新高考二轮复习真题源导数专题讲义第17讲 不等式恒成立之端点不成立问题（解析版）

第17讲不等式恒成立之端点不成立问题 一、解答题1．（2021·辽宁大连·高三月考）已知函数（其中，为自然对数的底数）．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，求的取值范围．【答案】（1）答案见解析；（2）【分析】（1）计算，分别讨论、、、时，解不等式和可得单调增区间和单调减区间即可求解；（2）已知不等式可转化为对恒成立，分离可得，令，利用导数求的最大值即可求解.（1）由可得，当时，，当时，；当时，，此时的单调递增区间为，单调递减区间为当时，由得，，，①若，即时，恒成立，故在上单调递增；②若，即时，由可得：或；令可得：此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；③若，即时，由可得：或；由可得：此时的单调递增区间为和，单调递减区间为；综上所述：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，在上单调递增；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）由可得对恒成立，即对任意的恒成立，令，则，令，则，则在上单调递减，又，，故在上有唯一的实根，不妨设该实根为，故当时，，，单调递增；当时，，，单调递减，故，又因为，所以，，，所以，故的取值范围为．2．（2021·陕西安康·高三期中（理））已知函数，.（1）若，证明：；（2）若恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由，求出函数导数，利用导数求出函数的最小值即可证明；（2）先由可得，再利用导数求出函数的最小值，再根据，不等式的性质证明最小值恒大于0即可求解.（1）当时，，，，易知在单调递增，且，所以时，，时，∴在单调递减，单调递增，∴.（2）∵，∴，∴，，，易知在单调递增，且，，∴，且在单调递减，单调递增，∴，且，∴，易证，∴，∴，∴，∴∴.当时，，∴实数a的取值范围是.3．（2021·江苏镇江·高三期中）已知函数，.（1）若在处的切线也是的切线，求的值；（2）若，恒成立，求的最小整数值.【答案】（1）（2）7【分析】（1）先用导数法求得在处的切线，再根据在处的切线也是的切线，将切线方程与联立，利用判别式法求解；（2）令，将，恒成立，转化为，对恒成立，利用导数法求解.（1）因为函数，所以，则，所以在处的切线方程为，由，得，因为在处的切线也是的切线，所以，解得；（2）令，因为，恒成立，所以，对恒成立，令，则，令，则，所以在上递减，又，所以存在，有，即，因为在递增，在上递减，所以，又，所以，令，由，得，所以，所以故的最小整数值是7.4．（2021·广东化州·高三月考）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）根据分类讨论，利用导数求出函数的单调区间；（2）化简，利用导数求出，分类讨论，分别求出，令求解即可.（1），.当时，，在R上单调递增.当时，令，得.时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，故当时，的单调递增区间是R；当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.（2），，，∵，∴，在上单调递增，.当，即时，，在上单调递增，则，，故.当，即时，，，，即或，时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，则，，∴.令函数，且，，在上单调递增，，∵（），∴.综上，实数a的取值范围是.5．（2021·湖北·高三期中）已知，．（1）求的单调区间；（2）若时，恒成立，求m的取值范围．【答案】（1）在单调递减，在单调递增.（2）【分析】(1)先对函数进行求导，再进行分类讨论判断导数值的正负，即可得到答案；(2)将问题转化为在恒成立，令，再利用（1）的结论进行求解，即可得到答案；（1），，①当时，，在恒成立，，在单调递减，②当时，令，则在恒成立，在单调递增，且，在恒成立，即在恒成立，在单调递增，综上所述：在单调递减，在单调递增.（2）当时，在恒成立，令，，令，由（1）得，在单调递增，且，在恒成立，在单调递增，，.6．（2021·重庆·模拟预测）已知函数，其中.（1）当时，讨论在上的单调性；（2）若对任意都有，求实数的取值范围.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增（2）【分析】（1）根据题意求导，解导数方程，讨论导数的正负，即可得函数的单调性；（2）根据题意，构造函数和，对进行分类讨论，结合单调性即可求解的取值范围.（1）当时，，则，令，当时，解得，故当时，；当时，.所以，在上单调递减，在上单调递增.（2）令，则.当吋，，所以.当时，，故在上单调递增.又，故.