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文档简介
学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精学必求其心得,业必贵于专精§2.4二次函数与幂函数最新考纲考情考向分析1.理解并掌握二次函数的定义,图象及性质.2.能用二次函数,方程,不等式之间的关系解决简单问题.3。了解幂函数的概念.4.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=eq\f(1,x),y=的图象,了解它们的变化情况。以幂函数的图象与性质的应用为主,常与指数函数、对数函数交汇命题;以二次函数的图象与性质的应用为主,常与方程、不等式等知识交汇命题,着重考查函数与方程,转化与化归及数形结合思想,题型一般为选择、填空题,中档难度。1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式:一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图像和性质解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+bx+c(a〈0)图像定义域(-∞,+∞)(-∞,+∞)值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac-b2,4a),+∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,\f(4ac-b2,4a)))单调性在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(b,2a)))上是减少的;在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,2a),+∞))上是增加的在x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(b,2a)))上是增加的;在x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(b,2a),+∞))上是减少的对称性函数的图像关于x=-eq\f(b,2a)对称2.幂函数(1)幂函数的定义一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常量.(2)常见的5种幂函数的图像(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域RRR[0,+∞){x|x∈R,且x≠0}值域R[0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R,且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇知识拓展1.幂函数的图像和性质(1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性.(2)幂函数的图像过定点(1,1),如果幂函数的图像与坐标轴相交,则交点一定是原点.(3)当α>0时,y=xα在[0,+∞)上为增函数;当α<0时,y=xα在(0,+∞)上为减函数.2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,,Δ〈0))时恒有f(x)〉0,当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a〈0,,Δ〈0))时,恒有f(x)〈0.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是eq\f(4ac-b2,4a).(×)(2)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R不可能是偶函数.(×)(3)在y=ax2+bx+c(a≠0)中,a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小.(√)(4)函数y=是幂函数.(×)(5)如果幂函数的图像与坐标轴相交,则交点一定是原点.(√)(6)当n<0时,幂函数y=xn是定义域上的减函数.(×)题组二教材改编2.已知幂函数f(x)=k·xα的图像过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),\f(\r(2),2))),则k+α等于()A.eq\f(1,2)B.1C.eq\f(3,2)D.2答案C解析由幂函数的定义,知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k=1,,\f(\r(2),2)=k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α.))∴k=1,α=eq\f(1,2)。∴k+α=eq\f(3,2).3.已知函数f(x)=x2+4ax在区间(-∞,6)内是减少的,则a的取值范围是()A.a≥3 B.a≤3C.a<-3 D.a≤-3答案D解析函数f(x)=x2+4ax的图像是开口向上的抛物线,其对称轴是x=-2a,由函数在区间(-∞,6)内是减少的可知,区间(-∞,6)应在直线x=-2a的左侧,∴-2a≥6,解得a≤-3,故选D。题组三易错自纠4.幂函数f(x)=(a∈Z)为偶函数,且f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,则a等于()A.3B.4C.5D.6答案C解析因为a2-10a+23=(a-5)2-2,f(x)=(a∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是减函数,所以(a-5)2-2〈0,从而a=4,5,6,又(a-5)2-2为偶数,所以只能是a=5,故选C。5.已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c且a+b+c=0,则它的图像可能是()答案D解析由a+b+c=0和a〉b>c知,a〉0,c<0,由c〈0,排除A,B,又a〉0,排除C.6.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为________.答案[1,2]解析如图,由图像可知m的取值范围是[1,2].题型一求二次函数的解析式典例(1)已知二次函数f(x)=x2-bx+c满足f(0)=3,对任意x∈R,都有f(1+x)=f(1-x)成立,则f(x)的解析式为________________.答案f(x)=x2-2x+3解析由f(0)=3,得c=3,又f(1+x)=f(1-x),∴函数f(x)的图像关于直线x=1对称,∴eq\f(b,2)=1,∴b=2,∴f(x)=x2-2x+3.(2)已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则f(x)=________。