2021年黑龙江省鹤岗市中考数学试卷（附答案）

2021年黑龙江省鹤岗市中考数学试卷

注意事项：

1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2.请将答案正确填写在答题卡上

一、单选题

1.下列运算中，计算正确的是（）

A.nr+ni,——B.（—2。-）——6a，C.（a—b）—cr-b~D.-^6-j->/2——-\/3

2.下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

3.如图是由5个小正方体组合成的几何体，则该几何体的主视图是（）

正面

cftl]

D田

4.一组数据：2,4,4,4,6,若去掉一个数据4,则下列统计量中发生变化的是（）

A.众数B.中位数C.平均数D.方差

5.有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传

染中平均一个人传染的人数是（）

A.14B.11C.10D.9

6.已知关于x的分式方程一^=1的解为非负数，则加的取值范围是（）

2.x—1

A.m>-4B.加之一4•且加。-3c.m>-AD.m>-4且

m^-3

7.为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180

元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲

种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（）

A.5种B.6种C.7种D.8种

8.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABC。的边轴，垂足为E，顶点A在第

二象限，顶点8在丁轴正半轴上，反比例函数y=K（kwO,尤>（））的图象同时经过顶

x

点C、D.若点。的横坐标为5,BE=2DE，则％的值为（)

20

D.

T

9.如图，平行四边形A3FC的对角线A尸、BC相交于点E,点。为AC的中点，连

接8。并延长，交R7的延长线于点。，交A尸于点G,连接A。、OE,若平行四边

形A3FC的面积为48,则S》OG的面积为（）

D.3

试卷第2页，总8页

10.如图，在正方形ABC。中，对角线AC与8。相交于点O，点E在BC的延长线

上，连接。E，点尸是。E的中点，连接Ok交CO于点G,连接。/，若CE=4,

OF=6.则下列结论：①GE=2；②OD=6OG；③tanNCOE=；；④

OR

NO£*=NOCF=90。：⑤点D到CF的距离为名.其中正确的结论是（）

5

A.①②③④B.①③④⑤C.(D@③⑤D.①②④⑤

二、填空题

11.截止到2020年7月底，中国铁路营业里程达到14.14万公里，位居世界第二.将数

据14.14万用科学记数法表示为.

12.函数y=--—中，自变量x的取值范围是.

x-2

13.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、8□相交于点。，在不添加任何辅

助线的情况下，请你添加一个条件,使平行四边形ABCD是矩形..

14.一个不透明的口袋中装有标号为1、2、3的三个小球，这些小球除标号外完全相同，

随机摸出1个小球，然后把小球重新放回口袋并摇匀，再随机摸出1个小球，那么两次

摸出小球上的数字之和是偶数的概率是.

2x—a>0

15.关于x的一元一次不等式组L<无解，则a的取值范围是_____________.

3x-4<5

16.如图，在。。中，AB是直径，弦AC的长为5cm,点。在圆上，且N4DC=30。,

则的半径为.

c

17.若一个圆锥的底面半径为1cm,它的侧面展开图的圆心角为90°,则这个圆锥的母

线长为cm.

18.如图，在向AA03中，NAOB=90°,Q4=4,03=6,以点。为圆心，3为

半径的O。，与OB交于点C,过点C作。DJ_03交于点。，点P是边OA上的

顶点，则PC+PD的最小值为.

19.在矩形ABCD中，AB=2cm,将矩形ABCD沿某直线折叠，使点8与点。重合，

折痕与直线A。交于点E，且。E=3cm,则矩形A8C0的面积为cm2.

20.如图，菱形ABQ9中，NABC=120°,AB=1，延长CD至A，使。A=CO,

以4C为一边，在的延长线上作菱形ACG2,连接A4-得到A4O4；再延长

GA至4,使24=CQ1,以4G为一边，在CG的延长线上作菱形，

连接A4,得到AAQ4……按此规律，得到△A2O2O02O2o4o2l，记凶。4的面积为演，

AAQ4的面积为S2……刈020。20204021的面积为52021，则52021-•

试卷第4页，总8页

三、解答题

21.先化简，再求值：a--巴二+-J,其中。=2cos6()0+l.

