人教版高一数学课后答案

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第一章集合与函数概念

1.1集合

1.1.1集合的含义与表示

练习(第5页)

1.用符号““或“史”填空：

(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，贝IJ：中国A,美国A,

印度A,英国

(2)若A={x|/=x},则—1A；

(3)若8={x|x2+x—6=0},贝i」3B；

(4)若。="€可|1<*《10},则8C,9.1C.

1.(1)中国GA,美国eA,印度GA,英国eA；

中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲.

(2)一1史AA={x|x2=x}={0,1}.

(3)3cBB={x|x2+x-6=0}={-3,2}.

(4)8eC,9.1C9.1史N.

2.试选择适当的方法表示下列集合：

(1)由方程f-9=0的所有实数根组成的集合；

(2)由小于8的所有素数组成的集合；

(3)一次函数)，=%+3与》=—2x+6的图象的交点组成的集合；

(4)不等式4x—5<3的解集.

2.解：(1)因为方程尤2—9=0的实数根为占=一362=3,

所以由方程/-9=0的所有实数根组成的集合为{-3,3}；

(2)因为小于8的素数为2,3,5,7,

所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7)；

y=x+3,[x=l

(3)由《,得《,

y=-2x+6[y=4

即一次函数丁=1+3与)，=—2x+6的图象的交点为(1,4),

所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；

(4)由4%-5<3,得x<2,

所以不等式4x-5<3的解集为{x\x<2}.

1.1.2集合间的基本关系

练习(第7页)

1.写出集合{。,dc}的所有子集.

1.解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得0；

取一个元素，得{*{〃},©；

取两个元素,得—},{a,c},{b,c}；

取三个元素,得也,仇c},

即集合{凡仇c}的所有子集为0,{a},{6},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}.

2.用适当的符号填空：

(1)a____{a,b,c}；(2)0_____{x|x2=0}；

(3)0—__{xG7?Ix24-1=0};⑷{0,1}_____N；

(5){0}____{x\x2=x};(6)____{x|x2-3x+2=0}

2.(1)ae{a,b,c}a是集合{a,仇c}中的一个元素；

22

(2)0e{x|x=0}{x|x=0}={0};

(3)0={xe/?|x2+l=O}方程炉+1=0无实数根,{XGR\X2+1=O}=0；

(4){0,l}2N(或{0,l}=N){0,1}是自然数集合N的子集，也是真子集；

(5){0}S{x|%2=%}(或{0}={x|f=x}){x|x2=x}={0,1}；

(6){2,1}={X|X2-3X+2=0}方程/―38+2=0两根为王=1,》2=2.

3.判断下列两个集合之间的关系：

(1)A={1,2,4},6={x|x是8的约数};

(2)A={x\x=3k,kGN},6={x|x=6z,z£N}；

(3)A={x|x是4与10的公倍数,XGN+},B={x\x=20m,m^N^}.

3.解：（1）因为8={x|x是8的约数}={1,2,4,8},所以AaB；

（2）当攵=2z时，3女=6z；当攵=2z+l时，3G=6z+3,

即8是A的真子集，82A；

（3）因为4与10的最小公倍数是20,所以A=B.

1.1.3集合的基本运算

练习（第11页）

1.设4={3,5,6,8},8={4,5,7,8},求4口8,4118.

1.解：AClB={3,5,6,8}Cl{4,5,7,8}={5,8},

AUB={3,5,6,8}U{4,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.

2.设4={幻％2-4》一5=0},8="|》2=1},求AnB,AUB.

2.解：方程X2-4X-5=0的两根为％=-1,々=5,

方程一-1=0的两根为石=-l,x2=1,

得4={-1,5},8={-1,1},

即An8={-1},AUB={T,1,5}.

3.已知A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},求an'AUB.

3.解：AnB={x|x是等腰直角三角形},

AU8={x|x是等腰三角形或直角三角形}.

4.4知全集U={1,2,3,4,5,6,7},4={2,4,5},5={1,3,5,7},

求an（秘）,（必）0（/）.

4.解：显然68={2,4,6},44={1,3,6,7},

则An@8）={2,4},（物）n（a）={6}.

1.1集合

习题L1（第11页）A组

1.用符号““或"史”填空：

(1)3-。；(2)32N；(3)nQ：

7

(4)V2R；(5)V9Z；(6)(V5)2N.

2?

