初三数学中考专题-对称最短距离

说明：.5.

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菁网初三数学中专题--对称短距离一选题共5小题）•鄂）如图，挂“庆祝凤凰广场竣工条的氢气球升在广场上空，已知气球的直径为，在地面A测得气球中心的仰角OAD=60，得气球的视（ABAC为的线BC为切点气中心离面高度为确到，参考数据，

=1.732A94mB95mC．99mD．•港）如图，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中°，AC=6BC=8，ADBAC的平分线若P，Q分别是ADAC上动点，则PC+PQ的小值是（）A

B4

D．•安）如图是径为1的的径，点A在O上AMN=30，B为弧AN的中点．是径上动点，则PA+PB最小值为（）ABC2D2•州）如图，菱形ABCD中AB=2°，，QK分为线段BCCD，BD上的任意一点，则PK+QK的小值为（）A1B．

C．．

+12010-2015

菁网2011本）如图，正方形ABCD的边长是4DAC的分交DC点，若点P分是AD和AE上动点，则DQ+PQ的最小值（）A2B．二填题共小题

C．

D．•安）如图，某海监船向正西方向航行，在A处见一艘正在作业渔船D在偏西°方，海监船航行到B处时望见渔船D在偏东45方向，又航行了半小时到达处望见渔船D在偏东°方向，若海监船的速度为50海里/时，则A，B之间的离为_________海（取，果精确到0.1海2011莆田）如图，一束光线从点A（，3）出发，经过轴点反后经过点B（，0光从点A点经的路径长为_________．•东地区）如图，菱形ABCD中，对角线M、N分是、的中点是线段BD的一个动点，则PM+PN的小值是．2014无）如图，菱形ABCD中，A、B的径分别为21、、F分别是边CD、A和B上动点，则PE+PF的小值是．2010-2015

菁网2014东）O中的直径AB=8cm最小值是_________．

==

M是AB上一动点CM+DM的11•莆）如图，菱ABCD的长为，BAD=120，E是AB的中点，点FAC上一动点，则的小值是_________．青岛）如图，在等腰梯形ABCD中AD=2，°，角线AC平BCDE，F分是底边AD的点，连接EF点是EF上任意一点，连接，PB，则PA+PB的最小值为．•锦）菱形ABCD的边长为2°，是AD边中点，是角线BD上动点，当的最时长是．2014黔南州）在如图所示的平面直角坐标系中，点P是线y=x上的动A（，0（20）是x轴的两点，则PA+PB的最小值为_________．2010-2015

菁网•资）如图，在eq\o\ac(△,)ABC中，C=90，B=60，是边的点，CD=1eq\o\ac(△,)ABC沿直线AD折，使点C在AB上的点处若P是线AD上动点，eq\o\ac(△,)PEB的长的最小值是．•内）已知菱形ABCD的两条对角线分别为和8，M分是、CD的点是角线BD一点，则PM+PN最小_________．2013辽阳）如图，已知正方形A边长为，点在BC边上，且Q为角线AC上一个动点，eq\o\ac(△,)BPQ长的最小值为．•达）如图，折叠矩形纸片ABCD，使B点在上点处折痕的两端分别在AB、BC上含端点，BC=10．设AE=x，的取值范围是_________．•鄂）在锐角三角形ABC中BC=，°，BD平ABC，、分是BD、BC上动点，则CM+MN的小值是．2010-2015

菁网•滨）如图，等eq\o\ac(△,边)的长为，AD是BC边上的中线，MAD上动点是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为．•广）如图，菱形ABCD中，BAD=60，M是AB的点P是角线AC上一动点，若PM+PB的小值是，则长_________．•海）如图，在边长为的形ABCD中，，E为AB的点，F是AC上一动点，则EF+BF的小值为_________．三解题共2小题）•遂）钓鱼岛自以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航的海监船A、，B在A船正东方向，两船保持20海的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的北方向，的偏东15方有一我国渔政执法船，求此时船C与船B的离是多少果留根号）•南）如图，公路为西走向，在点A北东36.5方向上，距离千米处是村庄M；在点A北东方上离10米处是村庄（考数据°cos36.5tan36.5（1求MN两之间的距离；（2要在公路旁建一个土特产收购站P，得M，N两到的离之和最短，求这个最短距离．2010-2015