1a+i7a~-1

22.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系

内，的三个顶点坐标分别为A(—l,3),3(T,3),0(0,0).

(1)画出AABO关于x轴对称的并写出点4的坐标；

(2)画出AABO绕点。顺时针旋转90°后得到的VAz与。，并写出点儿的坐标；

(3)在(2)的条件下，求点A旋转到点Az所经过的路径长(结果保留万).

23.如图，抛物线,=必2+公+3(。/0)与工轴交于点4(1,0)和点3(-3,0),与y

轴交于点C,连接8C,与抛物线的对称轴交于点E,顶点为点。.

(1)求抛物线的解析式;

(2)点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点0在射线ED上，若以点P、Q、E

为顶点的三角形与ABOC相似，请直接写出点P的坐标.

24.为庆祝中国共产党建党100周年，某中学开展“学史明理、学史增信、学史崇德、

学史力行''知识竞赛，现随机抽取部分学生的成绩分成A、B、C、E五个等级进行统

计，并绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)本次调查中共抽取学生；

(2)补全条形统计图；

(3)在扇形统计图中，求B等级所对应的扇形圆心角的度数；

(4)若该校有1200名学生参加此次竞赛，估计这次竞赛成绩为A和B等级的学生共

有多少名？

25.已知A、8两地相距240km,一辆货车从A地前往B地，途中因装载货物停留一

段时间.一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达4地后(在A地停留时间不计)

立即原路原速返回.如图是两车距B地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数

图象，结合图象回答下列问题：

试卷第6页，总8页

y/km.

240

75

12.533.5mx/h

(1)图中，〃的值是；轿车的速度是km/h；

(2)求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之

间的

(3)直接写出轿车从8地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12km?

26.,AE=DE,AA5C是直角三角形，NC48=90°,

=-ZAED,连接C/人8。，点F是5。的中点，连接EF.

2

A

।

A

当NE4D=45°,点8在边AE上时，如图①所示，求证：EF=gcD.

(1)

(2)当NE4T)=45°,把AABC绕点A逆时针旋转，顶点8落在边AD上时，如图②

所示，当NE4£>=60°,点8在边AE上时，如图③所示，猜想图②、图③中线段EE

和8又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明.

27.“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”.为扩大粮食生产规模，某粮食生产

基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农

机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元.

（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万

元又不超过12万元，设购进甲种农机具，"件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需

要的资金最少，最少资金是多少？

（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7

万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次

购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种），请直接写出再次购买农机具的方案有哪几

种？

28.如图，在平面直角坐标系中，AAO8的边OA在x轴上，OA^AB,且线段OA的

4

长是方程/一4%—5=0的根，过点3作轴，垂足为E，tan/BAE=—,动

3

点M以每秒1个单位长度的速度，从点A出发，沿线段A3向点3运动，到达点3停

止.过点M作x轴的垂线，垂足为。，以为边作正方形MDC尸，点。在线段OA

上，设正方形MDC尸与AAOB重叠部分的面积为S,点M的运动时间为，«>0）秒.

（1）求点B的坐标；

（2）求S关于，的函数关系式，并写出自变量f的取值范围；

（3）当点/落在线段。B上时，坐标平面内是否存在一点P,使以M、AO、P为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

试卷第8页，总8页

参考答案

1.D

【分析】

根据积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法可直接进行排除选项.

【详解】

解：A、与m3不是同类项，所以不能合并，错误，故不符合题意；

B、（―2/丫=_8。6,错误，故不符合题意；

C、^a-b^=a1-2ab+b1,错误，故不符合题意；

D、底子丘=上,正确，故符合题意；

故选D.

【点睛】

本题主要考查积的乘方、完全平方公式及二次根式的除法，熟练掌握积的乘方、完全平方公

式及二次根式的除法是解题的关键.