1.(1)3—eQ3—是有理数；(2)32G2V3?=9是个自然数：

77

(3)乃任。乃是个无理数，不是有理数；(4)V2e/?血是实数；

(5)V9eZ血=3是个整数；(6)(V5)2eN(、方>=5是个自然数.

2.已知A={x|x=3A—l,A:wZ},用““或"定”符号填空：

(1)5A；(2)7A；(3)-10A.

2.(1)5eA；(2)7任A；(3)-10eA.

当左=2时.，3左一1=5；当女=一3时，3A:-l=-10；

3.用列举法表示下列给定的集合：

(1)大于1且小于6的整数；

(2)A={x|(x-l)(x+2)=0}；

(3)5={xeZ|-3<2x-1<3}.

3.解:(1)大于1且小于6的整数为2,3,4,5,即{2,3,4,5}为所求;

(2)方程(x—l)(x+2)=0的两个实根为石=-2,々=1，即{-2,1}为所求;

(3)由不等式—3<2x—1K3,得—1<XW2,且xeZ,即{0,1,2}为所求.

4.试选择适当的方法表示下列集合：

(1)二次函数y=x2-4的函数值组成的集合；

2

(2)反比例函数y=±的自变量的值组成的集合；

x

(3)不等式3x24-2x的解集.

4.解：(1)显然有VNO,得42—4,即yN—4,

得二次函数y=/—4的函数值组成的集合为{y\y>-4}i

2

(2)显然有xwO,得反比例函数)，=*的自变量的值组成的集合为{x|xwO}；

X

44

(3)由不等式3xN4—2光，得xN],即不等式3X24—2X的解集为

5.选用适当的符号填空：

(1)已知集合A={x|2x-3<3x},8={x|x22},则有：

-4B；-3A；{2}BA；

(2)已知集合4="|一-1=0},则有:

1A；{-1}A；0A；{1,-1}A；

(3){x|x是菱形}{x|x是平行四边形}:

{x|x是等腰三角形}{x|x是等边三角形}.

5.(1)—4任B•,—3eA；{2}wB；8wA；

2x-3<3x=>x>-3,即A={x|x>-3},B={x\x>2}；

(2)IsA；{-1}SA；0^A；{1,-1}=A；

A={x|x2-1=0}={-1,1}；

(3){x|x是菱形}与{x|x是平行四边形};

菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形;

{x|x是等边三角形}麋{x|x是等腰三角形}.

等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形.

6.设集合4={刘24工<4},3=“|3》—7»8-2»,求AUB,An8.

6.解:3x-7>8-2x,即xN3,得A="|24x<4},8={x|x23},

则AU3={x|xN2},ADB={x|34x<4}.

7.设集合A={x|x是小于9的正整数},8={1,2,3},C={3,4,5,6},求ApB,

A^C,4n(BUC)，4U(8nc).

7.解:A={x|x是小于9的正整数}={1,2,3,4,5,6,7,8},

则4n8={1,2,3},anc={3,4,5,6},

而5UC={L2,3,4,5,6},BDC={3},

则An(BUC)={L2,3,4,5,6},

AU(BAC)={1,2,3,4,5,6,7,8}.

8.学校里开运动会，设4=口口是参加一百米跑的同学},

B={x|x是参加二百米跑的同学},C={x|x是参加四百米跑的同学},

学校规定，每个参加上述的同学最多只能参加两项，清你用集合的语言说明这项规定，

并解释以下集合运算的含义：(1)AU8;(2)AC\C.

8.解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，

即为(An6)nc=0.

(1)AU5={x|x是参加一百米跑或参加二百米跑的同学};

(2)AnC={x|x是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学}.

9.设S={x|x是平行四边形或梯形},A={x|x是平行四边形},8={x|x是菱形},

C={x|x是矩形},求Bn。，6SA.

9.解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即8QC={x|x是正方形},

平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形，

即6*={x|x是邻边不相等的平行四边形},

aa={xix是梯形}.

10.已知集合4="|34%<7},3="|2<》<10},求。(AUB),6(AflB)，

◎A)",AU(6*).

10.解：AUB={x|2<x<10},AnB={x|3<x<7},

={x|x<3,^x>7}.6RB={x|x<2,^x>10},

得a(4115)="|彳42,或％210},

a(AnB)={x|x<3,或xN7},

(dftA)nB={x|2<x<3,gK7<x<10},

AU08)={x|xW2,或3Ax<7或x>10}.

