新高考二轮复习真题源导数专题讲义第20讲 不等式恒成立之maxmin问题（解析版）

第20讲不等式恒成立之max，min问题一、解答题1．（2021·云南师大附中高三月考（文））已知函数，，其中.（1）证明：当时，；当时，；（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，的取值范围是.【分析】（1）对求导，得到，对x分讨论即可得答案；（2）由题意，将恒成立转化为当时，恒成立即可，对求导得，分、、三种情况讨论，结合单调性可得答案.【详解】（1）证明：，.当时，，则；当时，，则，当时，，所以当时，，在上是增函数，又，所以当时，；当时，.（2）函数的定义域为，由（1）知，当时，，又，所以当时，恒成立，由于当时，恒成立，所以等价于：当时，..①若，当时，，故，递增，此时，不合题意；②若，当时，由知，存在，当，，递增，此时，不合题意；③若，当时，由知，对任意，，递减，此时，符合题意.综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是.2．（2021·云南师大附中高三月考（理））已知函数，，其中.（1）证明：当时，；当时，；（2）用表示m，n中的最大值，记.是否存在实数a，对任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【分析】（1）对求导，得到，对x分讨论即可获得证明；（2）由题意，将恒成立转化为当时，恒成立即可，对求导得，易得单增，分与两种情况讨论，结合的单调性及零点存在性定理可得到满足题意的a.【详解】（1），,当时，，，则；当时，，，则，当时，．所以当时，，在上是增函数，又，所以当时，；当时，．（2）函数的定义域为，由（1）得，当时，，又，所以当时，恒成立．由于当时，恒成立，故等价于：当时，恒成立．，．当时，，，故；当时，，，故．从而当时，，单调递增．①若，即，则当时，，单调递减，故当时，，不符合题意；②若，即，取，则，且，故存在唯一，满足，当时，，单调递减；当时，，单调递增．若，则当时，单调递增，，不符合题意；若，则，符合题意，此时由得；若，则当时，单调递减，，不符合题意．综上可知：存在唯一实数满足题意．【关键点晴】本题第一小问的关键点在于提公因式讨论，避免二次求导；第二小问首先将将恒成立转化为在时恒成立，在对研究时，关键点是，再结合的单调性及零点存在性定理讨论得到a，有一定难度，特别是书写的规范性.3．（2021·广东·顺德一中高三开学考试）已知函数，，其中．（1）讨论函数的单调性，并求不等式的解集；（2）若，证明：当时，；（3）用表示，中的最大值，设函数，若在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）在上是增函数，；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）利用导数讨论的单调性，由，得到不等式的解集；（2）利用导数讨论的单调性，求出最小值，即可证明；（3）先判断当时，由恒成立得到恒成立；再研究当时，，只需在上恒成立即可．利用分离参数法得到，利用导数研究，的极大值，求出a的范围.【详解】（1），当时，，，∴，当时，，，∴，当时，，所以当时，，即在上是增函数；又，所以的解集为．（2）．由，得，，则，即在上为增函数．故，即．（3）由（1）知，当时，恒成立，故恒成立；当时，，因为，要使得恒成立，只要在上恒成立即可．由，得．设函数，，则．令，得．随着变化，与的变化情况如下表所示：+0-极大值所以在上单调递增，在上单调递减．在上唯一的一个极大值，即极大值，故综上所述，所求实数的取值范围为．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．4．（2019·浙江嘉兴·模拟预测）已知函数.（I）若是上的单调函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）当时，记的最小值为，证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析【分析】（I）问题转化为或恒成立，令g（x）＝，通过求导求出g（x）的最小值，从而求出a的范围（Ⅱ）由（I）可得当时，在有唯一的，使得a=且得到，从而得到的最小值为，分解因式分析正负可证得左边成立，再通过构造函数，求导分析得到最大值，证得结论.【详解】（I）求导得，由题意知，设，则，在递减，在上递增，即是的极小值点，所以，要使是上的单调函数，即或恒成立，只有.（Ⅱ）令，即a=xlnx，在在上递增，当时，在有唯一的，使得a=又由的单调性，知，即，所以的最小值为，将代入，得，从而知，另一方面，记，求导得，当时，所以是的唯一极大值点，即，有，综上所述，.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查了构造法的技巧及分析问题的能力，属于难题．5．（2019·云南·一模（理））已知是自然对数的底数，函数与的定义域都是.（1）求函数在点处的切线方程；（2）求证：函数只有一个零点，且；（3）用表示，的最小值，设，，若函数在上为增函数，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）见证明（3）【分析】(1)利用导数的几何意义求函数在点处的切线方程为.