第十课-专题（二）构造全等三角形常见辅助线的添法 【高效备课精研+知识精讲提升】人教版八年级数学上册

1人教版八年级数学上册12.2

全等三角形的判定

复习小专题（二）构造全等三角形常见辅助线的添法知识点一：利用“连接公共边”构造全等三角形3典例分析例1：如图，四边形ABCD中，AB//CD，AD//BC,

求证：DC=AB，AD=BC.ABCD如图，在四边形ABCD中，CB⊥AB于点B，CD⊥AD于点D，点E、F分别在AB，AD上，求证：CD=CB.大显身手【知识点

截长补短模型】【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系.截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程知识点二：利用“截长补短法”构造全等三角形小明遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；小明通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法一：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题．思路：做辅助线（AE=AB）△ABD≌△AED（SAS）∠B=∠AEDBD=ED∠AED=2∠C∠B＝2∠C∠EDC=∠CEC=EDBD=EDAC＝AB+BD方法二：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决问题．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD；“补短法”做辅助线（BE＝BD）思路：∠E=∠BDE∠E=∠C△AED≌△ACD（AAS）AC=AEAC＝AB+BDBE＝BD∠ABC＝2∠C81.如图，在△ABC中,∠B=2∠C，AD是BC边上的高.

求证:

CD=AB+BD.

ABCD∟E大显身手92.如图，AD为△ABC的角平分线，AB>AC，求证:

AB﹣AC

>BD﹣DC.ABCDE大显身手做辅助线（AE＝AC）思路：AB－AC=BEBE>BD﹣ED△AED≌△ACD（SAS）ED=CDBD﹣DC=BD﹣EDAB﹣AC

>BD﹣DC103.如图，已知AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，求证：AB=AC+BD．ABCED温馨提示:从结论出发,把较长的线段AB截成与AC,BD分别相等的两条线段,或延长较短的线段AC,使延长后的线段的长等于线段AB的长,再利用三角形全等即可证明.大显身手611方法一：“截长法”构造全等三角形ABCEDF解：如图,在线段AB上截取AF=AC，连接EF1234∵AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA∴∠1=∠2,∠3=∠4.在△ACE和△AFE中,AC=AF∠1=∠2AE=AE∴△ACE≌△AFE(SAS),5∴∠5=∠C.∵AC∥BD,∴∠C+∠D=180°又∵∠5+∠6=180°,∴∠6=∠D在△EFB和△EDB中,12方法二：“补短法”构造全等三角形ABCED解：如图,延长AC至点F，使AF=AB,连接EF.F∵AE,BE分别平分∠CAB和∠DBA,∴∠1=∠2,∠3=∠4.1234在△AEF和△AEB中,AF=AB∠1=∠2AE=AE∴△AEF≌△AEB(SAS),∴∠F=∠3，EF=EB.∵∠3=∠4,∴∠F=∠4.∵AC∥BD,∴∠FCE=∠D.在△EFC和△EBD中,13归纳总结

一、“截长补短法”构造全等三角形解决问题截长法：即在长线段上截取一段,使其等于其中一短线段,然后证明剩下的线段等于另一短线段;补短法：即延长短线段,使其延长部分等于另一短线段,再证明延长后的线段等于长线段,或者延长短线段,使其等于长线段,然后证明延长的部分等于另一条短线段.14归纳总结二、

不管是截长法还是补短法,往往都需要连接其他线段，构造全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题.知识点三：利用“倍长中线法”构造全等三角形【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出“8字”全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．【常见模型】例1如图，BD是△ABC的中线，AB＝6，BC＝4，求中线BD的取值范围．典例分析E做辅助线（DE＝BD）思路：△ABD≌△CED（SAS）AB=CE在△BCE中，三边关系CE－BC<BE<CE+BC17典例分析温馨提示：通过添加辅助线,构造全等三角形,将AD，

AB

，AC转化到同一个三角形中来求解.例2：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线,求证：AD<(AB+AC)

ABCDE证明:延长AD至点E,使得DE=AD,连接BE.∵AD是BC边上的中线，∴点D为BC的中点，∴BD=CD.BD=CD

，∠1=∠2，DE=DA，

∴∆BDE

≌∆CDA（SAS），

∴BE=AC，

在∆ABE中，AE＜AB+BE.在∆BDE和∆CDA中,

∴2AD＜AB+AC，即：AD<

(AB+AC)

18大显身手1.如图,在△ABC中,D是BC边的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.求证:

BE+CF>EFABCEDF∟G温馨提示：延长ED至点G,使DC=DE连接CG，FC.19归纳总结“倍长中线法"构造全等三角形解决问题(1)“倍长中线法”就是将三角形的中线延长一倍,构造出“8字”全等三角形,从而用全等三角形的有关知识来解决问题的方法；(2)利用“倍长中线法”的证明过程:延长已知中线到某点,使新线段(延长的那部分线段)的长度等于已知中线的长度,再利用SAS证两三角形全等(隐含条件是对顶角相等).20课堂小结全等三角形常添加的辅助线“连接公共边”构造全等三角形“截长补短法”构造全等三角形“倍长中线法”构造全等三角形“作垂线”构造全等三角形21典例分析知识点四：利用“作平行线”构造全等三角形例4：如图，D是△ABC的边BA延长线上点,且AD=AB,E是边AC上一点,且DE=BC.求证:∠DEA=∠C.

ABCDEF已知中点添平行,构造全等三角形.22典例分析知识点五：利用“作垂线”构造全等三角形例5：如图，∠B=∠C=90°,M是BC的中点，DM平分∠ADC.求证:AM平分∠DAB.

ABCMD∟过点M作MN⊥AD,构造全等三角形.N23归纳总结为了完成问题的解答，需在图形中添加一些线,称为辅助线.如延长、连接、作平行、作垂直、截取等辅助线的添加有利于使题目中的条件集中，能较容易找到一些量之间的关系，使问题轻松地得到解决.知识点四：利用“作平行线”构造全等三角形24思维导图全等三角形常添加的辅助线“连接公共边”构造全等三角形“截长补短法”构造全等三角形“倍长中线法”构造全等三角形“作平行线”构造全等三角形“作垂线”构造全等三角