B组

1.已知集合A={1,2},集合8满足AU8={1,2},则集合8有个.

1.4集合5满足AUB=A,则BqA,即集合8是集合A的子集，得4个子集.

2.在平面直角坐标系中，集合C={(x,y)|y=x}表示直线丁=》，从这个角度看，

(2x-y=1

集合。=<(x,y)|〈/卜表示什么？集合C,O之间有什么关系？

x+4y=5

—y—]

2.解：集合。=S，y)H一,一卜表示两条直线2x—y=l,x+4y=5的交点的集合，

[x+4y=5

(2x—y=l

即D=<(x,y)|《卜={(1,1)},点。(1』)显然在直线y=x上，

[x+4y=5

得。旦C.

3.设集合4=“|(》一3)(%一。)=0,。€/?},B={x|(x-4)(x-l)=0},求4UB,An8.

3.解：显然有集合B={X|(X—4)(X—1)=0}={1,4},

当。=3时，集合A={3},则AU8={L3,4},AnB=0；

当。=1时，集合A={1,3},则AU8={L3,4},An3={l};

当。=4时，集合A={3,4},则AUB={l,3,4},AnB={4}；

当aRl,且一a#3,且一a*4时，集合A={3,q},

则4U8={l,3,4,a},An8=0.

4.已知全集U=AUB={无GN|0«X410}，4n&B)={1,3,5,7},试求集合8.

4.解：显然U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},由〃=41_)8,

得即ACI(舸=VB,而4n(Q,8)={L3,5,7},

得4,8={1,3,5,7},而8=瘠(心)，

即8={0,2,4,6,8.9,10}.

第一章集合与函数概念

1.2函数及其表示

1.2.1函数的概念

练习(第19页)

1.求下列函数的定义域：

(1)/(X)=——-——；(2)f(x)=y/l-x+>Jx+3-1.

4x+7

7

1.解：(1)要使原式有意义，则4x+7*0,

4

7

得该函数的定义域为“|x#-一｝；

4

(2)要使原式有意义，贝M，即—34x4l,

x+3>0

得该函数的定义域为｛x|-3<x<l｝.

2.已知函数/(x)=3x?+2x,

(1)求”2)J(—2)J(2)+/(—2)的值；

(2)求/(a)J(-a)J(a)+/(-。)的值.

2.解：(1)由/(X)=3X2+2X,得/(2)=3X22+2X2=18,

同理得了(—2)=3x(—2>+2x(―2)=8,

则/⑵+/(-2)=18+8=26,

即/(2)=18,/(-2)=8,/(2)+/(-2)=26；

(2)由/(x)=3x?+2x,得/(a)=3x4?+2xa=3/+2a,

同理得/(-a)=3x(-a了+2x(-a)=3/一2a,

则/(«)+/(—a)=(3a2+2a)+(3a2-2a)-6a2,

即f(a)-3a2+2a,f(-a)-3a2-2a,f(a)+f(-a)-6a2.

3.判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由：

(1)表示炮弹飞行高度/i与时间t关系的函数〃=130f-5f2和二次函数y=130x-5x2；

(2)/(x)=n^(x)=x°.

3.解：(1)不相等，因为定义域不同，时间f>0；

(2)不相等，因为定义域不同，g(x)=x°(x/O).

1.2.2函数的表示法

练习(第23页)

1.如图，把截面半径为25c机的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为

面积为ya/,把y表示为x的函数.

1.解：显然矩形的另一边长为痴亡Fem,

第1题

y=xyj502-x2=xV2500-x2,且0<x<50,

即y=x^2500-x2(0<x<50).

2.下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事.

（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着

车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；

（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速.

2.解：图象（A）对应事件（2）,在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化;

图象（B）对应事件（3）,刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速;

图象（D）对应事件（1）,返回家里的时刻，离开家的距离又为零;

图象（C）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进.

3.画出函数y=|x-2|的图象.

x-2,x>2

3.解：y=\x-2\=\，图象如下所示.

—x+2,x<2

4="民是锐角},3={0,1},从A到8的映射是“求正弦”，

中元素60°相对应

B中的元素是什么？与B中的元素注相对应的A中元素是什

2

么？

因为sin600=—,所以与A中元素60°相对应的8中的元素是避

4.解:

22

V2

因为sin45°=——，所以与8中的元素J相对应的A中元素是45°.