2.D

【分析】

根据中心对称图形的定义：旋转180。后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴

对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形

叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案.

【详解】

解：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

【点睛】

本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟记两种图形的特点并准确判断是解题的关键.

3.C

【分析】

根据几何体的三视图可直接进行排除选项.

答案第1页，总30页

【详解】

解：由题意得:

该几何体的主视图是

故选C.

【点睛】

本题主要考查三视图，熟练掌握几何体的三视图是解题的关键.

4.D

【分析】

根据众数、中位数、平均数及方差可直接进行排除选项.

【详解】

解：由题意得：

原中位数为4,原众数为4,原平均数为x=二士;？=原方差为

（2-4）~+（4-4）~+（4-4）+（4-4）+（6-4）g

S2=----------------------------------------------------=-；

55

4+4—2+4+4+6

去掉一个数据4后的中位数为——=4,众数为4,平均数为x=332=4,方差

24

为S2_4+（4一4）2+（4—4）2+（6—4）［_】；

4-一

,统计量发生变化的是方差；

故选D.

【点睛】

本题主要考查平均数、众数、众数及方差，熟练掌握求一组数据的平均数、众数及方差是解

题的关键.

5.B

【分析】

设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得l+x+x（l+x）=144,然后求解即可.

【详解】

解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：

答案第2页，总30页

l+x+x(l+x)=144,

解得：Xj=1l,x2=-13(舍去)，

故选B.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键.

6.B

【分析】

根据题意先求出分式方程的解，然后根据方程的解为非负数可进行求解.

【详解】

解：由关于X的分式方程------=1可得：X=——，且XX；，

2x-l22

•••方程的解为非负数，

也40,且也1

H—，

222

解得：mW且加。一3,

故选B.

【点睛】

本题主要考查分式方程的解法及一元一次不等式的解法，熟练掌握分式方程的解法及一元一

次不等式的解法是解题的关键.

7.A

【分析】

设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得15x+l()y=180,进而求解即可.

【详解】

解：设购买甲种奖品为x件，乙种奖品为y件，由题意可得:

15x+10y=180,

y=18-|x,

•.•x〉0,y>0,且x、y都为正整数,

答案第3页，总30页

...当x=2时，则y=15；

当尤=4时，则y=12；

当x=6时，贝!Jy=9；

当x=8时，则y=6；

当x=10时，则y=3；

，购买方案有5种；

故选A.

【点睛】

本题主要考查二元一次方程的应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解题的关键.

8.A

【分析】

由题意易得AB=BC=CD=AO=5,AO/，5C,则设。E=x,BE=2x,然后可由勾股定理

得(5-4+4£=25,求解x,进而可得点C(5,①，则0(2,5+4：最后根据反比例

函数的性质可求解.

【详解】

解：：四边形ABC。是菱形，

AB=BC=CD=AD,AD//BC,

A£>_Ly轴，

:.ZDEB=ZAEB=90°,

，/DEB=NCBO=90°,

•••点C的横坐标为5,

.♦.点AB=3C=CO=AD=5,

<•,BE=2DE，

设DE=x,BE=2x,则AE=5—X,

・♦.在R△A仍中，由勾股定理得：（5—%y+4d=25,

答案第4页，总30页

解得：匹=2,电=0（舍去）,

/.DE—2,BE—4，

,点。（2，1+4）,

・・・2x6+4卜，

解得：％=一40；

3

故选A.

【点睛】

本题主要考查菱形的性质及反比例函数与几何的综合，熟练掌握菱形的性质及反比例函数与

几何的综合是解题的关键.

9.C

【分析】

由题意易得=〃尸C,进而可得。==则有

22

△OESABAG,然后根据相似比与面积比的关系可求解.

【详解】

解：：四边形4BEC是平行四边形，

AB=FC,AB//FC,AE=EF,S^AFC=-SaABFC,

•••平行四边形ABFC的面积为48,

*•*SJFC=/S口ABFC=24,

•・•点。为AC的中点，

:.OE//CF//AB,OE=-CF=-AB,

22

：.4OEGS4BAG,4AoEs^ACF,

.<_lv空一”一J.

