等腰三角形练习题

等腰三角暑期作业参考答案试题解析1•长安区校级模拟）如图，△中BDCD平分∠ABC∠ACB，过D作直线平行于，交AB、于E、F，求证：CF．【分析】根据平行线的性质和平分线的性质，解出BED和△CFD是等腰三角形，通过等量代换即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，∴∠1=2∠5=∠∵EF∥BC，∴∠3，∠6，∴∠1=3∠4=∠根据在同一三角形中等角对等边的原则可知+DF=BE+CF．【点评本题综合考查等腰三角形的性质及平行线的性质一般是利用等（等边三角形的性质得出相等的边进而得出结论进行等量代换是解答本题的关键．2•常州）如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、是高，BD与CE相交于点O（1）求证：（2）若∠ABC=50°，求BOC的度数．第1页（共5页）

【分析）首先根据等腰三角形的性质得到ABC=∠然后利用高线的定义得到∠∠DBC，从而得证；（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．【解答证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠，∵BD、CE是△ABC的两条高线，∴∠∠BDC=90°∴△BEC≌△CDB∴∠DBC=∠ECB，BE=CD在△BOE和△COD中∵∠BOE=∠COD，，∠BEC=∠∴△BOE△COD，∴OB=OC；（2）∵∠ABC=50°，，∴∠A=180°﹣50°=80°，∴∠DOE∠A=180°∴∠BOC=﹣80°=100°．【点评本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理关键是掌握等腰三角形等角对等边．3•长春二模）如图，在ABC中AB=AC，∠A=40°BD是∠的平分线，求∠BDC的度数．【分析首先由AB=AC利用等边对等角和∠A的度数求出∠ABC和∠C的度数，然后由是∠ABC的平分线，利用角平分线的定义求出∠的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数．第2页（共5页）

【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠=70°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=∠ABC=35°，∴∠BDC=180°﹣∠﹣∠C=75°【点评本题考查了等腰三角形的性质角平分线的定义三角形内角和定理等知识解答本题的关键是正确识图利用等腰三角形的性质等边对等角求出∠ABC与∠C的度数．4秋•亭县期末）如图，在△ABC中，∠，的垂直平分线DE交AC于D，垂足为，若∠A=30°，CD=3．（1）求∠BDC的度数．（2）求AC的长度．【分析由AB的垂直平分线DE交于垂足为E，根据段垂直平分线的性质，易AD=BD即可求得∠ABD的度数，又由三角形外角的性质，即可求得答案；（2）易得△BCD是含30°角直角三角形的性质，继而求得的长，则可求得答案．【解答】解∵AB的垂直平分线DE交AC于D垂足为E，∴AD=BD，∴∠ABD=A=30°，∴∠BDC=∠ABD+∠A=60°（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠BDC=60°，∴∠CBD=30°，第3页（共5页）

∴BD=ACD=2×3=6，∴AD=BD=6，∴AC=ADCD=9．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．5秋•安期末）如图，在中AB=AC，DEF分别在AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．【分析）AB=AC，ABC=∠，BE=CFBD=CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△是等腰三角形．（2）根据∠A=40°可求出∠∠根据△DBE△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数．【解答】证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CEF，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△，第4页（共5页）

∴∠1=3∠2=∠∵∠A+∠+∠C=180°，∴∠B=（180°﹣40°）=70°∴∠1+∠2=110°∴∠3+∠2=110°∴∠DEF=70°【点评此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题．6秋•钦州期末）如图：已知等边△中，D是AC的中点，是BC延长线上的一点，且CE=CD，⊥BC，垂足为M，求证：是BE的中点．【分析】要证是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．【解答】证明：连接BD，∵在等边△ABC，且D是AC的中点，∴∠DBC=∠ABC=×，∠ACB=60°，∵CE=CD，∴∠CDE=∠，∵∠∠∠E第5页（共5页）

∴∠E=30°，∴∠DBC=∠E=30°，∴BD=ED，△BDE为等腰三角形，又∵DM⊥BC，∴M是BE的中点．【点评本题考查了等腰三角形顶角平分线底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．7秋•门期末）如图，在等边△ABC中，点DE分别在边，AC上，且DE，过点E作EF⊥，交BC的延长线于点F，（1）求∠F的度数；（2）若CD=3，求DF的长．【分析根据平行线的性质可得∠∠B=60°，根据三角形内角和定理即可求解；（2）易证△EDC是等边三角形，再根据直角三角形的性质即可求解．【解答】解∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∵DE，∴∠EDC=∠B=60°，∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°第6页（共5页）