22

1.2函数及其表示

习题1.2(第23页)

1.求下列函数的定义域:

3r

⑴/(%)=—:(2)/(X)=E；

x-4

、y/4—x

(3)/(x)=------(4)

X2-3X+2

1,解：(1)要使原式有意义,则%—4R0,即x74,

得该函数的定义域为｛x|x*4｝；

(2)xeR,/(乃="都有意义，

即该函数的定义域为R；

(3)要使原式有意义，则――3x+2#0,即xwl且X#2,

得该函数的定义域为｛尤|xw1且xw2｝；

4—x20

(4)要使原式有意义，则4一，即x<4且XW1,

[x-lwO

得该函数的定义域为｛x|x<4S.x丰1｝.

2.下列哪一组中的函数/(x)与g(x)相等？

⑴f(x)=x-1,g(x)=---1；(2)/(x)=x2,g(x)=(Vx)4；

X

(3)/(x)=x2,g(x)-.

x2

2.解：(1)/(x)=x—1的定义域为R,而g(x)=^--1的定义域为｛x|x#0｝,

X

即两函数的定义域不同，得函数“X)与g(x)不相等；

(2)/(x)=/的定义域为R,而g(x)=(«)4的定义域为｛x|xNO｝,

即两函数的定义域不同，得函数/(x)与g(x)不相等；

(3)对于任何实数，都有#7=/,即这两函数的定义域相同，切对应法则相同,

得函数/(x)与g(x)相等.

3.画出下列函数的图象，并说出函数的定义域和值域.

(1)y=3x；y=-4x4-5；(4)y=x2-6x+l.

3.解：(1)

定义域是(-00,4-00),值域是(-00,+00);

(2)

定义域是(-8,0)U(0,+8)，值域是(-OO,0)U(0,+8)；

(3)

⑶

定义域是(一8,+8)，值域是(-00,4-00);

(4)y

定义域是(—8,+8),值域是［—2,+8).

4.已知函数/(x)=3f—5X+2,求/(—血)，f(-a),f(a+3),f(a)+f(3).

4.解：因为/(x)=3f—5x+2,所以/(—应)=3x(—0)2—5x(—行)+2=8+5后,

即/(-扬=8+5&；

同理，f(-a)-3x(-a)2-5x(-a)+2=3a2+5a+2,

即/(—4)=3。2+5&+2；

f(a+3)=3x(a+3)2-5x(a+3)+2=3a2+13a+14,

即/(a+3)=3a2+13a+14；

/(a)+/(3)=3a2—5a+2+/(3)=3a2—5a+16,

即/(。)+/(3)=3/—5a+6

x+2

5.已知函数/(x)=^——，

x-6

(1)点(3,14)在/(x)的图象上吗?

(2)当x=4时,求“X)的值;

(3)当/(x)=2时，求x的值.

3+25

5.解：(1)当x=3时，f(3)=----=—H14,

3-63

即点(3,14)不在/(x)的图象上;

4+2

(2)当x=4时，/(4)=——=—3,

4-6

即当x=4时，求f(x)的值为-3；

X+2

⑶y(x)=--=2,得x+2=2(x-6),

x-6

即x=14.

6.^f(x)=x2+bx+c,且/(1)=0J(3)=0,求〃—1)的值.

6.解：由/(1)=0,/(3)=0,

得1,3是方程f+法+c=0的两个实数根，

即1+3=—b,1x3=c,得b=—4,c=3,

即/(x)=x2-4x+3,W/(-1)=(-1)2-4X(-1)+3=8,

即/(—I)的值为8.

7.画出下列函数的图象：

[0,x<0

(1)F(x)-<；(2)G(n)=3〃+1,”e{1,2,3}.

l,x>0

图象如下:

0,x<0G(明

9(x)=

1,x>010

8

6

4

2

8.如图，矩形的面积为10,如果矩形的长为x,宽为y,对角线为d,

周长为/,那么你能获得关于这些量的哪些函数？

8.解：由矩形的面积为10,即孙=10,得了=—(x>0),x=—(y>0),

xy

由对角线为d,即d=卜+/,得d=.+学(x>0),

20

由周长为/,即/=2x+2y,得/=2x+—(x>0),

x

另外/=2(x+y),而xy=10,/=/+),2,

得1=2j(x+y)2=2y/x2+y2+2xy=2y/d2+20(J>0),

即/=2加+20(J>0).

