连续型随机变量及其概率密演示文稿

连续型随机变量及其概率密度演示文稿当前1页，总共48页。连续型随机变量及其概率密度当前2页，总共48页。一连续型随机变量1定义当前3页，总共48页。由定义知道：连续型随机变量的分布函数是连续函数2概率密度的性质1非负性2规范性这两个性质是判断一个函数是否为一个连续型r.v.X的概率密度的充要条件

f(x)xo分布曲线面积为1利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率当前4页，总共48页。

若x是f(x)的连续点，则：=f(x)

故

X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.当前5页，总共48页。(1)连续型r.v.取任一指定实数值a的概率均为0.即这是因为请注意:当时得到由P(B)=1,不能推出

B=S由P(A)=0,不能推出当前6页，总共48页。

对连续型r.v.X,有当前7页，总共48页。说明:由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．(此公式非常重要)当前8页，总共48页。要注意的是，密度函数f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.f(x)xo当前9页，总共48页。若不计高阶无穷小，有：它表示随机变量X取值于的概率近似等于.在连续型r.v理论中所起的作用与在离散型r.v理论中所起的作用相类似.当前10页，总共48页。例题选讲例题1设随机变量X具有随机密度函数试求(1)c(2)X的分布函数；当前11页，总共48页。当前12页，总共48页。当前13页，总共48页。当前14页，总共48页。当前15页，总共48页。当前16页，总共48页。1.均匀分布则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，X～U(a,b)三、三种重要的连续型随机变量若r.vX的概率密度为：记作当前17页，总共48页。与c无关Xabll0Xx当前18页，总共48页。

公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.均匀分布常见于下列情形：

如在数值计算中，由于四舍五入，小数点后某一位小数引入的误差；当前19页，总共48页。

例2

某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解依题意，

X～U(0,30)

以7:00为起点0，以分为单位当前20页，总共48页。为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之间，或在7:25到7:30之间到达车站.所求概率为：即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.从上午7时起，每15分钟来一班车，即

7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站，当前21页，总共48页。当前22页，总共48页。返回目录当前23页，总共48页。则称X

服从参数为的指数分布.指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.若r.vX具有概率密度常简记为X~E().2指数分布当前24页，总共48页。若X

服从参数为的指数分布,则其分布函数为事实上,当时,当时,当前25页，总共48页。注意1）无记忆性；当前26页，总共48页。

2）电子元件的使用寿命和各种随机系统的服务时间在一般情形认为其服从指数分布；3）指数分布在可靠性理论和排队论的应用比较广泛。当前27页，总共48页。3.正态分布若连续型r.vX的概率密度为记作其中和(>0)都是常数,则称X服从参数为和的正态分布或高斯分布.当前28页，总共48页。曲线关于轴对称；当前29页，总共48页。函数在上单调增加,在上单调减少,在取得最大值；x=μ

σ为f(x)的两个拐点的横坐标；当前30页，总共48页。当x→∞时，f(x)→0.f(x)以x轴为渐近线根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图.当前31页，总共48页。正态分布的图形特点正态分布的密度曲线是一条关于对称的钟形曲线.特点是“两头小，中间大，左右对称”.称为位置参数当前32页，总共48页。决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.正态分布的图形特点当前33页，总共48页。

设X~,X的分布函数是正态分布的分布函数当前34页，总共48页。4标准正态分布的正态分布称为标准正态分布.其密度函数和分布函数常用

和

表示：当前35页，总共48页。的性质:事实上,当前36页，总共48页。当前37页，总共48页。它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.定理1当前38页，总共48页。证Z的分布函数为则有当前39页，总共48页。于是当前40页，总共48页。书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.正态分布表当x<0时,表中给的是x>0时,Φ(x)的值.当前41页，总共48页。若~N(0,1)

若X～N(0,1),当前42页，总共48页。由标准正态分布的查表计算可以求得，这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.当X～N(0,1)时，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.997453准则当前43页，总共48页。将上述结论推广到一般的正态分布,时，可以认为，Y