四年级奥数：等差数列求和、容斥问题(含与排除问题)的解题思路

四年级奥数：等差数列求和、容斥问题（含与排除问题）的解题思路在一列数中，如果任意两个相邻的数的差都相等，那么这个数列就是等差数列，等差数列中所有数的个数叫做项数，数列的第一个数叫做首项，最后一个数叫做末项，任意两个相邻数的差叫做公差，求所有数的和叫做等差数列求和。在等差数列中，我们主要学习项数首项、末项、公差与数列和之间的关系，它们的关系是：（1）求等差攵列」的和：和二（首项+末项）、项数：2（2）求项数：项数二（末项-首项）♦公差+1（3）求末项：末项=首项+（项数-1）x公差（4）求首项：首项二末项-（项数-1）x公差四年级奥数：等差数列求和HHb例1：小华看一本书，第一天看了16页,以后每天都比前一天多看3页,请问他第15天看了多少页？16+3X(15-1)=58(页)。小华每天看的页数构成一个首项为16+3X(15-1)=58(页)。小华每天看的页数构成一个首项为16,公弟为3,项数为i5Bq等差数列，第15天看的页数等于第一天看的页数加多少个公差呢?答：小华第15天看了58页。例题1四年级奥数：等差数列求和■■■■MB例2：求数列12声939,4gm的……中第12个数是多少？近求第12个数.就是求0t末为这年差蝌公差：21-12=9 的首呱公差、项数12+99 分别"少呢？二111。答：第12个数是11L例题例题#四年级奥数二等差数列求和例4：求数列129鬲踪寓即0中各项的和?1+2+3+4+5+6I7卜8+9+1L=(1+1+2+3+4+5+6I7卜8+9+1L=(1+10)x10^2=55答：这个等差数列的和是5几9两个数分别看成一组j再求和.例题4四年级奥数：等差数列求和例5：求数列246区l(U2J4」6,l&20中各项的和?2十4+6+8+10+12+L4+162十4+6+8+10+12+L4+16\,=(2+20)x104-2这个数列的苜项、末项和项数分别是多少？根据求和公式求解.=110答：这个等差数列的和是110.

等差数列求和其实就是把原来的数列再倒过来排一下然后求出两个数列的和，再除以2，即和=（首项+末项）x项数:2。容斥问题，即重叠问题，是指几个量之间的包含与排除关系。重叠问题中有二次重叠和三次重叠。四年级奥数：容斥问题二次重叠：假定有N个元素j其中具有性质人的元素有N口个,具有性质乃的元素有M个，同时具有性质工片的元素有N油个两个性质都不具有的元素有M个，它们的关系为二N乂+Nh-Nab+Nec三次重叠：假定有N个元素，其中具有性质40，勺元素分别有Mf岫♦冷个,同时具有性质4B的元素有N品个同时具有性质沏性质C®元素有帅个，同时具有性质A和性质5勺元素有乂心个,同时具有三个元素的有此册个,三个性质都不具备的有用个，它们的关系为：N2Vfl+M4或NgNbc-Nac+Nabc”八口容斥原理下面我们就通过一些具体的例子来说明四年级奥数:容斥问题就"某班有34名学生都参加了学校的运动会,其中有LT名参加跳绳,有20名参加拔河.问：既参加跳绳又参加拔河的同学有参加两项的人数和比总■人数多出的部分是什么呢？参加两项的人数和比总■人数多出的部分是什么呢？跳绳拔河点加叫K声力藕绳的岐?J河的共）20A/17+20=37-34=3（人）答：既参加跳绳又参加拔河的有3人口例题1两个量之间的重叠问题中，如果是全部参与，则总人数等于分别参加两项的的人数和减去两项都参加的人数；两个量之间的重叠问题中，如果是部分参与，则总人数等于参加的人数加上没参加的人数。

I盟年级奥数:容斥问题2:臬单位元且组察旅游.要求每人至少说出一个想去的地方，其中想海南的有招人，想去桂林的有曲人，想去港澳台的有的人,既想去海南又想去桂林的有12人，既想去桂林又想去港澳的有8人，既想去海南又想去港澳的有L口人,三个地方都想去的有4人，这个单位一共有多少人？如图，计算想去海南、桂林、港澳的人数之和时，④加了3次，在去掉两两重叠的部分时，又被减了3次，最后求和时应该怎么办呢？(42f44+36)(42f44+36)12-S-L0+4二96(人)答：这个单位一共有96人.三个量的重叠问题中，如果是全部参与，则总人数等于参加三项的人数和减去同时参加两项的人数和，再加上同时参加三项的人数；三个量的重叠问题中，如果是部分参与，则总人数等于至少参加一项的人数与三项都没参加的人数之和。四年级奥数:容斥问题例3：4。个人参加某次晚会，其中2£人在晚会上唱了歌，25人在晚会上跳了舞,那么既唱歌又留湃的人最多有多少人，最少有多少人？?心产旧要使人数最多，则需重雪最多.怎样画图才能使重叠最多呢？2^要使人放最少，可以使图形不— ES吗？最多：25（人）最少：（28+25）-40=1