菁网2010-2015

菁网初三数学中专题--对称短距离参答与题析一选题共5小题）•鄂）如图挂“庆凤凰广场竣条幅的氢气球升在广场上空，已知气球的直径为4，在地面A点测得气球中心O的角OAD=60，得气球的视（、AC为的线，BC为点气球中心离面的高度OD为确1m，参考数据：=1.732）A94mB95mD考点：专题：分析：解答：

解直角三角形的应用-仰角俯角问题．压轴题．连接圆心和切点，利用构造的直角三角形求得长，进而求得所求线段长．解：连接．在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)OAC中OC=2，OAC=1．．在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)中有×°99故选C．点评：本考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，建立数学模型并解直角三形．•贵）如图在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)ABC中ACB=90BC=8AD是的分线．若PQ分是AD和AC上动点，则的小值是（）A

B．4C2010-2015

D．

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)考点：轴称-最短路线问题．分析：过C作CMAB交AB于点M于点点作AC于QAD是的平分线出PQ=PM，这时有小值，即的长度，运用勾股定理求出AB，再运用=ABCM=AC，得出CM的，即最小值．解答：解如图，过点CMAB交AB点M，交于，点作PQ点，AD是的分线．PQ=PM，这时有小值，即CM的度，，BC=8，°，=．

=ABCM=ACBCCM==即PC+PQ的小值为故选：．

，．点评：本主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有小值时点P和的置．2014安）如图是径为1的的径，点A在上AMN=30，B为弧AN中点P是直径MN上一动点，则PA+PB的小值为（）A

B．1C2．考点：轴称-最短路线问题；勾股定理；垂径定．分析：作关于MN的称点B，接OA，根据轴对称确定最短路线问题可得A与MN的交点即为PA+PB的小时的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的求出，后求出BON=30，根据对称性可得BON=BON=30，然后求出AOB=90，而判断eq\o\ac(△,)′是等腰直角三角形再根据等腰直角三角形的性质可得AB=OA即为PA+PB的最小值．解答：解作点B关MN的称点B，连接OA、OB、AB，则与的点即为最小时的点，的小=AB，AMN=30，AON=2AMN=230，2010-2015

菁网点B为弧AN的点，BON=AON=×=30，由对称性，B°，AOB∠BON=60+30=90，AOB是腰直角三角形，AB=OA=×1=，即PA+PB的小=故选：A．

．点评：本考查了轴对称确定最短路线问题，在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角倍的性质，作辅助线并得eq\o\ac(△,)AOB是腰直角三角形是解题的关键．•台）如图，菱形ABCDAB=2°，，QK分别为线段BC，BD上的任意一点，则的最小值为（）A1B

C．D．

+1考点：专题：分析：解答：

轴对称-最短路线问题；菱形的性质．压轴题；探究型．先根据四边形ABCD是菱形可知，ADBC由°可知B=60，点P关直线BD的称点，连接P，，则PQ的长即为PK+QK的小值，由图可知，当点Q与点C重，′时PK+QK的值最小，再在eq\o\ac(△,)BCP中用锐角三角函数的定义求出C的即可．解：四形ABCD是菱形，ADBCA=120，﹣°﹣°，作点P于直线BD的称点，连接QC，的即为PK+QK的小值，由图可知，当点Q与点C重′时PK+QK的最小，在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)BCP中BC=AB=2，°，PQ=CP•×故选：．

=

．2010-2015

′+AP′′22′+AP′′2222点评：本考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角角形是解答此题的关键．本溪）如图，正方形ABCD的长是4DAC的平分线交DC于点E，若点PQ分是ADAE上的动点，则的小值（）A2B．42

D．考点：专题：分析：解答：

轴对称-最短路线问题；正方形的性质．压轴题；探究型．过作AE的线交AE于F，交AC于′，过D作DP，由角平分线的性质可得出D是D关AE的称点，进而可知D′即为DQ+PQ的小值．解：作D于AE的称点D，过D作DAD于，DD，AFD，AF=AF，CAE，DAFDAFD是D关AE对称点，′=AD=4，DP即为的小值，四形ABCD是方形，，D，在eq\o\ac(△,Rt)APD中，222

