高考数学一轮复习课时跟踪检测三十一系统题型平面向量的数量积及应用含解析

课跟检（十）

系题—平向的量及用[A级保题——准做快做达]→1．(2019·牡丹江第一高级中学)已知圆是的外接圆，其半径为1，且→→＋＝AO，AB＝1，CB＝)A.

32

B.3C.3

D．23→→解析：选B因＝，以点是的点，即BC是O的径，又＝，圆的半径为，所以∠ACB＝30°，且＝3，→则·＝CA|·||cos∠ACB＝故B.2.(2019·广州综合测试)如图，径为1的形中∠AOB2＝，是AB上一点，且满足OPOB，M，分是线段OA3→上的动点，则PM·最大值为)A.

22

B.

32C．1D2→→解析：选C∵形的半径为1，|＝，OP⊥OB∴·＝∵∠2π→→→→＝，∴∠AOP＝，·PN＝)·(PO＋)＝PO＋·PO＋36→→5π→2π3OM·＋·＝＋|cos＋||·|ON|cos≤1＋0×63210×故选C.2

＋3．(2019·南昌模)已知a＝α，sin)，b＝(cos(－α)，sin(－α))，那么πa·b＝是α＝π＋(∈的)4A．充分不必要条件C．充要条件

B.必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选Bab＝cosα·cos(－α)＋sinα·sin(－α)＝cos

α－α＝cosππ2，若a·b＝，cos2α＝，∴α＝kπ±(∈，解得α＝±(∈Z)．∴24πa·b＝是α＝π＋(∈的必要不充分条件．故选B.41

4.(2019·浙江部分市学校联)图，点C在以为径的圆上，→其中AB＝，A向C处切线作垂线垂足P则·的大值是()A．2C．0

B.1D．－→解析：选B连BC，则ACB＝90°.AP⊥，PB＝AC·(＋)＝→→→→AC·＝AP＋PC)·

→||AC|.依题意可证eq\o\ac(△,Rt)APC∽eq\o\ac(△,Rt)ACB∴＝，||AB||―→|即＝.∵＋|||∴|＋|CB|＝4≥2|2→→→→|||即|||≤2且当AC||CB|时等号|PC|∴·＝≤1∴AC·PB的最大值为1，故选B.→→→5四双流中学月考)已知面向量PA，PB满|PA|＝|1，1PA·＝－.若BC|＝，则AC|的最大值为()2A.2－1C.2＋1

B.3－1D．3＋→解析选D因|PA|＝||1，＝－以cos∠212＝－即∠APB，由余弦定理可得＝1＋1＋＝3.图，23建立平面直角坐标系，则A

－

3，，2

，由题设点C(，)3以B，

为圆心，半径为1的上运动，结合图形可知，点C(x，运动到点D时，有||＝AD|＝＋1＝31.故选D.6重梁平调)过点(－作圆C)＋y－＋2)＝t∈的切线，→切点分别为A，，则PA·PB的小值为)A.

103

40B.32

2|(2cosθ－PC|－2×－＝PC|1)＝(|1)(|→―→2|(2cosθ－PC|－2×－＝PC|1)＝(|1)(|→―→||→→4sin60°sinC.

214

D．22－解析：选C

观察圆的方程可知，圆心C在直线y＝2上运动，则||≥

|－1－－1＋－

→→→＝22.设CPA＝θ，则|||PB|cos2θ＝|→→||→||

→＋2→||

→2－3，||＝，设y＋－，则yx＋－在8，＋上增函数，故x→→221PA·≥8＋－＝，故选C.847.(2019·北京四中期中考试)如，在中，ABC＝120°，＝，2，是→3→→→边上一点，且DC＝－，BD·AC＝________.4解析据题意得BDAC＝＋7

→3→3·(－BA)＝·BC－×16＋7774→1→32132×4－BC＝BA·BC＝－×4×2×cos120°－＝－4.77777答案：－48．若a，，是单位向量，且a·b＝0，(－b－c)的最值________．解析：依题意可设a＝，＝(0,1)c＝(cosθ，sinθ，则(a－)·(b－c)＝π1－(sinθ＋cos)＝1－2sin＋－c)·(c)的最大值为1＋2.4答案：＋29．(2018·泰安二)已知平面量ab满|b|1且a与b－的夹为120°，则a|的取值范围为________．→→解析：在△中，设＝，＝，→→→则b－＝－＝BC，∵与b－的角为120°，∴＝60°1||由正弦定理得＝，sinC23∴|a|＝＝sin，sin60°33

