如何提高中运算能力

如何提高运算能在高考数学考试大纲中对运算能力的描述如下：运能力：会根据法则、公式进行正运算、形和数据理能据问题的条件和目标，寻找与设合理、捷运算途径能据要求对数据进估计近似计算。运能力是思维力和运技能结合．运包括对数值的计算估值近似计算，对式的组变形与分解变形，对何图形各几何量的计算求解等．一.运算能力：包括分析运算条件、探究运算方向选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇障碍调整算的能力以及实施运算和计算的技能．对运算能力的考查：主要是算理逻辑推理的考查，考查时以代数运算为主，同时也考查估算、简算．二.运算包括数的算、估值和近似计算，式的合变形与分解变形，几图各几何量的计算求解三.运算能力包括：分析运算条件、探究运算方向选择运算公式、确定运算程序，调整运算的能力以及实施运算和计算的技能．四影运能的理素（）定思方（）乏较识五运能的个素准程合理度简捷度快程六运能及特（）算力层性①算准性—本求;②算合、捷迅—较要;③算技性灵性—标要。（）算力综性函数奇偶性的判断：通常教师都采取定义的方法，即作如下变形：

f()(x或()

，这个“…”的过程对有些题目技巧过高，对理解函数奇偶性的一般性质也不利。例1：判断函数f(x)＝

11

的奇偶性，如下方法对于部分学生的运算要求过高法一：f()

)1lg)1

1()1目的难点在于对分式的变形，即从忆的范畴，增加了学生记忆的负担法二：

1lg的形，至少不自然，实际上它更多的是记1f()f(x)

11/

lg

111其优点是非常自然地使用了对数运算性质进行运算计理的算途径判函数f(x)＝2)

的奇偶性也一样,法一：f(lg(1

)lg

11

lg(1

)(x题目的难点是我们称为“分子有”变形，这对于习惯“分母有理化的生从记忆潜意识上是不接受的，当然你的目的是为了训练分有理”的形另当别.例2通过关于x的方

(5k

2

)

2

kmxm

2

20

的判别式整理出k,m满的不等，)2k2)(4220)0

,如果学生不懂算理，会按部就班的进行化简整理，殊不知常数16是以先约去的，进准确得出结.例3.点斜式求直线方程：1,)(点求直线的方程.2

y()0

大家可以做实验进行对比：已知直线的斜率

k

23

，且过421方法一y)332

,化简整理为

x

,这过程中会有粗心马虎的学因为分数和符号的问题出现结果的不正确方法二：因为斜率

k

23

，所以直线方程可设为

x0

,易

c

，在这个运算过程中，就是粗心马虎的学生也不容易出.1）析几何中关于弦的中点问也是常见问题之一，要坚持用“遇到中点，不妨相减”方法来处理这类题目，因为它的计算比联立、消元、再利用韦达定理简化的太多，而且要让学生熟记它的最后式，即

2

xka0

2

y0和ky0

,它可以理顺出解题的思.例4（国Ⅱ卷文15）知是物线

C：y

x

的焦点，A，是C上两个点，线段AB的中点为(2，△面积等于．设M的线程(x

，由

2xx

∴

x12

k

2

k

k

，于是直线方程为yx（044）

2

，焦点（0）到直线yx的离

∴△ABF的面积是2，

y1

4xy1

22

x

2

y1

y

22

)（y)k1222）圆锥曲线方程的设法：凡是曲线方程时，如果已知条件与a、、、无，可设方程为

mx

2ny2或y

ax

，这样可简化韦达定理和判别式的形式，无论后续是使用弦长公式还是向量/

都会简化运算3）焦点弦长：一般弦长公式和点弦长公式在运算量上的差异是很大的，一定让学生正确选择4）解关于a、b、的方程5）

be2)a

26）双曲线的方程与渐近线方程关系7）到角与夹角公式例（全Ⅱ理11）腰三角形两腰所在直线的方程分别0腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）

与y

，原点在等A3B．2．

13

D

12解

l:x1

，

l:y0,k2

17

，设底边为

l:y3

由题意，l到l所的3角于l到l所成角是有2

k7k21k1k7再将AB、C、代验证得正确答案是A本题是由教材的一个例题改编而成版例7例设椭圆

C

x2=>b>0)点22

(2,1)

，且左焦点为

F(2,0)1

（）求椭圆的方程(08安徽理=2ab=a-b2

a

2

=b

2

=2

，若利用椭圆的定义，相对运算量较小。例7.（江苏）点P（，2F（6，F（，以1标准方程

、

为焦点且过点P的圆的解：由题意：

c

2

36,

25a2b

2

2

2

,解得

2

45，

2

所求椭圆的标准方程为xy9

我们看看是怎样解的：

254a2

，

2

36)