（2）先计算得，所以存在零点，且.再证明在上是减函数，即得证函数只有一个零点，且.(3)由题得，在为增函数在，恒成立，即在区间上恒成立.设，只需证明，再利导数求得的最小值，.【详解】（1）∵，∴切线的斜率，.∴函数在点处的切线方程为.（2）证明：∵，，∴，，，∴存在零点，且.∵，∴当时，；当时，由得.∴在上是减函数.∴若，，，则.∴函数只有一个零点，且.（3）解：，故，∵函数只有一个零点，∴，即.∴.∴在为增函数在，恒成立.当时，即在区间上恒成立.设，只需，，在单调减，在单调增.的最小值，.当时，，由上述得，则在恒成立.综上述，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线的方程的求法，考查利用导数研究函数的零点问题，考查利用导数研究函数的恒成立问题和最值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．（2018·江西·南昌二中高二期末（文））设函数.（1）若，证明：在上存在唯一零点；（2）设函数，（表示中的较小值），若，求的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）.【详解】试题分析：（1）证明在上存在唯一零点，需从两个方面进行，一是单调性，确保至多一个零点，二是零点存在定理，确保至少一个零点.（2）即求函数的最大值，根据分段函数最大值为各段最大值的最大值，先求各段函数单调性，确定最大值，并比较可得函数最大值.试题解析：解：(1)函数的定义域为，因为，当时，，而，所以在存在零点.因为，当时，，所以，则在上单调递减，所以在上存在唯一零点.（2）由（1）得，在上存在唯一零点，时，时，.当时，由于；时，，于是在单调递增，则，所以当时，.当时，因为，时，，则在单调递增；时，，则在单调递减，于是当时，，所以函数的最大值为，所以的取值范围为.7．（2016·广西来宾·一模（理））已知函数．（1）证明在区间内有且仅有唯一实根；（2）记在区间内的实根为，函数，若方程在区间有两不等实根，试判断与的大小，并给出对应的证明．【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析.【解析】试题分析：（1）只需证明在上单调递增，且即可；（2）先证且存在，使得，故时，；当时，，再用分析法证明即证.试题解析：（1）证明：，定义域为，而．故，即在上单调递增，又，而在上连续，故根据根的存在性定理有；在区间有且仅有唯一实根．（2）当时，，而，故此时有，由（1）知，，当时，，且存在，使得，故时，；当时，．因而，显然当时，，因而单增；当时，，因而递减；在有两不等实根，则．显然当时，，下面用分析法给出证明，要证：即证，而在上递减，故可证，又由，即证，即，记，其中．，记，当时，；时，故，而故，而，从而，因此，即单增，从而时，，即，故得证．考点：1、利用导数研究函数的单调性及求最值；2、利用导数证明不等式.【方法点睛】判断则方程实根的常用方法：=1\*GB3①转化法：函数零点个数的个数就是函数零点的个；=2\*GB3②零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数；=3\*GB3③数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.本题（1）的证明就是采取方法=2\*GB3②进行的.8．（2016·安徽合肥·一模（理））已知函数.（1）记，证明在区间内有且仅有唯一实根；（2）记在内的实根为，，若在有两不等实根，判断与的大小，并给出对应的证明.【答案】（1）详见解析（2）【解析】试题分析：（1）证明在区间内有且仅有唯一实根，要从两方面入手，一是单调性，保证至多一个实根；二是零点存在定理，保证至少一个根.而单调性的说明，往往利用导数：因为而，故，零点存在定理关键找出两个变号的函数值：（2）本题实质是极点偏移：先确定，再确定取值范围：，最后利用“对称”比较与大小：，即，而，在上递减，因此可得，即试题解析：（1）解：证明：，定义域为，，而，故，即在上单调递增，又，而在上连续，故根据根的存在定理有：在区间有且仅有唯一实根（2）当时，，而，故此时有，由（1）知，，当时，，且存在使得，故时，；当时，，因而，显然当时，因而单增；当时，，，因而递减：在有两个不等实根，则显然当时，，下面用分析法给出证明，要证：，即证，而在上递减，故可证，又由，即证，即，记，其中.，记，当时，；时，故，而故，而，从而，因此，即单增，从而时，，即，故，得证（其他方法酌情给分）考点：利用导数研究函数单调性、函数零点，证明不等式【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.9．（2021·全国·高三专题练习）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）设函数（为自然对数的底数）在区间内的零点为，记（其中表示，中的较小值），若在区间内有两个不相等的实数根，，证明：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由题设有，讨论、判断的符号，进而确定的单调性；（2）由题意得，研究在上的符号，由区间单调性结合零点存在性定理确定存在使得，根据题设定义写出解析式，应用导数研究单调性，进而应用分析法：要证只需要证，构造函数，应用导数研究单调性并确定，即可证结论.