xxxxxx2∵0°<，∴sinC∈，∴|a|323答案：10．(2019·河南豫南豫北联)△中，角，，所的分别为，，c，且5cos＝.134(1)若sinA＝，求cosC；5→(2)若b＝，·BC的小值．51212解：(1)在△ABC中，cosB得sinB＝，sinB>sinA，∴>A，故A131313333为锐角，∴cos＝，∴cos＝－A＋B)＝－cos＋sinAB.565(2)由余弦定理b＝＋－B得，10101616＝a＋－ac≥2－ac＝ac当且仅当a＝时号成立，∴≤13，131313→5∴·＝accos(π－accos＝－ac≥－13→故·的最小值为5.11．(2019·太原模)已知向量＝3sin，cos，cos3333m·n.

，(＝(1)求函数fx的最小正周期和单调递增区间；(2)若abc分是的内角AB所的边且＝2－b)cosC＝，3f()＝，求c.2xx解：(1)∵(＝＝3sincos＋cos333＝

322π1sin＋＋＋，232362∴函数fx的最小正周期为3π，π2xππ令－＋k≤＋≤＋kπ∈，－π＋π≤≤＋k，∈，23622∴函数fx的单调递增区间＋π，＋k2(2)∵(2a－b)cosC＝ccos

，∈Z.4

∴2sinAcosCsinBC＋cosBC＝sin(＋C)＝A，1π∵0<A<，sin>0，∴cos＝，∴C＝.23π13∵(＝＋＝，622π∴sin＋6

＝，2πππ∴＋＝＋π，∈，∴A＝，3622∴＝C＝2sin

π3

＝3.[B级难题——适情自主选]→11等三角形AOB中OA||OB|＝|OA＋OB|≥|OA·OB2的取值范围()A．[－C．[0,25)

B.[－15,15]D．[0,15]→1→11→解析：选A|＋OB|≥||＝|－OA|，所|OA＋||22411|，(OA＋OB)≥(－)，所以OA＋OA·OBOB≥(－2OA·44＋2)，＋2·OB＋5≥(52OA·＋5)，则OA·≥又4→→OA·≤|||OB|＝5×5＝25，当且仅当与同向取等号，因此上式等号不→成立，所以OB的值范围[－15,25)故选A.2．已知，，是同一平面内三个向量，|e|1，ab，·＝，·＝，|a－取最小值时，与e夹的正切值()A.

33

1B.2C．1

D．

22解析：选D根题意，分别以b为轴y轴立平面直角坐标系，设e与a的π角为θ为角e与b的角为－θ∵|e|1e＝e＝|·cos2θ＝，|b－θ

21|·sinθ＝，＝，|b|，|a－＝cosθsinθ5

ππ2πππ2π|a|－2ab＋|b|＝

4141＋＝＋cosθsinθsinθ

(sin

4sinθ＋cosθ)＝＋＋cosθcosθsinθ

≥5＋

4sinθcosθ2·＝，且仅当2sinθ＝cosθ，tanθ＝时号成cosθsinθ2立，此时－取最小值3，与夹角正切值为

2，故选D.2→→3．(2019·武汉调)设半径为1圆O上三点且OA⊥则－→OA)·(－的最大值是)A．1＋2C.2－1

B.1－2D．1→解析：选A如，作出，得＝OD，(OC－)·(OC－＝→→→OC－·OC－·OC＋·OB＝－OA＋OB)·OC＝1·由图→可知点C在OD的反延长线与圆的点处时·OC取得最小值值－2，→→此时(OC－)·(OC取最大值，最大值为1＋2，选A.4．(2019·江西吉安月)已知量a＝(cos，sinθ，b＝(cosφ，sinφ)π(1)若θ－|＝，求|－b|的值；3(2)若＋＝θ)＝b－|a＋∈32的最小值．

1≤λ≤2时θ)解：(1)∵向量a＝θ，sinθ)＝(cosφ，φ，∴－＝(cosθ－cosφ，sinθ－sin)，∴|a－＝(cos－)＋(sinθ－sinφ)＝－2cos(θ－．ππ∵θ－φ|＝，∴－φ＝±，33∴|a－＝－2cos

π3

π＝－＝，2－2cos3

＝－＝，∴|a－＝ππ(2)∵＋＝，θ3

，∴·＝cosθcossinθsin