当时，令，则，故在上单调递增.故存在使得，且当时，即在上单调递减，所以当时，，故不符合.综上所述，的取值范围为.7．（2021·山东文登·高三期中）已知函数．（1）求函数的极值；（2）设，若对都有成立，求a的最大值．【答案】（1）极大值为，无极小值（2）1【分析】（1）求出函数的导函数，根据导函数的符号求出函数的单调区间，从而可得出答案；（2）由题意知，，即对恒成立，令，求出函数的最小值，即可得出答案.（1）解：函数的定义域为，因为，令，解得，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值为，无极小值；（2）解：由题意知，，即对恒成立，令，则，令，则，所以在上单调递增，又因为，所以在内必存在，使得，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增；所以，因为，即，所以，因为在上单调递增，所以，又因为，所以，所以，所以a的最大值为1．【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间、极值及最值问题，还考查了不等式恒成立问题，考查了学生的数据分析能力和计算能力，难度较大。8．（2021·陕西安康·高三期中（文））已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【分析】(1)求函数在时的导数值，又导数的几何意义可得切线的斜率，利用点斜式求切线方程；(2)由恒成立可得，由此可得，再证明时，恒成立.（1）当时，，∴，，∴，∴曲线在点处的切线方程为．（2）∵，∴，∴，当时，，令，，令，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴．∴当时，，单调递减；当时，，单调递增，∴，∴，满足题意．∴实数的取值范围是．【点睛】本题考查利用导数解决函数中的恒成立问题，解题基本思路是通过分离变量的方式，将问题转化为所求参数与函数最值之间大小关系的比较问题，通过导数求得函数的最值后即可得到结果.9．（2021·安徽·合肥市第八中学高三月考（文））已知函数．（1）讨论函数在上的单调性；（2）若，求证：在上恒成立.【答案】（1）答案见详解（2）证明见详解【分析】（1）求导得，令导数为0，得，再分类讨论与的位置关系即可求解；（2）当时，恒成立，令，设法证明即可.（1）由得，令得，，当时，，对恒成立，在单减；当时，，对恒成立，在单增；当时，，当，，单减；当，，单增；综上所述，当，在单减；当，在单增；当，当，单减；当，单增；（2）若，则，在上恒成立，即对恒成立，令，则，令得，当时，，单增；当时，，单减，所以，令，则，又，即，故，构造函数，又，设，，当，，单增，当，，单减，故（得证），所以，，令，在单增，，所以，所以在上恒成立.10．（2021·辽宁·高三期中）已知函数f(x)＝.（1）函数f(x)在区间(0，+∞)上是增函数还是减函数？证明你的结论；（2）若当x>0时，f(x)>恒成立，求正整数k的最大值．【答案】（1）单调递减，证明见解析（2）3【分析】（1）直接求函数的导函数，化简导函数分子，判断正负即可；（2）构造新函数将问题转化为求函数最值，利用函数的导数去研究函数的最值即可．（1）（1）函数．由，，，，得．因此函数在区间上是减函数．（2）当时，恒成立．即对恒成立．即的最小值大于．由，记．则，在上连续递增．又（2），（3），存在惟一实根，且满足：，，由时，，；时，，知：的最小值为（a）．因此正整数的最大值为3．【点睛】方法点睛：第二问，属于零点不可求问题，经常利用零点反代的方法处理.11．（2021·四川宜宾·模拟预测（文））已知函数．（1）若，求的极值点；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）极小值点为，无极大值点（2）.【分析】（1）当时，求得，令，则，得到，进而求得函数的单调性，结合极值点的概念，即可求解.（2）由，得到，令，求得，得到，令，利用导数求得单调性与最值，即可求解.（1）解：由题意，函数定义域为，当时，函数，可得，令，则，所以是增函数，所以，由，可得，当时，；当时，，所以当时，函数取得极小值，所以的极小值点为，无极大值点.（2）解：由，可得，令，则，且，令，可得，当时，；当时，，所以当时，，所以，所以，令，则，所以，所以实数的取值范围为.12．（2021·重庆·西南大学附中高三月考）已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若对任意的，都有恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）求出函数的导函数，分，讨论研究的正负情况即可；（2）将原不等式转化为对任意的恒成立，令，利用导数的知识求出的最小值即可，这个过程中需要二次求导，估算的导函数的零点，求出的单调性，进而计算的最小值.