【详解】（1）的定义域为，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令有，∴当时，，单调递增，当时，，单调递减.综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）且定义域为，∴，而在上，即在区间内单调递增，又，，且在区间内的图像连续不断，∴根据零点存在性定理，有在区间内有且仅有唯一零点.∴存在，使得，即，∴当时，，即；当时，，即，∴可得，当时，，由得单调递增；当时，，由得单调递减：若在区间内有两个不相等的实数根，，则，∴要证，需证，又，而在内递减，故可证，又，即证，即下证：记，，由知：，记，则：当时，；当时，，故，而，所以，由，可知.∴，即单调递增，∴当时，，即，故，得证.【点睛】关键点点睛：（1）分类讨论参数的范围，应用导数在对应区间的符号研究函数的单调性；（2）由导数研究在上零点的个数，写出解析式并判断单调性，利用分析法：将要证明的结论转化为函数不等式恒成立.10．（2021·全国·高三专题练习）已知函数.（1）若函数，试研究函数的极值情况；（2）记函数在区间内的零点为，记，若在区间内有两个不等实根，证明：.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由求出，分别讨论与的关系，从而求出，时的范围，可得函数的增减区间，根据单调性可得函数的极值情况；（2）先证明，即在区间内单调递增，根据零点存在性定理，存在，使得，可得以，要证，只需证，即，记，其中，利用导数可证明单调递增，故当时，，即可得，进而可得结果.【详解】解：（1）由题意，得，故，故，.令，得①当时，，或；，所以在，上单调递增，在上单调递减；所以在处取极大值，在处取极小值.②当时，，恒成立，所以不存在极值；③当时，，或；，所以在，上单调递增，在上单调递减；所以在处取极大值，在处取极小值.综上，当时，在处取极大值，在处取极小值；当时，不存在极值；时，在处取极大值，在处取极小值.（2），定义域为，，而，故，即在区间内单调递增又，，且在区间内的图象连续不断，故根据零点存在性定理，有在区间内有且仅有唯一零点.所以存在，使得，且当时，；当时，，所以当时，，由得单调递增；当时，，由得单调递减；若在区间内有两个不等实根（）则.要证，即证又，而在区间内单调递减，故可证，又由，即证，即记，其中记，则，当时，；当时，，故而，故，而，所以，因此，即单调递增，故当时，，即，故，得证.【点睛】本题考查分类讨论求函数的极值以及零点偏移证明不等式.方法点睛：（1）根据零点判断两根的范围；（2）由证明的结果逆推关系式，一般为要想证明，只需证，再根据的范围以及函数的单调性寻找要证明的关系式；（3）根据同为零点的关系替换，即转化为证明；（4）对函数求导，求单调性证明即可.11．（2020·北京八中高二期末）已知函数的图象在上连续不断，定义：，．其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”．（Ⅰ）若，，试写出，的表达式；（Ⅱ）已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的；如果不是，请说明理由；（Ⅲ）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.【答案】（1），．（2）存在，使得是[-1,4]上的“4阶收缩函数”．（3）【详解】试题分析：（1）根据的最大值可求出，的解析式；（2）根据函数，上的值域，先求出，的解析式，再根据求出k的取值范围得到答案.(3)先对函数求导判断函数的单调性，进而写出，的解析式，然后再由求出k的取值范围.试题解析：（1）由题意可得：，，，.（2），，当时，，∴，；当时，，∴，∴；当时，，∴，综上所述，.即存在，使得是上的“4阶收缩函数”.（3），令得或.函数的变化情况如下：令得或.（1）当时，在上单调递增，因此，，.因为是上的“二阶收缩函数”，所以，①，对恒成立；②存在，使得成立.①即：对恒成立，由解得或.要使对恒成立，需且只需.②即：存在，使得成立.由解得或.所以，只需.综合①②可得（2）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，，，，，显然当时，不成立，（3）当时，在上单调递增，在上单调递减，因此，，，，，显然当时，不成立.综合（1）（2）（3）可得：.12．（2019·湖南·雅礼中学高三月考（理））记表示m，n中的最大值，如.已知函数，.（1）设，求函数在上的零点个数；（2）试探讨是否存在实数，使得对恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）2；（2）存在，.【分析】（1）利用导数求出的单调区间及最值，结合图像即可判定；（2）构造函数，对该函数在的最大值进行分类讨论求解，只需要最大值小于0即可.【详解】（1）设，则.当时，，单调递增；当时，，单调递减；所，所以，即，所以.设，结合与在上的图象可知，这两个函数的图象在内有两个交点，即在上的零点个数为2（或由方程在内有两根可得）.（2）假设存在实数，使得对恒成立，则对恒成立，即对恒成立，①设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减