9.•个圆柱形容器的底部直径是de机，高是Zzc〃z,现在以vc，/3/s的速度向容器内注入某种溶液.求溶

液内溶液的高度xc〃?关于注入溶液的时间fs的函数解析式，并写出函数的定义域和值域.

一do4v

9.解：依题后:，有1（一）2/=力，即工=——-t,

27rd

4vlurd~

显然04x4/2,即04—t<h,得04fA------,

7rdT4v

h兀d-

得函数的定义域为［0,匕巴一］和值域为［0,川・

4v

10.设集合A={a,仇C},8={0,1},试问：从A到8的映射共有几个？

并将它们分别表示出来.

10.解：从A到B的映射共有8个.

了⑷=07(a)=07(a)=07(a)=0

分别是■"6)=0,<"6)=0,，/3)=1，=0

/(c)=0/(c)=1/(c)=0/(c)=1

7(«)=113)=1/⑷=1

<f(b)=0,<于3）=。，</3)=1，</S)=0・

/(c)=0J(c)=l/(c)=0/(c)=1

B组

1.函数厂=/'(p)的图象如图所示.

(1)函数r=/(p)的定义域是什么？

(2)函数r=/(p)的值域是什么？

(3)r取何值时，只有唯一的p值与之对应？

-1

1.解：⑴函数r=/(p)的定义域是[―5,0]U[2,6)；

(2)函数厂=/(p)的值域是[0,+8)；

(3)当厂>5,或04厂<2时，只有唯一的p值与之对应.

2.画出定义域为｛x|—3Wx<8,且XH5｝,值域为｛用一14〉42,)，w0｝的一个函数的图象.

(1)如果平面直角坐标系中点P(x,y)的坐标满足-3WxW8,-l<y<2,那么其中哪些点不能在图象

上？

(2)将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？

2.解：图象如下，(1)点(x,0)和点(5,y)不能在图象上；(2)省略.

3.函数/(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如，[—3.5]=—4,[2.1]=2.

当了€(-2.5,3]时，写出函数/(x)的解析式，并作出函数的图象.

—3,—2.5<x<-2

一2,—2<x<-1

-1,-l<x<0

3.解：f(x)=[x]=<0,0<x<1

1,1<x<2

2,2<x<3

3,x=3

图象如卜

4.如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2加2,从点P沿海岸正东12切？处有一个城镇.

（1）假设一个人驾驶的小船的平均速度为然加//2,步行的速度是女机/力，f（单位：力）表示他从小岛

到城镇的时间，X(单位：攵加)表示此人将船停在海岸处距P点的距离.请将f表示为X的函数.

(2)如果将船停在距点P4女加处，那么从小岛到城镇要多长时间(精确到1/?)?

4.解：(1)驾驶小船的路程为百，步行的路程为12-X,

得好+(0<x<12),

即五丁+^^,(0<x<12).

⑵当A4时，=匹+心=拽+§。3(%).

3535

第一章集合与函数概念

1.3函数的基本性质

1.3.1单调性与最大(小)值

练习(第32页)

1.请根据下图描述某装配线的生产效率与生产线上工人数量间的关系.

(Miff)

1.答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率

达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低.由此可见，并非是工人

越多，生产效率就越高.

2.整个上午(8:0012:00)天气越来越暖，中午时分(12:0013:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许

多.暴风雨过后，天气转暖，直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画出这一天8:0020:00期间气温

作为时间函数的一个可能的图象，并说出所画函数的单调区间.

2.解：图象如下

［8,12］是递增区间，［12,13］是递减区间，［13,18］是递增区间，［18,20］是递减区间.

3.根据下图说出函数的单调区间，以及在每单调区间上，函数是增函数还是减函数.

第3题

3.解：该函数在［-1,0］上是减函数，在［0,2］上是增函数，在［2,4］上是减函数，

在［4,5］上是增函数.

4.证明函数/(x)=—2x+l在R上是减函数.

4.证明：设X］,%2eR，且X<,

因为/(再)7(尤2)=一2(玉一彳2)=2(々一玉)〉0，

即/区)>/心)，

所以函数/(x)=—2x+l在R上是减函数.

5.设/(x)是定义在区间［一6,11］上的函数.如果/(x)在区间［-6,—2］上递减，在区间［—2,11］上递增，画

出了(x)的一个大致的图象，从图象上可以发现/(-2)是函数/(%)的一个.

