专题三-第二讲-数列的综合应用

一、选择题1．(2011·安徽高考)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝()A．15 B．12C．－12 D．－15解析：a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9·(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.答案：A2．向量v＝(an＋1－eq\f(an,2)，eq\f(a\o\al(2,n＋1),2an))，v是直线y＝x的方向向量，a1＝5，则数列{an}的前10项和为()A．50 B．100C．150 D．200解析：依题意得eq\f(a\o\al(2,n＋1),2an)＝an＋1－eq\f(an,2)，化简得an＋1＝an.又a1＝5，所以an＝5，数列{an}的前10项和为5×10＝50.答案：A3．等差数列{an}中，a1＞0，公差d＜0，Sn为其前n项和，对任意自然数n，若点(n，Sn)在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是()解析：∵Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，∴Sn＝eq\f(d,2)n2＋(a1－eq\f(d,2))n，又a1＞0，公差d＜0，所以点(n，Sn)所在抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧．答案：C4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3ax＋10a，x≤6，,ax－7，x＞6.))若数列{an}满足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是递减数列，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(5,8))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,8)，1))解析：∵f(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3an＋10a，n≤6，,an－7，n＞6))是递减数列，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3a<0，,0<a<1，,f6>f7，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3a<0，,0<a<1，,6－8a>1，))解得eq\f(1,3)<a<eq\f(5,8).答案：C二、填空题5．(2011·北京高考)在等比数列{an}中，若a1＝eq\f(1,2)，a4＝－4，则公比q＝____________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝____________.解析：设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所以q＝－2；等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，则|an|＝eq\f(1,2)×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝eq\f(1,2)(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝eq\f(1,2)(2n－1)＝2n－1－eq\f(1,2).答案：－22n－1－eq\f(1,2)6．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，xn＝________，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．解析：∵y＝xn＋1，∴y′＝(n＋1)xn，它在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，它与x轴交点的横坐标为xn＝1－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(n,n＋1).由an＝lgxn，得an＝lgn－lg(n＋1)，于是a1＋a2＋…＋a99＝lg1－lg2＋lg2－lg3＋…＋lg99－lg100＝lg1－lg100＝0－2＝－2.答案：eq\f(n,n＋1)－27．(2011·陕西高考)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________(米)．解析：当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2000米．答案：2000三、解答题8．已知二次函数f(x)＝x2－2(10－3n)x＋9n2－61n＋100(n∈N*)．(1)设函数y＝f(x)的图像的顶点的横坐标构成数列{an}，求证：数列{an}是等差数列；(2)在(1)的条件下，若数列{cn}满足cn＝1＋eq\f(1,4n－\f(25,2)＋an)(n∈N*)，求数列{cn}中最大的项和最小的项．解：(1)证明：y＝f(x)的图像的顶点的横坐标为x＝－eq\f(b,2a)＝－eq\f(－210－3n,2)＝10－3n，∴an＝10－3n，∴an－an－1＝－3.∴{an}是等差数列．(2)∵cn＝1＋eq\f(1,4n－\f(25,2)＋an)＝1＋eq\f(1,4n－\f(25,2)＋10－3n)＝1＋eq\f(2,2n－5)，当n≤2时，eq\f(2,2n－5)<0，且c1>c2，当n≥3时，eq\f(2,2n－5)>0且cn>cn＋1.∴{cn}中最小的项为c2＝－1，最大的项为c3＝3.9．(2011·北京海淀)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且Sn＝Sn－1＋2n(n≥2，n∈N*)．(1)求Sn；(2)是否存在等比数列{bn}满足b1＝a1，b2＝a3，b3＝a9？若存在，则求出数列{bn}的通项公式；若不存在，则说明理由．解：(1)因为Sn＝Sn－1＋2n，所以有Sn－Sn－1＝2n对n≥2，n∈N*成立．即an＝2n对n≥2成立．又a1＝S1＝2×1，所以an＝2n对n∈N*成立．所以an＋1－an＝2对n∈N*成立．所以{an}是等差数列．所以Sn＝eq\f(a1＋an,2)·n＝n2＋n，n∈N*.(2)存在．由(1)知an＝2n对n∈N*成立，则a3＝6，a9＝18.又a1＝2，所以由b1＝a1，b2＝a3，b3＝a9，得eq\f(b2,b1)＝eq\f(b3,b2)＝3.即存在以b1＝2为首项，公比为3的等比数列{bn}，其通项公式为bn＝2·3n－1.10．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列{an}的前n项和Sn，求使得Sn>21－2n成立的最小整数n.解：(1)由an＋2＋2an－3an＋1＝0得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴数列{an＋1－an}是以a2－a1＝3为首项，公比为2的等比数列．∴an＋1－an＝3·2n－1，∴n≥2时，an－an－1＝3·2n－2，…，a3－a2＝3·2，a2－a1＝3，累加得an－a1＝3·