•.AAOE_4“AFC一，AG~AB~2,

答案第5页，总30页

EG=-AE,

3

2

...AG^-AE,

3

「△AOG和八40£同高不同底，

•s—-S—4

••0«AOG_30AAOE-,，

故选c.

【点睛】

本题主要考查相似三角形的性质与判定、平行四边形的性质及三角形中位线，熟练掌握相似

三角形的性质与判定、平行四边形的性质及三角形中位线是解题的关键.

10.C

【分析】

由题意易得BC=CD,B。=。。=Q4=OC,ZBDC=45°,/BCD=NDCE=90°,①由

三角形中位线可进行判断；②由△OOC是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可

进行求解；④根据题意可直接进行求解；⑤过点。作O”J_C凡交C尸的延长线于点从然

后根据三角函数可进行求解.

【详解】

解：：四边形ABC。是正方形，

,BC=CD,BO=OD=OA=OC,ZBDC=45°,ZBCD=ZDCE=90°,ACLBD,

•点尸是的中点，

；.OF=LBE,OF〃BE,

2

OF=6，CE=4,

ABE=12,则C0=3C=8,

YOF//BE,

・•・△DGFSADCE,

・DG_GF_1

**CD-CE-2?

・,・G9=2,故①正确；

答案第6页，总30页

...点G是CC的中点，

，OGLCD,

'：ZODC=45°,

.♦.△■DOC是等腰直角三角形，

OD=V2OG，故②正确；

VCE=4,CD=8,ZDCE=90°,

CE1

/.tanZCDE=——=-,故③正确；

CD2

tanZ.CDE=—^1,

2

，NCDEw450,

：.ZODF^90°,故④错误；

过点。作凡交CF的延长线于点，，如图所示:

丁点F是C£＞的中点,

CF=DF,

：.ZCDE=ZDCF,

tanZ.CDE=tanZ.DCF--,

2

设。”=x,则O7=2x,

在放AOHC中，/+4/=64,

解得：x=±,

5

答案第7页，总30页

Q[c

:.DH=在，故⑤正确；

5

，正确的结论是①②③⑤；

故选C.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正方形的性质、

相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键.

11.1.414X105

【分析】

由题意易得14.14万=141400,然后根据科学记数法可进行求解.

【详解】

解：由题意得：14.14万=141400,

•••将数据14.14万用科学记数法表示为1.414x1()5；

故答案为1.414x105.

【点睛】

本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键.

12.x%2.

【详解】

试题分析：由己知：x-2#),解得xr2；

考点：自变量的取值范围.

13.=90°

【分析】

根据矩形的判定方法即可得出答案.

【详解】

解：；四边形ABCO为平行四边形，

：.当NABC=90°时，四边形4BC。为矩形.

故答案为：ZABC=90°.

【点睛】

答案第8页，总30页

本题考查了矩形的判定，熟记矩形的判定方法是解题的关键.

5

14.-

9

【分析】

画树状图，共有9种等可能的结果，两次摸出小球上的数字之和是奇数的结果有5种，再由

概率公式求解即可.

【详解】

解：画树状图如图:

开始

123

不/T\不

123123123

和234345456

共有9种等可能的结果，两次摸出小球上的数字之和是奇数的结果有5种,

两次摸出小球上的数字之和是偶数的概率为，,

9

故答案为：（

【点睛】

此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式.列表法可以不重复不遗漏的列出所有

可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.

15.a>6

【分析】

分别解出这两个不等式的解集，然后根据不等式组无解，得到关于“的不等式，解不等式即

可.

【详解】

2x-a>0①

解：〈

3%一4<5②

解不等式①得：x>-a,

2

解不等式②得：x<3,

♦.•不等式组无解，

答案第9页，总30页

—a23，

2

tz>6,

故答案为：a>6.