，AD，D'，′D′，D′=16，PD=2，DQ+PQ的最小值为故选：．

．点评：本考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2010-2015

菁网二填题共小题2013泰）如图，某海监船向正西方向航行，在A望见一艘正在作业渔船D在南偏西45方，海监船航行到处望见渔船D在南偏东45方，又航行了半小时到达处望渔船D在偏东方，若海监船的速度为海里/时，则A，B之的距离为67.5海里（取，结果精确到海考点：专题：分析：解答：

解直角三角形的应用-方向角问题．应用题；压轴题．过点作点E设DE=x，在eq\o\ac(△,)中表示出CE在eq\o\ac(△,)BDE中示出，再由CB=25海里，可得出关于x的方程，解出后即可计算的度．解：°，是腰角三角形，过点作点E则DE=AB，设，，在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)CDE中，DCE=30，则DE=x在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)BDE，°，则DE=BE=x，由题意得，﹣BE=

x﹣，解得：

，故AB=25（）（海里故答案为：67.5点评：本考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的识求解相关线段的长度，难度一般．2011莆）如图，一束光线从点（，3）发，经过轴点反后经过点（1光线从点A到点B经过的路径长为5．2010-2015

菁网考点：专题：分析：解答：

解直角三角形的应用．计算题；压轴题．延长AC交轴于B．据光的反射原理，点B、B关y轴对称，．径长就是的长度．结合A点标，运用勾股定理求解．解：如图所示，延长AC交轴于B．点、B关于y轴称，．作x轴点则AD=3DB=3+1=4．AB=AC+CB．即光线从点A到经的路径长为．点评：本考查了直角三角形的有关知识，同时渗透光学中反射原理，构造直角三角形是解决题关键．2014龙地区）如图，菱形ABCD中，对角线，，、分是BC、的点是段BD上的一个动点，则PM+PN的小值是．考点：专题：分析：解答：

轴对称-最短路线问题；勾股定理的应用；平行四形的判定与性质；菱形的性质．几何图形问题．作M关BD的称点，连接NQ，交BD于，接MP此时MP+NP的最小，接AC，出、PB，据勾股定理求出BC长证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．解：作M关于BD的称点，连接NQ，交，接MP此时MP+NP的值最小，连接AC，四形ABCD是形，2010-2015

菁网ACBD，QBP=MBP即在上MQBD，ACMQM为BC中，Q为中，N为CD中，四边形ABCD是形，BQ，BQ=CN四形BQNC是平行四边形，，四形ABCD是形，，BP=，在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)BPC中由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，故答案为：5．点评：本考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理应用，解此题的关键是能根据轴对称找出的置．•无）如图菱形ABCD中A=60AB=3A、B半径分别为和，、、F分是边CDA和B上动点，则的最小值是3．考点：专题：分析：解答：

轴对称-最短路线问题；菱形的性质；相切两圆的质．几何图形问题；压轴题．利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出P与D合时的小，进而求出即可．解：由题意可得出：当PD重合时，点AD，在BD上此时最，连接BD，菱ABCD中，°，AB=AD，eq\o\ac(△,)是边三角形，BD=AB=AD=3AB的径分别为2和1PE=1DF=2，的最小值是3故答案为：3．2010-2015

菁网点评：此主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识，根据题意得出P点位置是解题关键．•东）O中O的径AB=8cm．

=

MAB上动点CM+DM的小值是考点：轴称-最短路线问题；勾股定理；垂径定．分析：作C关的对称点′D与AB交于点M轴对称确定最短路线问题M为CM+DM的最小值时的位置，根据垂径定理可得

=

，然后求出D为径，从而得解．解答：解如图，作点于AB的称点，连接D与相交于M，此时，点M为的小值时的位置，由垂径定理，

=

，

===

，，AB直径，CD为径，CM+DM的小值是8cm．故答案为：8．点评：本考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出最小值等于圆的直径的长度是解题的关键．11•莆）如图，菱形的长为，BAD=120，是AB的点，点F是AC上一动点，则的小值是

．2010-2015

菁网考点：轴称-最短路线问题；菱形的性质．分析：首连接DB，DE设DE交AC于M连接，．证明只有点F动到点M时，最小值，再根据菱形的性质、勾股定理求得最小值．解答：解连接DB，DE设DE交AC于M连接，，延长BAH四形ABCD是形，AC，BD相垂直平分，点B关AC对称点为，FD=FB，≥DE只有当点运到点M时，取等号（两点之间线段最短中AD=ABDAB=120，HAD=60，DHAB，AD，DH=AD菱ABCD的边长为，E为AB的点，，EH=4，在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)中DE=