（1）由已知当时，恒成立，此时函数在上单调递增；当时，令，得，若，，若，，此时函数在上单调递增，在上单调递减；综合得：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；（2），即对任意的恒成立，令则令，则在上单调递增，又，，，使，在上单调递减，在上单调递增，由得，设，，即在上单调递增，由得，，即有，.【点睛】关键点点睛：1.对于利用导数研究函数问题，当一次求导不能解决问题的时候，我们需要进行二次求导来研究函数性质；2.对于导函数的零点我们无法求出时，我们可以应用零点存在性定理，找到零点所在去区间，然后设出零点，进而可以写出函数的单调性.13．（2021·江苏·南京师大附中高三期中）设函数，其中a∈R．（1）讨论函数f(x)的单调区间；（2）若f(x)≥elnx恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）﹒【分析】(1)求导，分类讨论导数的正负即可求得f(x)单调区间；(2)参变分离，构造新函数，用导数求新函数的最值﹒（1）①当a≤0时，令＝0，解得x＝－1，当x＜－1时，＜0，f(x)单调递减，当x＞－1时，＞0，f(x)单调递增；②当，≥0，f(x)在R上单调递增；③当时，即当x＜ln2a时，＞0，f(x)单调递增；当ln2a＜x＜－1时，＜0，f(x)单调递减；当x＞－1时，＞0，f(x)单调递增；④当时，当x＜－1时，＞0，f(x)单调递增；当－1＜x＜ln2a时，＜0，f(x)单调递减；当x＞ln2a时，＞0，f(x)单调递增；综上所述：①时，f(x)在单调递减，在单调递增；②时，f(x)在单调递增，在单调递减；③时，f(x)在R上单调递增；④时，f(x)在单调递增，在单调递减﹒（2）f(x)≥elnx恒成立，，令，∴在单调递增，即时，时，∴在单调递减，在单调递增∴﹒【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．(5)导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．14．（2021·山西·太原五中高三月考（文））已知．（1）讨论的单调性；（2）当时，对任意都有成立，求实数a的最大值．【答案】（1）当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减（2）【分析】（1）求得导函数，讨论时，时，导函数的符号，即可判断原函数的单调性；（2）当时，对有成立，可化为在上恒成立，令，只需，计算即可求得结果．（1）∵的定义域为，且．当时，显然，∴在定义域上单调递增；当时，令，得，则有：+0-极大值即在上单调递增，在上单调递减，综上所述，当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）当时，，又，对有成立，∴在上恒成立，令，只需．∵，∵，∴，令，则，∴在上单调递增，又∵，∴存在唯一的，使得，即，两边取自然对数得，x-0+极小值则，∴，即a的最大值为．15．（2021·湖南师大附中高三月考）已知函数（其中是自然对数的底数），.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）对函数进行求导，通过构造函数利用导数可以判断出的导函数的正负性，进而确定函数的单调性；（2）已知不等式变形为：，构造新函数，利用导数的性质进行求解即可.（1）因为，所以.令，则，当时，，函数单调递減；当时，，函数单调递增.所以，又，所以在定义域上单调递增.（2）由得，即，所以，即对任意恒成立，设，则，所以当时，，函数单调递增，且当时，，当时，，若，则，若，因为，且在上单调递增，所以，综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立.设，则，所以在单调递增，所以，即的取值范围为.【点睛】关键点睛：构造函数，利用导数的性质进行求解是解题的关键.16．（2021·河南开封·高三月考（理））已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）令，可得出，构造函数，利用导数求出函数的最小值，由此可得出实数的取值范围.（1）解：函数的定义域为，.①当时，由可得，由可得.此时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；②当时，，由可得，由可得或，此时函数的单调递增区间为、，单调递减区间为；③当时，对任意的，且不恒为零，此时函数的单调递增区间为，无单调递减区间；④当时，，由可得，由可得或，此时函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为.（2）解：当时，，由可得，，令，则，则函数在上单调递增，当时，则，所以，，可得，令，其中，则.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.17．（2021·四川宜宾·模拟预测（理））已知函数．