2

a

2

(

2

36)a253636

2或20(舍2a=212251

∴

a5,b45（）数的形1.次项：方因式解十相、根根符）2.式通（式的分不式通即缩交相（程、子含知函）/

3.角数：简（关，数称系式结特）、三公1）辅助角公式，sin

a22sin(

,主是

的选择和符号2）

2

12cos、cos22

，主要是符号3）弦的齐次式，化为正切，

2

cos2coscos21tan

2

4)三角函数中的根式

A

B

B，B，5)

cos

cot

，例如、对含有参数的二次三项式的因式分解，先验证判别式是否为完全平方式，如果是在用十相乘法进行因式分解，例

x

2

(3

2

分解

，两根分别为

a2

,1

难度是分解，易错是符号（）行数结的式：①解、解集、单调区间、范围②区间端点③反函数的后缀④轨迹、轨迹方程及条件⑤立几、解几、三角中角的范围⑥分布列、极值、单调列表⑦排列、组合的结果⑧根式的分母⑨分数的既约⑩分布列的表格⑾求导后的列表：一目了然2.函数图象的应用：熟知函数图有图数形结合的基础1）常见函数图像：一次、反比、二次、指数、对数、三角2）补充：

f()x、f(x

ax1、f)xcxx

、三次函数、根式函数（圆、椭圆、双曲线、抛物线）例（山卷4）设函数fx＝｜x+1+｜x｜的图象关于直线x1对，则a的值为(A)3(C)1(D)-1解：、x在数轴上表示点x到a的距，他们的和

f)x关于x对、于对，所以称，因此点3.几何意义：代数式的几何意义ax+by+c（性规划

()2y)

（距离

xy

（斜率）/

212222212222例10.（辽卷16）设函数y

2xsin2

的最小值为法一：

y

22xsinx

取A(x

2

y

2

的左半圆,作图(略)易知

min

tan603.

答案：

法二：

y

2x3sin22tansin22sinxx2tan解析和立体几何中平面几何的应用解析几何：通过坐标系把点和坐标、曲线和方程联系起来，使形和数结合，是研究几何图形的种重要的数学方法通俗一点是用计算的方法研究平面几何，所以先利用上平面几何的性质就会简化计例（徽文22）椭圆

C

xa2b2

其相应于焦点(2,0)

的准线方程为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已过点F1

倾直线CAB

两点：

AB

42

;解：当

2

时，记

，则:(x2)

将其代入方程

x

2

y

2

得k

2

)x

2

k

2

x

2

设

(,y),B,11

，则

x,x1

是此二次方程的两个.∴x1

k28(,x.21k2

(1()2x21(1

2

232(k22(1)[()]k212

2

)

.....(1)代（1）得AB

422

当

时，AB2仍足（2∴AB

42

第三问简单的解法应该是

(x)1

1k221

2

4)1k2例（四川文已知双曲线

C:

xy2

的左右焦点分别为

，为C的支上一点，且12PFF，PF212

的面积等于)（Ａ）

24

（Ｂ）36

（Ｃ）

（Ｄ）解1∵双曲线

C:

xy中b4,c

∴

F22/

200992200992∴

PF12

作

PF1

边上的高，AF21∴

AF2

2

2

∴

F12

的面积为

11PF22故选C解法：∵双曲线

C:

xy2

中ab4,∴

1

则由

PFF2

得

x0

0

2

又∵为C的右支上一点∴

xy00

∴

0

2

20∴即

2

81902139解得x或5

（舍去）∴

y16

481695∴

F12

的积为

148F2

48例抛线

y

，过焦点F的线与抛物线交于AB两，与抛物线准线交于CCBBF

，求抛物线方程对于条件

看不出几何含义，直线的倾斜角为60用比分点，加大了运算量四、运算结果检验：错误有惯性，是瞬间思维短路等问：子集与真子集、区间的开与闭、大于和大于等于等，是一个盲点，建立自我修正系统符问：正负号系问：倍半问题范问：变量的显性和隐形范围；①定义域：涉及函数的性质（值域、单调性、对称性、周期性、反函数）②高中所有角的范围（三角、向量、解析、立体）③圆锥曲线中自变量的范围；④轨迹的扣点5.合理性问题：合理不一定正确，不合理一定不正确）不等式解集的形式：两边、中间）三角函数的有界性“们家的正弦大于啊）数列的通项和前n项和n=1都正确）距离、体积、面积的估算：显然的不合理）分布列的概率和不为1）不等式解集端点不是对应方程的根五解题策略：同个题，以不同的题型出现（选择、填空、解答题可能会不同坚小题小作、大题大作；/

反对小题大作、大题小作；（间接失分）（接失分）例14.安卷8文10）若过点

的直线l与线

(

2

y

2

有公共点则直线