答案x2+2x解析设函数的解析式为f(x)=ax(x+2),所以f(x)=ax2+2ax,由eq\f(4a×0-4a2,4a)=-1,得a=1,所以f(x)=x2+2x.思维升华求二次函数解析式的方法跟踪训练(1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R且a≠0),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=________。(2)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)=________.答案(1)x2+2x+1(2)-2x2+4解析(1)设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a,由已知f(x)=ax2+bx+1,∴a=1,故f(x)=x2+2x+1.(2)由f(x)是偶函数知f(x)图像关于y轴对称,∴-a=-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(2a,b))),即b=-2,∴f(x)=-2x2+2a2,又f(x)的值域为(-∞,4],∴2a2=4,故f(x)=-2x2+4。题型二二次函数的图像和性质命题点1二次函数的图像典例(2017·郑州模拟)对数函数y=logax(a>0且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图像可能是()答案A解析当0<a<1时,y=logax为减函数,y=(a-1)x2-x开口向下,其对称轴为x=eq\f(1,2a-1)<0,排除C,D;当a>1时,y=logax为增函数,y=(a-1)x2-x开口向上,其对称轴为x=eq\f(1,2a-1)>0,排除B.故选A。命题点2二次函数的单调性典例函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间[-1,+∞)上是减少的,则实数a的取值范围是()A.[-3,0) B.(-∞,-3]C.[-2,0] D.[-3,0]答案D解析当a=0时,f(x)=-3x+1在[-1,+∞)上递减,满足题意.当a≠0时,f(x)的对称轴为x=eq\f(3-a,2a),由f(x)在[-1,+∞)上是减少的知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,,\f(3-a,2a)≤-1,))解得-3≤a<0。综上,a的取值范围为[-3,0].引申探究若函数f(x)=ax2+(a-3)x+1的递减区间是[-1,+∞),则a=________。答案-3解析由题意知f(x)必为二次函数且a〈0,又eq\f(3-a,2a)=-1,∴a=-3。命题点3二次函数的最值典例已知函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-1,2]上有最大值4,求实数a的值.解f(x)=a(x+1)2+1-a。(1)当a=0时,函数f(x)在区间[-1,2]上的值为常数1,不符合题意,舍去;(2)当a>0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是增函数,最大值为f(2)=8a+1=4,解得a=eq\f(3,8);(3)当a<0时,函数f(x)在区间[-1,2]上是减函数,最大值为f(-1)=1-a=4,解得a=-3。综上可知,a的值为eq\f(3,8)或-3.引申探究将本例改为:求函数f(x)=x2+2ax+1在区间[-1,2]上的最大值.解f(x)=(x+a)2+1-a2,∴f(x)的图像是开口向上的抛物线,对称轴为x=-a.(1)当-a<eq\f(1,2)即a>-eq\f(1,2)时,f(x)max=f(2)=4a+5,(2)当-a≥eq\f(1,2)即a≤-eq\f(1,2)时,f(x)max=f(-1)=2-2a,综上,f(x)max=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a+5,a>-\f(1,2),,2-2a,a≤-\f(1,2).))命题点4二次函数中的恒成立问题典例(1)已知函数f(x)=x2-x+1,在区间[-1,1]上,不等式f(x)〉2x+m恒成立,则实数m的取值范围是________________.答案(-∞,-1)解析f(x)〉2x+m等价于x2-x+1〉2x+m,即x2-3x+1-m〉0,令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)=x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立,只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0即可.∵g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上是减少的,∴g(x)min=g(1)=-m-1。由-m-1〉0,得m<-1.因此满足条件的实数m的取值范围是(-∞,-1).(2)已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,则实数a的取值范围为________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(1,2)))解析2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.当x=0时,-3〈0,成立;当x≠0时,a〈eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)-\f(1,3)))2-eq\f(1,6),因为eq\f(1,x)∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当x=1时,右边取最小值eq\f(1,2),∴a〈eq\f(1,2).综上,实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(1,2)))。思维升华解决二次函数图像与性质问题时要注意(1)抛物线的开口,对称轴位置,定义区间三者相互制约,要注意分类讨论;(2)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上的二次函数最值问题,先“定性"(作草图),再“定量"(看图求解).(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域.跟踪训练(1)设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像可能是()答案D解析由A,C,D知,f(0)=c<0,从而由abc>0,所以ab<0,所以对称轴x=-eq\f(b,2a)>0,知A,C错误,D满足要求;由B知f(0)=c>0,所以ab>0,所以x=-eq\f(b,2a)<0,B错误.