5.最小值.

1.3.2单调性与最大(小)值

练习(第36页)

1.判断下列函数的奇偶性：

(1)/(x)=2x4+3x2；(2)f(x)-x3-2x

尤2+1

(3)/(x)=:---；(4)/(x)=x2+l.

x

1.解：(1)对于函数/(幻=2X4+3》2,其定义域为(一00,+00),因为对定义域内

每一个X都有/(-%)=2(—x)4+3(-x)2=2x4+3x2=/(x),

所以函数/(x)=2X4+3X2为偶函数；

(2)对于函数/(X)=X3-2X,其定义域为(-8,+OO),因为对定义域内

每一个x都有/(-x)=(-%)3-2(—x)=-(x3-2x)=-/(x),

所以函数/(x)=》3-2x为奇函数；

Y+1

(3)对于函数=——，其定义域为(-8,0)U(0,+8)，因为对定义域内

X

1人谢士£/\(一%)+1Y+1

母一个X都有f(-x)=-------=------=-/(X),

-XX

X24-1

所以函数/(均二:——为奇函数；

X

(4)对于函数/(了)=尤2+1,其定义域为(-8,+8),因为对定义域内

每一个X都有/(-X)=(-X)2+1=/+1=/(幻，

所以函数/(x)=/+l为偶函数.

2.已知/(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整.

第2题

2.解：/(x)是偶函数，其图象是关于y轴对称的;

g(x)是奇函数，其图象是关于原点对称的.

习题1.3

A组

1.画出下列函数的图象，并根据图象说出函数y=/(x)的单调区间，以及在各单调区间

上函数y=/(x)是增函数还是减函数.

(1)y=x2-5x-6；(2)y=9-x2.

1.解：(1)

函数在［|,+oo)上递增;

函

(2)

函数在（-8,0）上递增；函数在［0,+8）上递减.

2.证明：

（1）函数〃灯=炉+1在（-00,0）上是减函数；

（2）函数/（x）=l-'在（-oo,0）匕是增函数.

X

2.证明：（1）设玉<%2<0，而/（再）一/（%2）=X；—%之二（玉+%2）（七一工2），

由玉+4<0,Xj-X2<0,得/（Xj）-/（X2）>0,

即/（占）>/。2），所以函数/（X）=/+1在（-0）,0）上是减函数;

（2）设石<々<0,而/（百）一/a,）='一'=^1^,

x2玉x,x2

由玉工2>0,石_工2<0，得/（演）_/（工2）<0，

即/（占）<f（x2）,所以函数/（x）=l—,在（―8,0）上是增函数.

X

3.探究一次函数y=mx^b（xER）的单调性，并证明你的结论.

3.解：当机>0时，一次函数）；=能工+〃在（一8,+8）上是增函数；

当机<0时，-次函数y=机工+人在（一8,+00）上是减函数，

令f（x）=mx+b,设玉</，

而/（斗）一/（々）=加（X一X2），

当加〉0时、m（x}-x2）<0,即/（须）</（工2），

得•次函数丁=〃犹+/?在（-00,+8）上是增函数；

当机<0时，m（x}-x2）>0,即/（须）>/（工2），

得一次函数y=加戈+b在（一8,+8）匕是减函数.

4.一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次

慢慢升高.画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象(示意图).

4.解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为

5.某汽车租赁公司的月收益y元与每辆车的月租金x元间的关系为

x2

y=-^-+162X-21000,那么，每辆车的月租金多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多

50

少？

x2

5.解：对于函数丁=一否+162x—21000,

当了=——%-=4050时，ymax=307050(元)，

2x(」)

50

即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元.

6.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当xNO时，/(外=8(1+幻・画出函数/")

的图象，并求出函数的解析式.

6.解：当x<0时，一次>0,而当xNO时，f(x)=x(l+x),

B|J/(-x)=-x(l-x),而由已知函数是奇函数，得了(—%)=—/(©，

得-/(%)=-x(l-X),即/(X)=x(l-X),

,x(l+x),x>0

所以函数的解析式为

x(l-x)9x<0

B组

1.已知函数/(x)=f-2x,g(x)=x2-2x(xe[2,4]).

⑴求/(x),g(x)的单调区间;(2)求/(x),g(x)的最小值.