∴∠F=90°﹣∠EDC=30°；（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=3∵∠DEF=90°∠F=30°，∴DF=2DE=6．【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半．8秋•宜兴市期中）如图，在△中，，AC的垂直平分线分别交、AC于点DE．（1）若∠A=40°，求∠的度数．（2）若AE=4，△DCB的周长为13求△ABC的周长．【分析）由在△ABC中，AB=AC，A=40°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ACB的度数，又由线段垂直平分线的性质可得，即可求得ACD的度数，继而求得答案；（2）由AE=4，△DCB的周长为13即可求得△ABC的周长．【解答】解∵在△ABC中，AB=AC，∠，∴∠ABC=∠

=70°，∵DE垂直平分AC，∴∴在△DAC中，∠DCA=∠，∴∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=30°；第7页（共5页）

（2）∵DE垂直平分，∴EC=EA=4，∴AC=2AE=8，∴△ABC的周长为：AC+BC+BD++BC+BD+DC=8+．【点评题考查了线段垂直分线的性质与等腰三角形的性质题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．9秋•义马市期中）如图，，∠A=30°AB的垂直平分线交AC于点D求∠DBC的度数．【分析】由AB=AC，∠，根据等腰三角形的性质，可求得∠的度数，又由AB的垂直平分线MN交AC于点D，可AD=BD，继而求得∠ABD的度数，则可求得答案．【解答】解：∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠C=75°，∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴AD=BD，∴∠ABD=A=30°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=45°【点评此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．10•太仓市期中）如图，△中，AD⊥，EF垂直平分，交AC于点F，交BC于点，且．（1）若∠BAE=40°，求∠的度数；（2）若△ABC周长13cm，求DC长．第8页（共5页）

【分析根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出求出∠AEB和∠C=∠EAC，即可得出答案；（2）根据已知能推出+2EC=7cm，即可得出答案．【解答】解∵AD垂直平分BE，垂直平分，∴AB=AE=EC，∴∠C=∠CAE，∵∠BAE=40°，∴∠AED=70°，∴∠C=∠AED=35°；（2）∵△ABC周长13cm，∴+BE+EC=7cm，即2DE+2EC=7cm，∴DEEC=DC=3.5cm．【点评本题考查了等腰三角形的性质线段垂直平分线性质三角形外角性质的应用主要考查学生综合运行性质进行推理和计算的能力题目比较好难度适中．11秋•东台市期中）如图，在△中，AB=AC，的垂直平分线分别交、AC于点D、E（1）若∠A=40°，求∠的度数；（2）若AE=5，△DCB的周长为16求△ABC的周长．第9页（共5页）

【分析）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出ACB的度数，根据线段的垂直平分线的性质求出∠DCA的度数，计算即可；（2根据线段的垂直平分线的性质和三角形的周长公式求出BC+AB=16计算即可．【解答】解∵AB=AC，∠A=40°，∴∠∠B=70°，∵DE是AC的垂直平分线，∴∴∠DCA=A=40°，∴∠DCB=30°；（2）∵DE是AC的垂直平分线，∴EC=AE=5，△DCB的周长=+BD+BDDA=BC+，则△ABC的周长=AB+BC+AC=26．【点评本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．12秋•吴中区期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，，是过的一条直线且BC在AE的两侧D在AE之间BD⊥AE于DCE⊥AE于E，求证：BD=DE+CE．【分析】根据已知证明△ABD△，从而得到AD=ECBD=AE，因为第0页（共3页）

AE=ADDE=CE+从而得到了结论BD=DE+CE．【解答】证明：∵∠CAE+∠BAD=90°，∠BAD∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD．∵∠ADB=AEC=90°，AB=AC∴△ABD≌△CAE．∴AD=CEBD=AE∵AE=ADDE=CE+DE，∴BD=DE+CE．【点评题主要考查学生对等腰三角形的性质及全等三角形的判定方法的掌握情况明线段的和差问题往往通过三角形全等来证明掌握这种重要的方法．13秋•富顺县期中）如图，已知为等腰△ABC的底边BC上一动点，过E作EFBC交AB于D，交CA的延长线于F问：（1）∠F与∠ADF的关系怎样？说明理由；（2）E在BC延长线上，其余条件不变上题的结论是否成立？若不成立，说明理由；若成立，画出图形并给予证明．【分析由已知条件根据等腰三角形两底角相等及三角形两锐角互余的性质不难推出∠F与∠ADF的关系．【解答】解∠∠ADF理由：∵AB=AC∴∠B=∠C∵EF⊥BC∴∠B+∠∠C+∠F=90°∴∠BDE=F∵∠ADF=∠BDE第1页（共3页）