【点睛】

本题考查的是根据一元一次不等式组的解集情况确定参数的取值范围，掌握不等式组的解集

的确定方法是解题的关键.

16.5cm

【分析】

连接8C,由题意易得/4BC=/4DC=30。，进而问题可求解.

【详解】

解：连接BC,如图所示:

ZADC=30°,

：.ZABC=ZADC=3QP,

•••AB是直径，

/.ZACB=90°,

'：AC=5cm,

AB=2AC=10cm,

QO的半径为5cm；

故答案为5cm.

【点睛】

本题主要考查圆周角定理及含30。直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及含30。直角三

角形的性质是解题的关键.

答案第10页，总30页

17.4

【分析】

根据圆锥侧面展开图可知圆锥底面圆的周长即为侧面展开图的弧长，然后由题意可进行求解.

【详解】

解：设母线长为凡由题意得：

,-n兀R

I=2兀r=------，

180

.09Q-7TR

180

解得：R=4,

,这个圆锥的母线长为4cm,

故答案为4.

【点睛】

本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长计算，熟练掌握圆锥侧面展开图及弧长计算是解题的关

键.

18.2^10

【分析】

延长CO,交QO于一点E,连接PE,由题意易得OC=BC=OE=3,ZBCD=ZAOB=90。,

则有ABCDSABOA,CP=PE,然后可得8=2,PC+PD=PE+PD,要使PC+PD

的值为最小，即尸£+尸。的值为最小，进而可得当。、P、E三点共线时最小，最后求解即

可.

【详解】

解：延长CO,交OO于一点E,连接尸E,如图所示：

•；OB=6,以点。为圆心，3为半径的。。，

OC=BC=OE=3,

VZAOB=90°,CDLOB,

,ZBC£)=ZAO8=90。,

•*.CD//OA,CP=PE,

：.4BCX4BOA,

答案第11页，总30页

.CDBC\

"04-2'

QA=4,

CD=2,

'：CP=PE,

；•PC+PD=PE+PD,

则要使PC+PD的值为最小，即PE+PD的值为最小，

...当£＞、尸、E三点共线时最小，即PE+PD=DE，如图所示:

在RmDCE中，DE=ylCD2+CE2=2V10，

；•PC+PD的最小值为2；

故答案为2所.

【点睛】

本题主要考查线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定,

熟练掌握线段垂直平分线的性质、勾股定理、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解

题的关键.

19.6+2出或6-26

【分析】

根据题意可分当折痕与直线AD的交点落在线段AD上和AD外，然后根据折叠的性质及勾

股定理可求解.

【详解】

解：；四边形ABC。是矩形，

答案第12页，总30页

=90°,

①当点E在线段AD上时，如图所示:

由折叠的性质可得NR=NA=90°,AE=EF,AB=DF=2cm,

£)E=3cm,

.,•在放△£)££中，EF=yjDE2-DF2=VScm-

/.AD-AE+DE=+,

2

S矩形ABCO=AB-AD=(6+2V5jcm；

②当点E在线段A。外时，如图所示:

由轴对称的性质可得5E=DE=3cm,

,在Rt&E4B中，AE=ylBE2-AB2=6cm，

二AO=0E-AE=（3-⑹cm,

**'S矩形ABCD=AB.AD=（6—2亚jcm-；

综上所述：矩形ABC。的面积为（6+2灼cn?或（6-26）cn?；

故答案为6+2行或6-26.

【点睛】

答案第13页，总30页

本题主要考查折叠的性质、勾股定理及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质、勾股定理及矩形

的性质是解题的关键.

20.24038.V3

【分析】

由题意易得N8CO=6()°,A3=AD=CD=1,则有A4D4,为等边三角形，同理可得

…….儿42020。2(12()4021都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得

S,=—>S,=6,……由此规律可得S,,=g-22"-4,然后问题可求解.