=

，最小值为

．故答案为：2

．点评：此主要考查菱形是轴对称图形的性质，知道什么时候会使EF+BF成最小值是解本题的关键．2014•青）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，，角线AC平BCD，，分是底边AD，的点，连接EF．点P是上任意一点，连接，PB则的最小值为2

．考点：专题：分析：解答：

轴对称-最短路线问题；等腰梯形的性质．几何动点问题．要求的最小值PA、PB不直接求，可考虑转化、的，从而找出其最小值求解．解：，F分是底边AD，BC的点，四边形ABCD是腰梯形，2010-2015

菁网B点于对称点C，AC为的小值，BCD=60，角线AC分，°，BCA=30，°，AD=2PA+PB的小=ABtan60=．故答案为：2．点评：考等腰梯形的性质和轴对称等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键•锦）菱形ABCD的长为，°是AD边点，点是角线BD的动点，当的值最小时PC的是．考点：轴称-最短路线问题；菱形的性质．专题：几综合题．分析：作E关直BD的对称点E，接AE，则线段AE的即为AP+PE的小，再由轴对称的性质可知故得eq\o\ac(△,出)D是角三角形由形的性质可PDEADC=30根锐角三角函数的定义求出长，进而可得出的．解答：解如图所示，作点关于直线BD的称点′，连接AE，线段AE的即为AP+PE的小值，菱ABCD的边长为，E是AD边点，DE=DEAD=1，AED是角三角，°，=°，PE=DE•tan30=PC=故答案为：．

，==

．点评：本考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知菱形的性质及锐角三角函数的定义是解答此的关键．2010-2015

菁网2014黔南州）在如图所示的面直角坐标系中，点是直线上动点，（1（2，0）是轴上的两点，则的小值为．考点：轴称-最短路线问题；一次函数图象上点坐标特征．分析：利一次函数图象上点的坐标性质得出OA=1，进而利用勾股定得出即可．解答：解如图所示：作A关于直线y=x的称点A，接AB交直线于P，此时最小，由题意可得出：OA=1，，PA=PAPA+PB=AB=故答案为：．

=

．点评：此主要考查了利用轴对称求最短路线以及一次函数图象上点的特征等知识，得出点置是解题关键．•阳）如图，在eq\o\ac(△,)ABCC=90，，D是BC边的点CD=1，eq\o\ac(△,)ABC沿线翻折，使点落AB边的点处若点是线AD上动，eq\o\ac(△,)PEB的周长的最小值是

．考点：轴称-最短路线问题；含度的直角三角形；翻折变换（折叠问题专题：几动点问题．分析：连AD于M据折叠和等腰三角形性质得出当和D合时PE+BP的最小此eq\o\ac(△,)的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出BC和BE长代入求出即可．2010-2015

菁网解答：解：连接CE交AD于M，沿折C和重合，ACD=，，CAD=EADAD垂直平分，即C和关AD对称，CD=DE=1，当D重合时的值最小eq\o\ac(△,时)BPE的周长最小值BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE°，DEB=90，，DE=1BE=即BC=1+

，BD=，

，PEB周长的最小值是故答案为：1+．

+

，点评：本考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理，度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点位置，题目比较好，难度适中．2013•内）已知菱形ABCD的条对角线分别为6和8M、分是边BCCD的点P对角线BD上一点，则PM+PN的小=．考点：轴称-最短路线问题；菱形的性质．专题：压题．分析：作M关于BD的称点，接NQ交BD于P，接MP此时的值最小，接AC，出CP、PB，据勾股定理求出BC长证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．解答：解：作M关BD的称点，连接NQ，交，接MP此时MP+NP的最，连接AC，四形ABCD是形，ACBD，QBP=MBP即在上MQBD，2010-2015