∴∠ADF=∠F；（2）成立证明：∵AB=AC∴∠B=∠ACB∵∠∠∴∠B=∠ECF∵EF⊥BC∴∠B+∠BDE=90°∠ECF+∠F=90°∴∠BDE=F即∠ADF=∠F．【点评本题考查了等腰三角形的性质题中有两个类别的特殊三角形等腰三角形是两个底角相等直角三角形是两个锐角互余还有对顶角相等的条件为角的关系转化提供依据．14秋•金乡县期中）如图，在△ABC中AB=AC，D、、分别在BC、、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）求证：∠B=∠DEF；（3）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．第2页（共3页）

【分析）首先根据条件证明△≌，根据全等三角形的性质可得DE=FE，进而可得到△DEF是等腰三角形；（2）根据△BDE≌△，可知∠∠BDE∠﹣∠BED∠EFC=180°﹣∠DEB﹣∠EDB=∠即可得出结论；（3）由（2）知∠DEF=∠，再根据等腰三角形的性质即可得出∠的度数．【解答证明：∵AB=AC，∴∠B=∠，在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF，∴DE=FE，∴△DEF是等腰三角形；

，（2）∵△BDE≌△，∴∠FEC=∠BDE，∴∠DEF=180°﹣∠BED﹣∠EFC=180°﹣∠DEB﹣∠B；（3）∵由（2）知△≌△CEF，∴∠BDE=CEF，∴∠CEF+∠DEF=∠BDE+∠，∴∠DEF=∠，∴AB=AC，∠A=40°第3页（共3页）

∴∠DEF=∠B==70°．【点评本题考查的是等腰三角形的判定与性质熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键．15秋无锡校级月考）如图，在ABC中，边、AC的垂直平分线分别交BC于E、F．（1）若BC=10求△AEF周长．（2）若∠BAC=128°，求∠的度数．【分析由在△ABC中，边、AC的垂直平分线分别交于E、，易得AE=BE，AF=CF即可得△AEF周长=BC；（2）由∠BAC=128°，可求得∠B+∠C的值，即可得∠BAE+∠CAF的值，继而求得答案．【解答】解∵在△ABC中，边AB、的垂直平分线分别交BC于E、F∴AE=BE，AF=CF∵BC=10，∴△AEF周长为：AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10；（2）∵AE=BE，AF=CF，∴∠B=∠BAE，∠CAF，∵∠BAC=128°，∴∠B+∠﹣∠BAC=52°，∴∠BAE+∠∠B+∠C=52°，∴∠∠﹣（∠BAE∠CAF）．【点评此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．第4页（共3页）

16秋辛集市期末）如图，已知E是∠AOB的平分线上一点，⊥OB，ED，、D是垂足，连接CD，交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．【分析先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥，ED⊥得出△ODE≌△，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；（2）先根据E是∠AOB的平分线，AOB=60°可得出∠∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出即可得出结论．【解答】解∵是∠AOB的平分线上一点，EC⊥，EDOA，∴DE=CE，OE=OE，∴Rt△ODERt△OCE，∴OD=OC，∴△DOC是等腰三角形，∵OE是∠AOB的平分线，∴OE是CD的垂直平分线；（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，∴∠BOE=30°，∵⊥OB，EDOA，∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，∴∠EDF=30°∴DE=2EF第5页（共3页）

∴OE=4EF．【点评本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．17春•张家港市期末）如图，在ABC中，AB=ACAB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）若∠A=40°，求∠的度数；（3）若AE=6，△CBD的周长为20求△ABC的周长．【分析根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；（2）首先利用三角形内角和求得∠ABC的度数，然后减去∠ABD的度数即可得到答案；（3）将△ABC的周长转化为AB++BC的长即可求得．【解答】解证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D∴DB=DA，∴△ABD是等腰三角形；（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A=40°，∴∠ABD=A=40°，∠∠C=（180°﹣40°）÷2=70°∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°；（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点DAE=6，∴AB=2AE=12，∵△CBD的周长为20，∴AC+BC=20，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32【点评本题考查了线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质相对第6页（共3页）

