.3nm,AX=0.6nm一X=590nm,AX=0.0045nm

（，氦灯（），

透镜L1、L2的焦距均为100mm,待测平板Q的最大厚度为4mm,折射率为，平板到透镜L2的距离为300mm.问：1）该检测装置应选择何种光源2）S到L1的距离3）光阑S的许可宽度（注：此问写出算式即可。）成1）AX小,相干性好，故选氦灯。成2）检测平板平行性的装置应为等厚干涉系统，故S到L1的距离为100mm,平行光，产生等厚干涉条纹。b3）光源角半径：a=—211另一方面，由光源中心点与边缘点发出的光在P点产生的程差之差:'入'入A0-A=2nh(1-cosa)<—1InXa<—2nVh所以光阑S的许可宽度为:b=21-^b=21-