14

【详解】

解：；四边形ABC。是菱形，

，AB=AD=8=1,AD//BC,AB//CD,

VZABC=120°,

二NBCD=a)°,

：.ZADA,=ZBCD=60°,

•/%=CD,

DAX=AD,

"DA为等边三角形，

同理可得....A42o2o3o2(/2O2i都为等边三角形，

过点B作BE_LC£>于点E,如图所示：

答案第14页，总30页

A

Bc£

BE=BC-sin/BCD=—，

2

二s、=；4。3七=曰4。2=乎,

22

同理可得：S2==>/3>S3=A^D-,=x4=45/3>..

24

由此规律可得：Sn=V3-2"-,

2X202|44038

.­.5202I=V3X2-=2-^；

故答案为2皿38.0.

【点睛】

本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等

边三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键.

21.Ei

a2

【分析】

根据分式的混合运算法则进行化简，再结合特殊角的三角函数值求出〃的值，再代入求解即

可.

【详解】

答案第15页，总30页

h-ci（ci+1）—cra~

解:原式=———-——.-------------

a+1（。+1）（。-1）

a（。+

=----x-------------

。+1a

--a-----\-

a，

当。=2cos60°+1=2x'+l=2时,

2

IP-4a—12-]

原式=-----=——

22

【点睛】

本题主要考查分式的化简求值问题，掌握运算法则与顺序，熟记特殊角的三角函数值是解题

关键.

22.(1)见解析，4(一1,—3)；⑵见解析，4(3,1)；(3)叵兀

2

【分析】

(1)分别作出点A、B关于x轴的对称点，然后依次连接即可，最后通过图象可得点A的

坐标；

(2)根据旋转的性质分别作出点A、B绕点。旋转90。的点，然后依次连接，最后根据图

象可得点儿的坐标；

(3)由(2)可先根据勾股定理求出0A的长，然后根据弧长计算公式进行求解.

【详解】

解：(1)如图所示：AA/Q即为所求,

...由图象可得4(一1，-3)；

(2)如图所示：丫4与。即为所求，

...由图象可得4(3,1)；

(3)由(2)的图象可得：点A旋转到点人所经过的路径为圆弧,

■-,(M=A/32+12=710,

答案第16页，总30页

•••点A旋转到点A,所经过的路径长为1=-=9。个布卫=Y巫.

1801802

【点睛】

本题主要考查旋转的性质、坐标与轴对称及弧长计算公式，熟练掌握旋转的性质、坐标与轴

对称及弧长计算公式是解题的关键.

23.(1)y=-x2-2x+3；(2)片(一1一枝,2),6(—2,3)

【分析】

(1)根据抛物线)=。/+法+3(存0)与x轴交于点A(1,0)和点3(-3,0),即可得到

关于〃、。的方程，从而可以求得。、%的值，然后即可写出抛物线的解析式；

(2)根据(1)中抛物线的解析式，设点P的坐标，然后再根据ABOC是等腰直角三角形，

得出VPQE是等腰直角三角形，再分类讨论，列出方程，即可求解.

【详解】

解：(1):抛物线y=nx2+fcv+3(<#0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),

a+8+3—0

''9a-3b+3=0

a--l

解得，C

b=-2

.•.此抛物线的解析式为：y=—f-2X+3

(2)当x=0时，y=3,所以，O8=OC=3,

•••△BOC是等腰直角三角形，

以点P、Q、E为顶点的三角形与ABOC相似，

答案第17页，总30页

・・・VPQE是等腰直角三角形，

b

设点P的坐标为(帆,一加2-2m+3)，抛物线的对称轴为直线工=----=--------=-1,

2a-2x1

设3C的解析式为丁="+〃，将3(-3,0),C(0,3)代入得，

—32+〃=0

V,

n=3

•k=1

解得，\,故的解析式为y=x+3,

把x=—1代入得，＞=2,则E点坐标为(—1,2),

如图，当E为直角顶点时，一加2一2m+3=2,解得，叫=一1一J2，/n,=-l+V2(舍

去)，把町=—1—代入得，——2〃?+3=2，则P点坐标为(一1—2),

当Q为直角顶点时，PQ=QE,即—加2一2加+3—2=-1—〃2,解得班=-2,m,=0(舍

去)，把叫=-2代入得，-川-2〃?+3=3,则P点坐标为(-2,3)；

答案第18页，总30页

当P为直角顶点时，作PM，E。于M,PM=ME,即—根2—2m+3—2=—1—m，解得班=-2,

咫=0(舍去)，则P点坐标为(-2,3)；

综上，P点坐标为(-1一J5,2)或(-2,3).