1.解：(1)二次函数/(x)=/-2x的对称轴为x=l,

则函数f(x)的单调区间为(—8,1),[1,+8),

且函数/(X)在(-00,1)上为减函数，在[1,+8)上为增函数,

函数g(x)的单调区间为［2,4］,

且函数g(x)在［2,4］上为增函数;

(2)当x=l时，/U)min=-1，

因为函数g(x)在［2,4］上为增函数,

所以g(x『g(2)=22_2x2=0.

2.如图所示，动物园要建造一面靠墙的2间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是

30m,那么宽x(单位：m)为多少才能使建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积

是多少？

2.解：由矩形的宽为得矩形的长为士三〃?，设矩形的面积为S,

2

则S一把3=/，一IO》)

当X=5时，Smax=37.5,

即宽x=5m才能使建造的每间熊猫居室面积最大,

且每间熊猫居室的最大面积是37.5用2.

3.已知函数/(x)是偶函数，而且在(0,+8)上是减函数，判断/(x)在(-8,0)上是增函数还是减函数，并

证明你的判断.

3.判断/(x)在(-8,0)上是增函数，证明如下：

设X］<工2<0,则一玉>-x2>0,

因为函数“X)在(0,+8)上是减函数，得/(一玉)</(-X2),

又因为函数/(x)是偶函数，得/(x,)<f(x2),

所以/(X)在(-8,0)上是增函数.

复习参考题

A组

1.用列举法表示下列集合：

(1)A-{x\x'=9}；

(2)8={xeN|lWx<2}；

(3)C={x\x2—3x+2=0}.

1.解：(1)方程f=9的解为玉=—3,々=3,即集合A={-3,3}；

(2)l<x<2,且xeN,则x=l,2,即集合8={1,2}；

(3)方程3x+2=0的解为玉=1,々=2,即集合C={1,2}.

2.设P表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？

(1){P\PA=PB］(A,B是两个定点)；

(2){P|PO=3cm}(O是定点).

2.解：(1)由PA=P8,得点P到线段AB的两个端点的距离相等，

即{P|PA=PB］表示的点组成线段A8的垂直平分线；

(2){P|PO=3c”?}表示的点组成以定点。为圆心，半径为3c机的圆.

3.设平面内有A48C,且P表示这个平面内的动点，指出属于集合

{P\PA=PB}Cl{P|PA=PC}的点是什么.

3.解：集合{P|PA=尸甲表示的点组成线段AB的垂直平分线，

集合{P\PA=PC］表示的点组成线段AC的垂直平分线，

得{P\PA=PB}C\{P\PA=PC}的点是线段AB的垂直平分线与线段AC的

垂直平分线的交点，即AABC的外心.

4.已知集合A={x|x2=1},8={刘4工=1}.若8口4，求实数。的值.

4.解：显然集合A={—1,1},对于集合8={巾以=1},

当。=0时，集合8=0,满足BqA,即a=0；

当awO时，集合8={』},而8=则，=一1,或工=1,

aaa

得。=-1,或。=1,

综上得：实数。的值为-1,0,或1.

5.已知集合A={(x,y)|2x-y=0},5={(x,y)|3x+y=0},C={(x,y)12x-y=3},求ACIB,

anc,(AnB)U(Bnc).

_［2x-y=0_

5.解：集合AD8=(x,y)|，•八={(0,0)}，即Afi6={(0,0)}；

3x+y=0

\2x-y-0

集合Anc=《a,y)H-、=0，即Anc=。；

［2x-y=3

集合Bnc=〈(x,)升;：［；：：>=《,一)}；

贝IJ(An8)u(6nC)={(o,o),(|

6.求下列函数的定义域：

(1)y=Jx-2-Jx+5；

⑵产上1

|x|-5

X—220

6.解：（1）要使原式有意义，则《,即尤22,

x+5>0

得函数的定义域为［2,+oo)；

(2)要使原式有意义，则4,即xN4,且XW5,

|x|-5H0

得函数的定义域为［4,5)U(5,+8).

1—r

7.已知函数/(x)=——，求：

1+x

(1)/(a)+l(a*—1)；(2)/(a+l)(aH-2).

1—Y

7.解：(1)因为/(x)=—,

1+x

1—Z71—/72

所以/(a)=F，得/3)+1=;—+1=--，

1+a1+a1+。

即/⑷+1=二；

\+a

1—X

(2)因为/(%)=—,

1+x