比较简单，属于基础题．18秋•无锡期末）如图，在△ABC中，BC=AC，ACB=90°D是AC上一点AEBD交BD的延长线于点且BD求证是∠ABC的角平分线．【分析延长交于点F据同角的余角相等得∠DBC=∠在△BCD和△ACF中，根据ASA证明全等，得AF=BD从而AE=EF，根据线段垂直平分线的性质，得AB=BF，再根据等腰三角形的三线合一即可证明．【解答】证明：延长AEBC交于点F．∵AE⊥BE，∴∠BEF=90°，又∠∠ACB=90°，∴∠DBC+∠∠+∠AFC=90°，∴∠DBC=∠，在△ACF和△BCD中，∴△ACF≌△ASA∴AF=BD又AE=BD，∴AE=AF=EF即点E是AF的中点．∵BE⊥AF∴DE是AF的垂直平分线∴AB=BF，根据等腰三角形三线合一的性质可知：BD是∠ABC的角平分线．第7页（共3页）

【点评此题综合运用了全等三角形的判定以及性质线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．19春•西校级期末）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，DE是腰AB的垂直平分线，求∠DBC的度数．【分析】知∠A=40°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠，易求∠．【解答】解：∵∠A=40°，AB=AC∴∠ABC=∠，又∵DE垂直平分AB，∴DB=AD∴∠ABD=A=40°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．故答案为：30°【点评此题主要考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质主要了解线段垂直平分线的性质即可求解．20春•莲湖区校级期末）如图，已知在△ABC中，AB=AC，的垂直平分线DE交AC于点CE的垂直平分线正好经过点B，AC相交于点F，求A的度数．第8页（共3页）

【分析】先根据等腰三角形的质得出∠ABC=∠C，再由垂直平分线的性质得出∠A=∠ABE，根据的垂直平分线正好经过点B，与相交于点可知△是等腰三角形，故BF是∠EBC的平分线，故（∠ABC﹣∠）+∠C=90°，把所得等式联立即可求出∠A的度数．【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠

①，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴∠A=∠ABE，∵CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点可知△是等腰三角形，∴BF是∠EBC的平分线，∴（∠ABC﹣∠∠，即（∠C﹣∠A）+∠C=90°，①②联立得，∠A=36°．故∠A=36°．【点评本题考查的是线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质解答此类问题时往往用到三角形的内角和为180°这一隐含条件．21秋•驻马店期末）如图，AB=AC，，DFAB，⊥，垂足分别是F，E．求证：DE=DF．【分析】要证只需证△BDF≌△，已AB=AC，可得B=∠C，又已知BD=DC∠BFD=CED=90°，则两三角形全等可证第9页（共3页）

【解答】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠，∵DE，DF⊥，∴∠BFD=CED=90°，∵BD=DC∴△BDF≌△CDE，∴DE=DF【点评本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质通过三角形全等证明线段相等是最常用的证明方法之一，要熟练掌握．22秋•河北区期末）如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，、BE相交于点P，BQ⊥于点Q，PQ=3PE=1．（1）求证：AD=BE；（2）求AD的长．【分析根据等边三角形的三条边都相等可得AB=CA，每一个角都是60°可得，∠BAE=∠ACD=60°，然后利用边角边”明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）根据全等三角形对应角相等可得CAD=∠，然后求出BPQ=60°，再根据直角三角形两锐角互余求出PBQ=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BP=2PQ再根据AD=BE=BP+PE代入数据进行计算即可得解．【解答证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA=BC，∠BAE=∠ACD=60°；在△ABE和△CAD中，第0页（共3页）

，∴△ABE≌△CAD（SAS∴AD=BE；（2）解：∵△ABE≌△，∴∠CAD=ABE，∴∠BPQ=∠+∠BAD=+∠CAD=BAE=60°；∵BQ⊥∴∠AQB=90°，∴∠PBQ=90°﹣，∵PQ=3∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6，又∵PE=1，∴AD=BE=BPPE=6+．【点评本题考查了等边三角形的性质全等三角形的判定与性质直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质并求出BP=2PQ是解题的关键．23秋马关县校级期末）如图①，△是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以为顶点作一个60°角，两边分别交AB，边于MN两点，连接MN．（I）探究：线段BM，MN，NC之间的关系，并加以证明．（Ⅱ）若点是AB的延长线上的一点，是CA的延长线上的点，其它条件不变，请你再探线BMMNNC之间的关系，在图②中画出图形，并说明理由．第1页（共3页）