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数解析式和相似三角形与等腰直角三角形的性质，解题关键

是熟练运用待定系数法和设出点的坐标，根据题意列出方程.

24.(1)100；(2)图见详解；(3)144。；(4)这次竞赛成绩为A和8等级的学生共有792

名.

【分析】

(1)根据统计图及题意可直接进行求解；

(2)由(1)及统计图可得C等级的人数为20名，然后可求出8等级的人数，进而问题可

求解；

(3)根据题意可直接进行求解；

答案第19页，总30页

(4)由(2)可直接进行求解.

【详解】

解：(1)由题意得：

26・26%=100(名),

故答案为100；

(2)由题意得：

C等级的人数为100x20%=20(名)，B等级的人数为100-26-20-10-4=40(名),

则补全条形统计图如图所示：

(3)由(2)可得:

360°x——=144°；

100

答：8等级所对应的扇形圆心角的度数为144。.

(4)由(2)及题意得：

1200x40+26=792(名)；

100

答：这次竞赛成绩为A和B等级的学生共有792名.

【点睛】

本题主要考查扇形统计及条形统计图，熟练掌握扇形统计及条形统计图是解题的关键.

-66%+240(0<x<2.5)

27

25.(1)5；120；(2)》75(2.5<x<3.5)；⑶lh或一h.

-50x+250(3.5<x<5)'

【分析】

(1)由图象可知轿车从B到A所用时间为2h,即可得出从4到8的时间，进而可得〃?的

答案第20页，总30页

值，根据速度=距离小时间即可得轿车速度；

(2)由图象可知货车在2.5h~3.5h时装载货物停留lh,分32.5；2.5<r<3.5；3.5<r<5H

个时间段，分别利用待定系数法求出y与x的关系式即可得答案；

(3)分两车相遇前和相遇后相距12km两种情况，分别列方程求出x的值即可得答案.

【详解】

(1)由图象可知轿车从B到A所用时间为3-l=2h,

轿车从A到B的时间为2h,

/n=3+2=5,

：A、8两地相距24()km,

/.轿车速度=240+2=120km/h,

故答案为：5；120

(2)由图象可知货车在2.5h~3.5h时装载货物停留lh,

①设YMN=Kx+a(%w0)(0Wx<2.5)

图象过点W(0,240)和点N(25,75)

.,4=240

2.5+6]=75

仇=240

解得：“，

k、=—66

/.yMN=-66x+240(0<x<2.5)

②・.•货车在2.5h〜3.5h时装载货物停留lh,

:.yNG=75(2.5<x<3.5),

③设SGH=42%+4(^^0)(3.5<x<5),

•・・图象过点G(3.5,75)和点H(5,0)

5k?+4=0

35k2+b2=75

b2=250

解得:

k2=-50

答案第21页，总30页

yGH=-50x+250(3.5<x<5),

-66x4-240(0<x<2.5)

/.y=<75(2.5<x<3.5).

-50x+250(3.5<x<5)

(3)设轿车出发x〃与货车相距12km，则货车出发(x+1)h,

①当两车相遇前相距12km时：—66(x+l)+24。—120x=12,

27

解得：x=5T

②当两车相遇后相距12km时：12(比一[-66。+1)+240]=12,

解得：x=l,

27

答：轿车出发lh或一h与货车相距12km.

31

【点睛】

本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂

函数图象表示的意义是解题关键.

26.(1)见详解；(2)图②中图③中=理由见详解.

