独立性与有关性相容性

第章．两独立但不相独立

独性相性容【例】

设有一个均匀的正四面体，第一，二，三面分别涂上红，黄，兰一种颜色，第四面涂上红，黄，兰三种颜色。现以分记投一次四面体底面出现红，黄，兰颜色的事件，则()P(B)(C)所以两独立，但

1P()(AC(BC2P()

1()PB)P()48【例】

因而不互独立。设有四张形状，大小，质量完全一样的卡片，上面分别标有数字，，，，现从四张卡片中任抽一张，以随机变量X,Y,Z分别表示抽到卡片上的第一，二，三位数字，则(X(Y(

12(X(Z所以两两独立，但

141(XY(YP(8因而不相互独立。．成，但不两独.设有一均匀正八面体，其第，2，涂有红色，第1，，3，图黄色，第，6，，8面兰。现以分表示投一次正八面体，底面出现红，黄，兰颜色的事件，则()(B)(C)

121(ABC)(A)()()8但是

P)(AC)

3P)()841(A)(C)84/

()

11(B)P(C)84所以A,B,C不两独立。．独关系不具有递性设三事件，若由A与B独，且B与独，得到AC独，我们就称A,B,C的立关系具有传递性考虑有两个孩子和家庭全体，假定生女等的，因而样本空间{(b,(b),(,b(g,)}生的次序.

，其中为孩，为女孩每一对里的次序是指出现在从全体有两个孩子的家庭中随机地选择一个家庭，并考虑下面三个事件：A为第一个孩子是男孩为“两个孩子不同性别为第一个孩子是女孩有AB)},BC{(,)},AC1P()P)(BP(BC)PB(C)44即A与B独，B与C独，但是()0

14

P)(C)因此A与不立顺便指出不独立关系也不具有传递性，即若A,B不立B,C不立，则A,C可以独立考察掷三枚均匀硬币的试验A为全正面或全反面为至多两个正面为至多一个正面的样本空间为{HHH,HTHTHH,HTT,THT,}其中表正面，表反正，容易算出：()于是有

111PB)P(C),P(AB)()()482P)

17P()PB)83217()()(C)216P(AC)

18

(A)P()可见不独立，B,C不独立却立.．随变量不独立但其函数可以独立/

22与222与2X正态分布有个特性：任何维态随机变量，可由坐标轴旋转转变为一组几个独立的正态随机变量（参见丁寿田译的前联《概率论教程》P157）例如，即X,Y不立当（）服从二维正布令Zcos

sin

cos

，则（Z,W）仍服从二正态分布，其联合密度函数为：f(Z,

21

12

1

e

12(1

)

(AZ)只要适当地选择：

2122则此时与W独．X与Y不立，但X与Y独立若随机变量XY独，则

X

2

必相互独立，其逆不真例如：设（X,Y的联合密度函数为)xfx)0其他F(x)(X

0x1uyx)(

)dux

xx(y)Y21

y0yyF

Y

(x,y

xyxy

x或yxxxyx对于一切x,y有

F

(x,)(x)F(y)所以与相独立。xfx)其

f(y)Y

1|20其/

显然

f(,y)f(x)f(y)xY

，所以X与Y不独.．X与Y不立，但有相同分布观察如下的（）的联合分布及其边缘分布X

Y的布YX的布

1/61/9

1/61/31/2

1/91/9

1/21/9由于

PP,i、jijij故X与Y不独立，但X与Y的布显然相同.．既相关也不独的随机变量若随机变量相独立，X，Y不关，反之不真，这方面的反例很多，离散型与连续型各举一例.例1设（XY）的分布：X

01Y

1/81/81/8

1/81/8

1/81/81/8容易验证

Y)(XY)(XE()X不相关PP,i,j,2,3Y独立ijij

例2设（X,Y从单位圆域上的均匀分布，但其密度函数f(x)

xy

0

x

y

/

z2z2容易验证)(XY)()(XY不相关f()f()f()不立XY．随变量独立但们的函数未必独立

设

Zf(,YWg().

X,Y为互独立的随机变量（1Z,W独的例子设X,Y独立且有相同分布

N(0,

2

)

Z

X

W

Y

则（）联合密为f()

z

2

zz边缘密度为

f(z)0

zzf(wW

1)

则

fz)(z()故Z与W独（2Z,W不立的例子设X,Y不独立，且都从如下分布

341/1/61/661/6

取

ZW

此时ZW或同为奇数或者同为偶数，所以Z与不独．独性与相容性独立性是问题间的概率属性，相容性是事件间本身的关系。由第一章可，由概率关系推不出事件间关系，所以由独立性推不出不相容性。看如下一个命题：若为个独立事件，且

PA(B)0/

且不能不相容，用反证

法证明此命题。若

则

P(AB)

由A,B独立，且

PA(B)0

得P(AB)(A()0

矛盾，因而

可见在题设条件下，A与独同A与B不相容不能同时成立。但若A,B中有一个概率为0，则A与B独同A与互相可同时成立。．

独立同分布的随机变量是否必相等设X,Y互相独立，且服从两点分布1/21/

．

则未必有事实上，由X,Y独立性有()(X(111((PY4显然X=Y不必然事有函数关系的随机变量是否一定不独立考验如下三个随机变量X,Y和Z假定XY独且都服从参数为－）分布，令Z为X与Y的函数1

X为数X为数Y

由于X,Y立，可得X,Y）的联合分布律X