【分析延长至，使得并连接，构造全等角形，找到相等的线段，MD=DE，再进一步证明△DMN△进而得到MN=BM+NC．（2）按要求作出图形，先证BMD△CED，再证MDN△（即可得出结论．【解答】解MN=BM+NC．理由如下：延长AC至E，使得或延长AB至E，使得BE=CN连接DE．∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°∴∠ABC+∠∠ACB+∠30°=90°∴∠MBD=∠，在△MBD与△ECD中，∵，∴△MBD≌△（SAS∴MD=DE，∴△DMN≌△DEN，∴MN=BM+．（2）按要求作出图形中结论不成立，应为MN=NCBM．在CA上截取CE=BM∵△ABC是正三角形，第2页（共3页）

∴∠∠ABC=60°，又∵BD=CD∠BDC=120°，∴∠BCD=∠CBD=30°，∴∠MBD=∠，在△BMD和△CED中∵，∴△BMD≌△（∴DE=DM，在△MDN和EDN中∵，∴△MDN≌△EDN（SAS∴MN=NE=NC﹣CE=NC﹣【点评题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质此题从不同角度考查了作相等线段构造全等三角形的能力要充分利用等边三角形及等腰三角形的性质，转换各相等线段解答．24秋•绍兴校级期末）如图，ABC中，，现有两MN分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为1cm/s，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，MN同时停止运动．（1）点M、运动几秒后，、N两点重合？第3页（共3页）

（2）点M、运动几秒后，可得到等边三角形△AMN（3点M在BC边上运动时否得到以MN为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、运动的时间．【分析）首先设点M、运动x秒后，M、两点重合，表示出，的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多12cm列出方程求解即可；（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△，然后表示出AM，AN的长，由于∠等于60°，所以只要三角形ANM就是等边三角形；（3）首先假设AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△可CM=BN设出运动时间，表示出CMNB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．【解答】解设点N运动x秒后，N两点重合，x×12=2x，解得：x=12（2）设点M、运动秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，AM=t×，AN=ABBN=12﹣，∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12﹣，解得t=4，∴点MN运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．（3）当点M、在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知12秒时M、两点重合，恰好在C处，如图②，假设△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，第4页（共3页）

∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=ANB，∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C=∠B，在△ACM和△ABN中，∵，∴△≌△ABN，∴CM=BN设当点MN在BC边上运动时，M、运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，∴CM=y﹣12NB=36﹣，CM=NB﹣12=36﹣2y，解得：y=16故假设成立．∴当点MN在BC边上运动时，能得到MN为底边的等腰三角形AMN，此时MN运动的时间为16秒．第5页（共3页）

【点评题主要考查了等边角形的性质及判定键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量关系．25秋长汀县期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=．以OC一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？【分析）首先根据已知条件可以证明BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形性质即可求解．【解答】解∵△是等边三角形，∴OC=CD，而△ABC是等边三角形，∴，∵∠∠OCD=60°，∴∠，在△BOC与△中，∵，∴△BOC≌△，∴∠BOC=ADC，而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，∴∠ADO=150°﹣60°=90°，∴△ADO是直角三角形；第6页（共35页）

（2）∵设∠CBO=∠，∠ABO=b∠BAO=c，∠CAO=d，则a+b=60°，c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，+d=50°∠DAO=50°，∴bd=10°∴（60°a）﹣d=10°，∴a+d=50°即∠CAO=50°①要使AO=AD，需∠ADO∴190°α=α﹣60°，∴α=125°；②要使OA=OD，需∠ADO∴α﹣，∴α=110°③要使OD=AD，需∠OAD=∠，∴190°α=50°，∴α=140°所以当α为110°、125°、时，三角形AOD是等腰三角形．【点评此题主要考查了等边三角形的性质与判定以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．26秋•澧县期末）如图，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N交AC于M．（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是

50°；（2）探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；（3）连接MB若AB=8cm△MBC的周长是14cm①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P使PB+CP的值最小？若存在标出点的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由．第7页（共35页）