（1）若，求的极值点；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）极小值点为，无极大值点（2）【分析】（1）求得函数的导函数，证明，从而可得出函数的单调区间，再根据极值点的定义即可得出答案；（2）令，求出的范围，不等式可变为，令，求出函数的最小值即可得出答案.（1）解：（1）定义域为，，令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，即，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，的极小值点为，无极大值点；（2）由得，令，则，，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以当时，，，，令，则，所以函数在上递增，所以，所以，所以的取值范围为.18．（2021·陕西西安·高三期中（文））已知函数.（1）求的极值；（2）若恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）先求导，再利用导数对分两种情况讨论得解；（2）等价于恒成立，设，求出即可.（1）解：由题得的定义域为..当时，在上单调递减，无极值.当时，由，得，当时，在上单调递增.当时，在上单调递减.在处取得极大值，无极小值..综上所述，当时，无极值；当时，有极大值，极大值为，无极小值.（2）解：若恒成立，即恒成立，就是恒成立.设.则.令，得，.当时，在上单调递增；当时，在上单调递减.∴.∴a的取值范围为.19．（2021·天津市第一零二中学高三期中）已知函数（其中为自然对数的底数）．（1）当时，求函数的极值；（2）若函数在有唯一零点，求实数的取值范围；（3）若不等式对任意的恒成立，求整数的最大值．【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）；（3）.【分析】（1）利用导数可确定单调性，由极值定义可求得结果；（2）利用导数可确定的单调性；当时，可知，解不等式可知无满足题意的值；当时，根据，分别在，和三种情况下，根据在有唯一零点可构造不等式求得结果；（3）将恒成立不等式化为，令得，令可确定，使得，由此可得，进而得到的范围，从而得到.（1）当时，，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，的极小值为，无极大值.（2），，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增；①当时，在上单调递增，若在上有唯一零点，则，即，解得：（舍）；②当时，在上单调递减，在上单调递增；当，即时，，则在上无零点，不合题意；当，即时，在上有唯一零点，满足题意；当，即时，由得：，在上有唯一零点，此时需，即；综上所述：当或时，在上有唯一零点，即实数的取值范围为.（3）若对恒成立，即对恒成立，则，令，则，令，则，在上单调递增，，，，使得，即，则当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，，，，，整数的最大值为.【点睛】方法点睛：求解本题恒成立问题的常用方法是能够通过分离变量的方法将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系比较问题，即若恒成立，则；若恒成立，则.20．（2021·全国·高三月考）已知，其中.（1）当时，求的单调区间；（2）当时，，求的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为.（2）【分析】（1）当时，求得，设，求得，进而得到的符号，即可求解；（2）由，得到恒成立，设，利用导数求得函数的单调性和最值，转化为恒成立，集合，即可求解.（1）解：当时，的定义域为，可得，设，可得，故在上单调递增，所以，由，解得；由，解得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）解：若要使得，只需恒成立，设，可得，由，可得；由，可得，所以在为单调递减，在上单调递增，所以，于是需要恒成立，即恒成立，由（1）可得：当时，，从而，即，用替换上式中的，可得，结合时，，所以恒成立，要使得恒成立，则，即实数的取值范围.21．（2021·山东青岛·高三期中）已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）若不等式恒成立，求的范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）求导，进而得到，，写出切线方程；（2）将不等式在恒成立，转化为恒成立，令，，求得其最小值即可.（1）解:，，，，切线方程为.（2）不等式在恒成立，即恒成立，令，，，令，在区间为增函数，且，，满足，则为减函数，为增函数，所以，，又因为，，·又因为在为增函数所以，，，，22．