(2)已知函数f(x)=x2-2ax+2a+4的定义域为R,值域为[1,+∞),则a的值为________.答案-1或3解析由于函数f(x)的值域为[1,+∞),所以f(x)min=1.又f(x)=(x-a)2-a2+2a+4,当x∈R时,f(x)min=f(a)=-a2+2a+4=1,即a2-2a-3=0,解得a=3或a=-1。(3)设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1〈x<4的一切x值都有f(x)〉0,则实数a的取值范围为________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),+∞))解析由题意得a>eq\f(2,x)-eq\f(2,x2)对1<x<4恒成立,又eq\f(2,x)-eq\f(2,x2)=-2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)-\f(1,2)))2+eq\f(1,2),eq\f(1,4)<eq\f(1,x)<1,∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)-\f(2,x2)))max=eq\f(1,2),∴a>eq\f(1,2).题型三幂函数的图像和性质1.幂函数y=f(x)经过点(3,eq\r(3)),则f(x)是()A.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数B.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数C.奇函数,且在(0,+∞)上是减函数D.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上是增函数答案D解析设幂函数的解析式为y=xα,将(3,eq\r(3))代入解析式得3α=eq\r(3),解得α=eq\f(1,2),∴y=,故选D。2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图像如图所示,则a,b,c,d的大小关系是()A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>bD.a>b>d>c答案B解析由幂函数的图像可知,在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图像越接近x轴,由题图知a>b>c>d,故选B。3.若(2m+1)〉(m2+m-1),则实数m的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,\f(-\r(5)-1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)-1,2),+∞))C.(-1,2) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)-1,2),2))答案D解析因为函数y=的定义域为[0,+∞),且在定义域内为增函数,所以不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m+1≥0,,m2+m-1≥0,,2m+1>m2+m-1.))解2m+1≥0,得m≥-eq\f(1,2);解m2+m-1≥0,得m≤eq\f(-\r(5)-1,2)或m≥eq\f(\r(5)-1,2).解2m+1〉m2+m-1,得-1〈m〈2,综上所述,eq\f(\r(5)-1,2)≤m<2。思维升华(1)幂函数的形式是y=xα(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式.(2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图像越远离x轴.(3)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键.数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用典例(12分)设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数f(x)的最小值.思想方法指导研究二次函数的性质,可以结合图像进行;对于含参数的二次函数问题,要明确参数对图像的影响,进行分类讨论.规范解答解f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,函数图像的对称轴为x=1。[2分]当t+1<1,即t<0时,函数图像如图(1)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为减函数,所以最小值为f(t+1)=t2+1;[5分]当t≤1≤t+1,即0≤t≤1时,函数图像如图(2)所示,在对称轴x=1处取得最小值,最小值为f(1)=1;[8分]当t>1时,函数图像如图(3)所示,函数f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,所以最小值为f(t)=t2-2t+2.[11分]综上可知,f(x)min=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(t2+1,t<0,,1,0≤t≤1,,t2-2t+2,t>1.))[12分]1.幂函数y=x(m∈Z)的图像如图所示,则m的值为()A.0B.1C.2D.3答案C解析∵y=(m∈Z)的图像与坐标轴没有交点,∴m2-4m<0,即0<m〈4。又∵函数的图像关于y轴对称且m∈Z,∴m2-4m为偶数,∴m=2.2.(2018·江西九江七校联考)若幂函数f(x)=(m2-4m+4)·在(0,+∞)上为增函数,则m的值为()A.1或3 B.1C.3 D.2答案B解析由题意得m2-4m+4=1,m2-6m+8>0,解得m=1.3.(2017·汕头一模)若命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题,则实数a的取值范围是()A.a<0或a≥3 B.a≤0或a≥3C.a<0或a>3 D.0<a<3答案A解析若ax2-2ax+3>0恒成立,则a=0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,,Δ=4a2-12a<0,))可得0≤a<3,故当命题“ax2-2ax+3>0恒成立”是假命题时,a<0或a≥3。4.已知二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是()A.[0,+∞) B.(-∞,0]C.[0,4] D.(-∞,0]∪[4,+∞)答案C解析由题意可知函数f(x)的图像开口向下,对称轴为x=2(如图),若f(a)≥f(0),从图像观察可知0≤a≤4.5.已知二次函数f(x)=2ax2-ax+1(a〈0),若x1〈x2,x1+x2=0,则f(x1)与f(x2)的大小关系为()A.f(x1)=f(x2)B.f(x1)〉f(x2)C.f(x1)〈f(x2)D.