【分析）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；（2）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；（3）根据垂直平分线的性质，可得与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；根据两点之间线段最短，可P点与M点的关系，可得PBPC与AC的关系．【解答】解若∠B=70°，则∠NMA的度数是50°故答案为：50°（2）猜想的结论为：∠NMA=2∠B﹣．理由：∵AB=AC，∴∠B=∠，∴∠A=180°﹣，又∵MN垂直平分AB，∴∠NMA=90°﹣∠﹣（180°﹣2∠）=2∠﹣90°．（3）如图：①∵MN垂直平分AB．∴MB=MA，又∵△MBC的周长是14cm第8页（共3页）

∴AC+，∴BC=6cm．②当点P与点M重合时，+CP的值最小，最小值是8cm．【点评本题考查了轴对称线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出PB=PA．27秋•黄石校级期中）如图，ABC中，AB、的垂直平分线分别交BC于DE，垂足分别是MN（1）若△ADE的周长是10，求BC的长；（2）若∠BAC=100゜，求∠的度数．【分析由AB、的垂直平分线分别交BC于E，垂足分别是、根据线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，，继而可得△ADE的周长等于BC的长；（2）由∠BAC=100゜，可求得∠+∠C的度数，又由AD=BD，，即可求得∠+∠CAE的度数，继而求得答案．【解答】解∵AB、AC的垂直平分线分别交于DE，垂足分别是M、N∴AD=BD，AE=CE，∵△ADE的周长是10，∴ADDE+AE=BD+CE=BC=10，即BC=10．（2）∵∠BAC=100゜，∴∠B+∠﹣∠BAC=80°，∵AD=BD，AE=CE，∴∠，∠CAE=∠C，∴∠+∠，第9页（共3页）

∴∠DAE=∠﹣（∠BAD+∠CAE）=100°﹣80°=20°．【点评此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．28秋虞城县期中）如图，在△中，AB=AC，∠BAC=120°．AB的垂直平分线交AB于E，BC于MAC的垂直平分线交AC于，交BC于N．连接AM、AN（1）∠MAN的大小；（2）求证：BM=CN．【分析由在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，可求得∠与∠的度数，又由AB的垂直平分线交于，交BC于M可得，继而求得∠的度数，则可求得∠AMN的度数，继而求得答案；（2）易得△AMN为等边三角形，则可得AM=AN=MN，又由BM=AM，CN=AN，即可证得结论．【解答解：∵AB=AC，∠，∴∠B=∠C=30°，∵直线ME垂直平分AB，∴BM=AM，∴∠B=∠MAB=30°，∴∠AMN=∠+∠MAB=60°同理可得：∠ANM=60°．∴∠MAN=180°﹣60°﹣60°=60°；（2）证明：∵在△中，∠AMN=∠ANM=∠∴△AMN为等边三角形．第0页（共3页）

即AM=AN=MN，又∵BM=AM，，∴BM=CN【点评此题考查了线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定与性质此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．29秋•西湖区校级期中）如图，ABC中，C=Rt∠BC=6cm，若动点从点开始，按C→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，把△ABC的周长分成相等的两部分．（2t为何值时把△ABC的面积分成相等的两部分求出此时的长；（3）当t为何值时，△为等腰三角形？【分析股定理求出△ABC的斜边AB=10cmABC的周长为24cm，所以当CP把△的周长分成相等的两部分时，点

P在AB上，此时CA+AP=BPBC=12cm，再根据时间=程÷速度即可求解；（2）根据中线的性质可知，点P在AB中点时，把△ABC的面积分成相等的两部分，进而求解即可；（3eq\o\ac(△,）)BCP为等腰三角形时三种情况进行讨论BC=BPPB=PC．【解答】解△ABC中，∵∠C=Rt∠，AC=8cmBC=6cm，∴AB=10cm，∴△ABC的周长=86+10=24cm，当CPABC时点P在AB时CA+AP=BPBC=12cm，∴t=12÷（秒第1页（共3页）

）当点P在AB中点时，把ABC的面积分成相等的两部分，此时CA+AP=8+5=13（cm∴t=13÷（秒∴CP=AB=×10=5cm；（3）△BCP为等腰三角形时，分三种情况：①如果CP=CB，那么点P在AC上，CP=6cm此时t=6÷2=3（秒如果CP=CB，那么点P在AB上，CP=6cm，此时秒）（点P还可以在AB上，此时，作AB边上的高CD，利用等面积法求得CD=4.8，再利用勾股定理求得DP=3.6以BP=7.2以8+（秒②如果BC=BP那么点P在A