（2021·江苏·海门中学高三期中）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若对，成立，求实数的取值范围．【答案】（1）的单调递增区间为，无递减区间；（2）的取值范围为.【分析】（1）、先求出，然后利用二次求导法判断的正负，从而得到的单调区间；（2）、利用分离参数法可知，由题意可知在上恒成立，求出，即可得到实数的取值范围；（1）,,令，则，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递减；，，的单调递增区间为，无递减区间；（2）时，成立，且，时，成立，在上恒成立，在上恒成立，令，，而，令，则，当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；当时，取，的取值范围为.23．（2021·福建省福州第一中学高三期中）形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对求导数，得，于是.已知，.（1）求曲线在处的切线方程；（2）若，恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（1）求出导函数，得出切线斜率，写出切线方程；（2）通过特殊值得出必要条件，然后证明也是充分的，为此引入函数，求出导函数，再设，再求导以确定的正负，得函数的最小值．（1）由，不妨设，由幂指函数导数公式得，所以，又，所以，曲线在处的切线方程为（2）先寻找必要条件：若恒成立，则，解得证明充分性：当时，若恒成立，构造，，则，令，所以，因为与同号，所以，所以，，所以，所以即为上增函数，又因为，所以，当时，；当时，.所以，为上减函数，为上增函数，所以，，无最大值.所以，恒成立．综上，的范围是．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的阅读理解能力，创新能力，应用新知识的能力，对不等式恒成立求参数问题采取的特殊方法：先由特殊值找到必要条件，然后再证明其也是充分的，目的是解题中方便确定正负．目标明确．难点一是理解并应用新知识的能力，二是需要二次求导，本题属于难题．24．（2021·四川成都·高三期中（文））已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数，且在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）.【分析】（1）利用导数，通过分和两种情况，即可求出函数的单调区间；（2）首先利用（1）的结论及导数证明；然后分和两种情况，将不等式大小之间的关系转化为自变量的比较，从而可得出答案.（1）因为，所以，①若，，所以在上单调递增；②若，由，得，所以函数在上单调递增，由，得，所以函数在上单调递减；综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）下面证明：，有，先证：，有，由（1）可知当时，，即当时，，故，，再证，；要证，，只需证明，，即证，即证，即证，.令，因为在上恒成立，所以函数在上单调递增，故有，即，恒成立，即，有，①当时，由（1）得，在单调递增，则由上结论可知，在上恒成立，符合题意；②当时，由（1）得，在上单调递减，在上单调递增，此时当时，，不合题意.综上所述，实数的取值范围为.25．（2021·四川攀枝花·高三月考（文））已知函数．（1）求的单调区间；（2）若函数，且在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）.【分析】（1）求得导数，分和两种情况讨论，即可求解.（2）令，利用导数求得函数的单调性与，得到恒成立，在结合（1）中函数的单调性，即可求解.（1）解：由题意，函数的定义域为，可得，若，可得，所以在上单调递增；若，令，解得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.（2）解：由题意，函数，且在上恒成立，先由，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数，再令，且，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当，函数取得最小值，最小值为，所以，即在区间上恒成立，由（1）知，当时，在上单调递增，所以在上恒成立，符合题意；当时，在上单调递减，在上单调递增，所以在上不恒成立，综上可得，实数的取值范围是.26．（2021·山东·枣庄市第三中学高三期中）已知函数．（1）证明：当时，；（2）设，若对任意实数x，都有，求a的值．【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）首先求出，，利用导数与函数单调性之间的关系证明函数为单调递增，从而证出即可.（2）构造，求出导函数，，分情况讨论、、、，进而讨论或时，利用导数求出符号，进而证