22

【分析】

(1)由题意易得Z4OE=/E4D=45°,则有NAED=90°,然后可得NA5C=45°,

EF=-BD,进而可得AO垂直平分8C,则8=BE>,最后问题可求证；

2

(2)取CC的中点H,连接AH、EH、FH,如图②，由题意易得FH//BC,AH=DH,则

有EH垂直平分A£>,ZHFA=ZCBA=45°,进而可得/EHF=NEAF=45。,然后可得点A、E、

F、”四点共圆，则根据圆的基本性质可求解；如图③，取BC的中点G,连接G尸并延长，

使得GM=C£>,连接。M、EM、EG,AG,则有四边形CGMC是平行四边形，DM=CG=AC,

进而可得^ACD咨ADME,则有CD=EM,然后可得4EMG是等边三角形，

最后问题可求解.

【详解】

(1)证明：：4E=Z)E，NE4Z>=45°,

二ZADE=NEW=45°,

；•ZAED=90°,

答案第22页，总30页

•.•点F是8。的中点,

:.EF=-BD,

2

■:ZABC=-ZAED,

2

，ZABC=45°,

•；ZCAB=90°,

...△AC8是等腰直角三角形，

：N8M>=NC4Z>=45。，

.♦.AO垂直平分BC,

：.CD=BD,

EF'CD；

2

(2)解：图②中EF=LC£>,图③中EF=@C。，理由如下:

22

图②：取CD的中点H,连接A”、EH、FH,如图②，

VAE=DE，ZE4D=45°,

ZADE=NEW=45。，

/.ZAED=90°,

•：ZABC=-ZAED,

2

•••/ABC=45。，

•••点厂是3。的中点，

答案第23页，总30页

FH//BC,AH=DH=、CD,

2

垂直平分A。，ZHFA=ZCBA=45°,

：.ZEHF=ZEAF=45°,

...点A、E、尸、4四点共圆，

VNHFA=NEAF=45°,

；•AH=EF，

：.EF=-CD-

2

图③：如图③，取BC的中点G,连接GF并延长，使得GM=C£),连接。M、EM、EG,

AG,

•；AE=DE，ZE4D=60°.

：./\ADE是等边三角形，

，ZAEO=ZADE=60°,

'：ZABC=-ZAED,

2

/.ZABC=30°,

NC4B=90。，

Z.CAD=30°,ZACB=60°,

，NAGB=9()°,

AG=CG,

...△AGC是等边三角形,

：.AC=CG,

答案第24页，总30页

•点F是8。的中点，

,GM//CD,

，四边形CGMD是平行四边形，

AC=CG=DM,CG//DM,ZGCD=ZDMG,

，ZGDM^ZAGB=9Q°，

：.ZEDM=30°,

:.ZCAD=ZMDE,

AD=DE，

.♦.△AC。丝△OME(SAS),

CD=EM,/EMD=NDCA,

；•ZACB+ZGCD=ZDMG+ZEMG,

：.ZACB=4EMG=(fiP,

.♦.△EMG是等边三角形，

•点厂是3。的中点，

,BF=DF,

•­,BC//DM,

，ZGBF=NMDF,

■:NGFB=4MFD,

：.AGFB^AMFD(ASA),

:.GF=MF,

：.EF±GM,

；•EF^EM-sinZEMG=—EM=—CD.

22

【点睛】

本题主要考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、平行四边形的性质与判定及三角

函数、圆的基本性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、平行四边形的

性质与判定及三角函数、圆的基本性质是解题的关键.

27.(1)购进1件甲种农机具需1.5万元，购进1件乙种农机具需0.5万元；(2)有三种方

案：方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件；方案二：购买甲种农机具6件，乙种

答案第25页，总30页

农机具4件；方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件；方案一需要资金最少，最少

资金是10万元；（3）节省的资金再次购买农机具的方案有两种：方案一：购买甲种农机具

0件，乙种农机具15件；方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件

【分析】

（1）设购进1件甲种农机具需x万元，购进1件乙种农机具需y万元，根据题意可直接列