与a值有关答案C解析该二次函数的图像开口向下,对称轴为直线x=eq\f(1,4),又依题意,得x1〈0,x2>0,又x1+x2=0,∴当x1,x2在对称轴的两侧时,eq\f(1,4)-x1>x2-eq\f(1,4),故f(x1)〈f(x2).当x1,x2都在对称轴的左侧时,由单调性知f(x1)<f(x2).综上,f(x1)〈f(x2).6.若关于x的不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-2) B.(-2,+∞)C.(-6,+∞) D.(-∞,-6)答案A解析不等式x2-4x-2-a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2-4x-2)max,令f(x)=x2-4x-2,x∈(1,4),所以f(x)<f(4)=-2,所以a<-2.7.已知P=,Q=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3,R=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3,则P,Q,R的大小关系是________.(用“〉”连接)答案P>R>Q3,即P>R>Q。8.已知幂函数f(x)=xα,当x>1时,恒有f(x)<x,则α的取值范围是____________.答案(-∞,1)解析当x>1时,恒有f(x)〈x,即当x〉1时,函数f(x)=xα的图像在y=x的图像的下方,作出幂函数f(x)=xα在第一象限的图像(图略),由图像可知α〈1时满足题意.9.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(25,4),-4)),则m的取值范围是____________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2),3))解析二次函数图像的对称轴为x=eq\f(3,2)且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))=-eq\f(25,4),f(3)=f(0)=-4,作出函数y=x2-3x-4的图像如图所示,由图像得m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2),3))。10.若f(x)=-x2+2ax与g(x)=eq\f(a,x+1)在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是________.答案(0,1]解析由f(x)=-x2+2ax在[1,2]上是减函数可得[1,2]⊆[a,+∞),∴a≤1.∵y=eq\f(1,x+1)在(-1,+∞)上为减函数,∴由g(x)=eq\f(a,x+1)在[1,2]上是减函数可得a〉0,故0〈a≤1.11.已知y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=(x-1)2,若当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-2,-\f(1,2)))时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值为________.答案1解析∵f(x)为偶函数,∴当x〈0时,-x>0,f(x)=f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2,当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-2,-\f(1,2)))时,f(x)max=1,f(x)min=0,∴0≤f(x)≤1,∴m≥1,n≤0,∴(m-n)min=1。12.已知函数f(x)=x2+(2a-1)x-3。(1)当a=2,x∈[-2,3]时,求函数f(x)的值域;(2)若函数f(x)在[-1,3]上的最大值为1,求实数a的值.解(1)当a=2时,f(x)=x2+3x-3,x∈[-2,3],对称轴x=-eq\f(3,2)∈[-2,3],∴f(x)min=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2)))=eq\f(9,4)-eq\f(9,2)-3=-eq\f(21,4),f(x)max=f(3)=15,∴函数f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(21,4),15)).(2)对称轴为x=-eq\f(2a-1,2).①当-eq\f(2a-1,2)≤1,即a≥-eq\f(1,2)时,f(x)max=f(3)=6a+3,∴6a+3=1,即a=-eq\f(1,3)满足题意;②当-eq\f(2a-1,2)>1,即a<-eq\f(1,2)时,f(x)max=f(-1)=-2a-1,∴-2a-1=1,即a=-1满足题意.综上可知,a=-eq\f(1,3)或-1.13.已知在(-∞,1]上递减的函数f(x)=x2-2tx+1,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围为()A.[-eq\r(2),eq\r(2)] B.[1,eq\r(2)]C.[2,3] D.[1,2]答案B解析由于函数f(x)=x2-2tx+1的图像的对称轴为x=t,函数f(x)=x2-2tx+1在区间(-∞,1]上是减少的,∴t≥1.∴当x∈[0,t+1]时,f(x)max=f(0)=1,f(x)min=f(t)=t2-2t2+1=-t2+1,要使对任意的x1,x2∈[0,t+1],都有|f(x1)-f(x2)|≤2,只需1-(-t2+1)≤2,解得-eq\r(2)≤t≤eq\r(2)。又t≥1,∴1≤t≤eq\r(2).故选B.14.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4〈0恒成立,则m的取值范围是________.答案(-∞,-5]解析方法一∵不等式x2+mx+4<0对x∈(1,2)恒成立,∴mx<-x2-4对x∈(1,2)恒成立,即m〈-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(4,x)))对x∈(1,2)恒成立,令y=x+eq\f(4,x),则函数y=x+eq\f(4,x)在x∈(1,2)上是减函数.∴4〈y〈5,∴-5<-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(4,x)))〈-4,∴m≤-5。方法二设f(x)=x2+mx+4,当x∈(1,2)时,由f(x)<0恒成立,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1≤0,,f2≤0,))解得eq
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