菁网ACMQM为BC中，Q为中，N为CD中，四边形ABCD是形，BQ，BQ=CN四形BQNC是平行四边形，，四形ABCD是形，，BP=，在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)BPC中由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，故答案为：5．点评：本考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理应用，解此题的关键是能根据轴对称找出的置．辽如已正方形ABCD的长为点P在BC边上且BP=1Q对角线AC的一个动点，则BPQ周长的最小值为．考点：轴称-最短路线问题；正方形的性质．分析：根正方形的性质，点B、D关AC称，连接PD与AC相于点，据轴对称确定最短路问题，点即所求的eq\o\ac(△,)周的最小值的点，求出PC，再利勾股定理列式求出D，然后根eq\o\ac(△,)BPQ周长计即可得解．解答：解如图，连接PD与AC相于点Q，此时周的最小，正形ABCD的长为，，PC=4﹣，由勾股定理得，PD=周=BQ+PQ+BP=PD+BP=5+1=6．故答案为：6．

=，2010-2015

2222菁网2222点评：本考查了轴对称确定最短路线问题，正方形的性质，熟记正方形的性质并确定出点的置是解题的关键．2013达州）如图，折叠矩形纸片A，使B点在AD上一点E处，折痕的两端点分别在ABBC上含端点AB=6，．AE=x，则取值范围是≤x6．考点：翻变换（折叠问题专题：压题．分析：设痕为PQ，点P在AB边，点在BC边．分别利用当点P与A合时，以及当点与C重合时，求出AE的值进而得出答案．解答：解设折痕为，点在AB边上，点QBC边．如图，当点Q与重时，根据翻对称性可得EC=BC=10，在eq\o\ac(△,Rt)CDE中CE，即10=﹣），解得：，．如图，当点P与A重时，根据翻折对称性可得即；所以，x的值范围2x．故答案是：2x．点评：本考查的是翻折变换（折叠问题定理．注意利用翻折变换的性质得出对应线段间的关系是解题关键．鄂州）在锐角三角形ABC中BC=点，则CM+MN的小值是．

，°BD分ABC，M、N分是BD、BC上动考点：轴称-最短路线问题．专题：压题；探究型．2010-2015

菁网分析：过C作于点E交BD于M，过点M作M′，CE即CM+MN的最小值，再根据，ABC=45，分可eq\o\ac(△,)是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的．解答：解过点作于点，交BD于M，过点M作MN，则即CM+MN的小值，，°BD平ABC是腰直角角形，•cos45故答案为：4．

×

=4点评：本考查的是轴对称﹣最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．2010滨）如图，等eq\o\ac(△,)ABC的长为6AD是BC边上的中线，M是上的动点EAC边一点，若，EM+CM的最小值为．考点：专题：分析：解答：

轴对称-最短路线问题；勾股定理．压轴题；动点型．要求EM+CM的小值，需考虑通过作辅助线转化，CM的，从而找出其最小值求解．解：连接BE，与交于点M．则就EM+CM的小．取中，连接DF．等eq\o\ac(△,)ABC边长为6，AE=2CE=AC﹣AE=62=4，又ADBC边上的中线，eq\o\ac(△,)BCE的位线，BE=2DF，BEDF，又E为AF的点，M为的点，ME是ADF的位线，DF=2ME，BE=2DF=4MEBM=BEME=4ME﹣ME=3ME，BE=．在直eq\o\ac(△,)BDM中，BC=3，DM=2010-2015

，

菁网

=

，BE=

．EM+CM=BEEM+CM的小值为．点评：考等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．2008广安）如图，菱形A中M是的点是角线AC的一个动点，若的最小值是，则长2

．考点：专题：分析：解答：

轴对称的性质；平行四边形的性质．压轴题；动点型．先根据轴对称性质和两点间线段最短，确定MD是PM+PB的小值的情况，再利用特殊60的角函数值求解．解：连接PDBDPB=PD，，连接MD，AC的就是点根据两点间直线最短，这P点就是要的点又°AB=AD是边角形，M为的点，MDAB，，÷=3．AB=2

=2

，点评：本考查的是平行四边形的性质及特殊角的三角函数值，属中等难度．2010-2015

菁网海图边长为的菱形ABCD中DAB=60E为AB的点是AC上一点EF+BF的最小值为．考点：专题：分析：解答：

轴对称-最短路线问题；菱形的性质；特殊角的三函数值．压轴题；动点型．根据菱形的对角线互相垂直平分，点B关AC的称点是点D连接ED最值=ED，然后解直角三角形即可求解．解：在形ABCD中AC与BD互相垂直平分，点B、D关AC对，连接ED则ED就所求的的小值的线段，E为的点DAB=60，DEAB，=

=3

，最小值为

．故答案为：3

．点评：本主要考查了三角形中位线定理和解直角三