数列专题-数列与不等式(本人)

aaa*a22aaan1112142111111n22a2n2nn2n2112aaa*a22aaan1112142111111n22a2n2nn2n2112*nnnnnn1n1

数列专题——数列与不等式数与等数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n项和问题对于这种问题在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题．主要考查考生的推理论证能力和分析、解决问题的能力、以及转化化归的思想和数学素养．1【示例】浙江)知公差不为0的等差数列{}首项a为aaR)，且，，成n124等比数列．Foruseinstudyandnotforcommercialuse11(1)求数列{a}通项公式；(2)对n∈N，试比较＋＋＋…＋与的大小．n223解

1设等差数列{}公差为d题意可知·即a＋)＝a(a＋d)从而a＝d.因为d≠0，所以d＝a＝a.故通项公式a＝na.1n(2)记T＝＋＋…＋，因为a＝a，所以T＝＋＋…＋n2n111＝·＝当a＞0时，＜；当＜时，T＞.a1－本题主要考查等差、等比数列的概念以及通项公式、等比数列的求和等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力．【训练】知数列{}各项均为正数S为其前n项和对于任意的n∈N满足关系式Snn

n＝3a－3.n1(1)求数列{a}通项公式；(2)设数列{}通项公式是b＝，前n和为T，a33＋求证：对于任意的正数n，总有＜1.n(1)解

＝3a－3由已知得＝－－－

n≥．故2(－S＝2a＝－，即＝3a(n≥．nnnnn不得用于商业用途

nn111nn＋1223n12nn－n2**2n112n*－aannan*2nn2*nnn111nn＋1223n12nn－n2**2n112n*－aannan*2nn2*nnn＋c*35k－21*2*2故数列{}等比数列，且公比q＝3.n又当n＝1时，2a＝3a－，∴＝，∴＝11n

.(2)证明∵b＝n

111＝－.nn＋1∴T＝b＋＋…＋＝＜1.＋数综以等差数列、等比数列为载体，考查函数与方程、等价转化和分类讨论等数学思想方法，是新课标高考数列题的一个重要特点，因试题较为综合，故难度一般较大．3＋【示例】(2011·天津知数列{}{}足b＋b＝(－2)＋，b＝，nnn∈N，a＝2.1(1)求a，a的值；(2)设c＝a－232＋1n1

，∈N，证明{}等比数列；nSS1(3)设为{}前n项和，证明＋＋…＋＋≤－(n∈N)．1n(1)解

由b＝n

3＋n为奇数，，n∈N，可得＝n偶数.又b＋b＝(－2)nnn1

＋1，3当n＝1时a＋2a＝－1由a＝2，可得a＝－；112当n＝2时2a＋a＝，可得＝23(2)证明对任意n∈N

，a

＋2a＝－2－2n

＋，①2a＋2n1

＝2＋②②－①，得a

2

1

－a2

1

＝3×2

n1

，即c＝×n

2

c，于是＝n所以{}等比数列．n(3)证明a＝2，由2)知，当∈N且≥2，1a

＝＋(a－)＋(－a)(a－)…＋(a2113

－2－2k3

)2＋＋2＋…＋

2

－

3

)＋3×

21－4

1

＝2－，故对任意k∈N，a

2－

＝2

－

1

由①得

2

1

＋2a＝－22k

2

1

＋1，1所以a＝－22

2

，k∈N，因此，S＝(＋＋(＋＋…＋(a234

2

k＋a)＝12k不得用于商业用途

22＋2－222－a122k22k－2*＋＋…＋＋＝＋＋＋…＋＋1112－a4121－－122＋2－222－a122k22k－2*＋＋…＋＋＝＋＋＋…＋＋1112－a4121－－1－－＋－＋4444－14－14－1412＋＋.nn于是，S

k－1＝S－a＝＋2222k

21

.k－1SS2－1＋2k故＋＝＋＝－＝1－－.a－2－44－12222所以，对任意n∈.SSSS24a2n1a

Sa

22

＋12n222＋…＋nn222－…－n114－112本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，难度较大．在数列

n

a

，

，

nN

*

．（Ⅰ）证明数列

列（Ⅱ）求数列

n

n和

；（Ⅲ）证明不等式

，对任意nN*皆立．（Ⅰ）证明：由题设

得n

4()，nNn

*

．

所以数列

，且公比为

的等比数列．n（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知a．n

a4n

n

，于是数列

n

式所以数列

n

n和Sn

4nn(n3

．不得用于商业用途

22n132a仅供个人参考22n132a（Ⅲ）证明：对任意的

nN

*

，S

4n(n3

(n3

1(3n4)02

．所以不等式

，对任意nN*皆立．设列

{}前n项和为，1,n1n

Sn

2(

。（1）求证：数列{}等差数列，并分别求出、S的表达式；nn11（2）设数列{}的前n项为T，求证：T；annS（3）是否存在自然数使(n20093在,请说明理由。

？若存在，求出n的；若不存又易知

T

单调递增，故

T

11，得554(3)由

S2n(1)n

得

n

S1

SSn

(n

2

15

(2(1)

2=

n1

……分由

22009

，得即存在满足条件的自然数n=1005.三、数列与不等式综合问题例3已知数列，，12其前项和为S，且当时，nn不得用于商业用途

，记数列为n，证明对于任意的正整数，都有成立．8

nn1nnn仅供个人参考nn1nnn解析Snnnnnn

，所以(．n又由S，，可推知对切正整数2n均有，所以数列列．n所以S

.当n时，

又a，1所以a3

.时，aa此时ba又b，37所以b，，88

n当，bn41T)247)4n8意数n都b，n以T增即n1数，列，

b，若数列

11(nnNbb2nbb34n

*

)b：nn(n*10)(1))(nNa32n不得用于商业用途

*

n仅供个人参考n解析，b4由bbnnnbn

112证明：因为()(n且nN*，bbba11所以，n，bbbbbbbb2n12aa所以nnnbbbbnnann(且n*．ab113证明：由2知(1))aaaa12aaa212bb1223aabb23n2122(，31211而)，bbb32n1)(1)(1)2(．a12n

12k当k时，2

2k),k不得用于商业用途

1所321112[()))]223222n1)，32n3110所以(1)(1)(1)aaa

仅供个人参考仅供个用学习、究不得用商业用。Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.NurfürdenpersönlichenfürStudien,Forschung,zukommerziellenZweck