微分与积分中值定理及其应用

与积中值定理及其应用wword下载即可编辑！！00做与积中值定理及其应用1微积分中值定0微分中值定0微分中值定推1罗尔定推广 1朗格朗日中值定推2柯西中值定推21.2积分中值定3积分中值定推33微积分中值定应3进行估值运算 7证明函数单调8求极限 9证明不等式 9推广定应11引言Rolle定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理统称为微分中值定理。微分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。1 微积分中值定理微分中值定理罗尔(Rolle)定理:若函数 f满足如下条件(ⅰf在闭区间[a,b]上连续；(ⅱf在开区间（a,b）内可导；(ⅲ)

f(a)

f(b),则在（a,b）内至少存在一点，使得)0．朗格朗日(Lagrange)中值定理:设函数 f满足如下条件：(ⅰf在闭区间[a,b]上连续；(ⅱf在开区间上可导；则在（a,b）内至少存在一点，使得)

fb)b

f(a)．aPAGE10PAGE10做柯西理:设函数 f和g满足(ⅰ)在[a,b]上都连续；(ⅱ)在（a,b）内都可导；(ⅲ)

f(x和

g(x(ⅳ)g(x)

g(b)，则存在ab

f()

f(b)

f(a)．g() g(b)g(a)微分中值定推广罗尔定推广定理1:设函数 f(x)在（a,b）内可导，且有mxa

f(x)

f(a0)

f(b0)

mxb

f(x)

A或(a,b)，使得f()0．证明：首先对A为有限值进行论证：f(x),x(a,b)Fxa或xb则易知函数f(x在[a,b]上连续，在内可导且F(aF(b．由Rolle定理可知，在(a,b)内至少存在一点F0，而在(a,bF(x)f0．其次对A=（）进行论证：

f(x)，所以由引理1，

f(x在（a,b）内能取得最小值（最大值）．不妨：

f(x)在(a,b)处取得最小值（最大值）．此时函数

f(x)在(a,b)处也就取得极小值（极大值）．又因为

f(x在abFermat引理，可得

f)0．综上所述，从而定理得证．定理2:设函数

f()在(amxa

f(x)

mx

f(x（)中存在一点，使得f()0．定理3:设函数

f(x在（，b)

mx

f(x)

mxb

f(x，证明：在（,b)中存在一点，使得f()0．4设函数

f在（

),内可导，且

f

f，证明：在（ ,)中存在一点 ，使得 f)0．朗格朗日中值定推广定5:如果函数 f()满足条件：在开区间（a,）上可导且a

f

f(a0)

f(a),b

f

f(b0)存在，则在（ ）内至少存在一点 ，使得 f)

f(b)

f(a)．ba柯西中值定推广定理6:如果函数 f()和 F(满足条件：①都在有限区间(a,b)内可导；②

fm,

f

,

F(x)m,limF(x)M;a

1b

1a

2b 2③ (a有F则在(a,b)内至少有一点 ，使得f')F')

M M 112 211证明：作辅助函数 并且令

f(m1M1

(ab)时xa时，xb时，

Fm2M2

(ab)时xa时，xb时，则 在闭区间[a,b]上连续，开区间(a,b)内可导,且对 (a,b),B'0,由 中值定理可知，至少有一点 (a,b)使得A')B')

A(a)B(b)B(a)又当 (a,b)时,fFA')∴B')

f')F')

A(a)B(b)B(a)

M M 112 211f')即： F')

M mM m112 2111.2 积分中值定理积分中值定理:若 f(x)在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点使得bfxdxa

fa

b.积分中值定推广推广的积分第一中值定理:若 fgx在闭区间上连续,且

gx在a,b上不变号,则在a,b至少存在一点,使得bfxgxdxa

fbgxd,aa

b.第一型曲线积分中值定理:若函数 f(x,y)在光滑有界闭曲线C上连续，则在曲线C上(,S曲线CC

f(x,y)ds

f(,)S。第积分中值定理 :若函数 f(x,y)在有光滑闭曲线C上连续，则在曲线C上至少存在一点(,)，使

f(x,y)ds

f(,)II光滑曲线C

Cx上，号 曲线C第积分中值定理 :若D为上有界闭区，

zz(xy光滑曲面S，函数

f(x,y,z)在S上连续，则曲面S上至少存在一点 (,,)，使得f(x,y,z)d

f(,,)ASA曲S第积分中值定理 :若有光滑曲面S：z

z(x,y)

(x,y)D ，其中D 是有xy xy界闭区域，函数f(x,y,z)在S上连续，则在曲面S上至少存在一点(,,)，使得中A是S影D Sxy

f(x,y,面积。

f(,,)A微积分中值定应用证明方程根（零点）的存在性例1：设函数 f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在（a,b）上可导，则在（a,b）内存在一点(a,b)，使得

f(a)g(a)

f(b)g(b)

(ba)f(a)g(a)

f)g)．F(x)

f(a)g(x)

f(x)g(a)，则F(x)

f(a)g(x)

f(x)g(a)，又有F(b)

f(a)g(b)

f(b)g(a)

F(a)

f(a)g(a)

f(a)g(a0F(x上连续，在（a,b）上可导，故运用 Lagrange中值定理可得，存在一点(a,b)，使得F(b)F(a)

F(b)(ba)[f(a)g)

f)g(a)]，f(a)g(b)

f(b)g(a)(ba)[f(a)g)

f)g(a所以（a,b）一点(ab使

f(a)g(a)

f(b)g(b)

(ba)

f(a)g(a)

f)g)

，故定理得证．:f()g()在闭区间]上连续，在（）上可导，且在闭区间1上， g(x)

有意义，

g(x0则（a,b）一点(ab使得g)

f(a)g(a)

f(b)g(b)

[g(b)g(a)]f)g()

f)g)．证明：令F(x)

f(x)g(x)

G(x)

1g(x)

F(x和G(x[a,b]Cauchy中值定理条件，故有，F(b)F(a)

F,

f(b)g(a)f(a)g(b)

f)g()f)g

，所以在（a,b）G(b)G(a)

G()

g(a)g(b)

g)内一点(ab使得

g)

f(a)g(a)

f(b)g(b)

[g(b)g(a)]f)g()

f)g)

，故定理得证．1：设abc为三个实数ex

ax2bxc的根不超过三个.F(xax2bxcex，Fx2axbex，

F"(x)2aex，

F"'(x)

ex.用反证法，设原方程的根超过程3，那么F(x4，不妨设为xx1 2

x x ，3 4那么有罗尔x1

x 1 2

x 3

x,使4F')1

F')2

F')0，3再罗尔1

1 2

F"(3 1

F"(2

)0,再用罗尔定理，存在 1

F"'(0,2F"'(x

ex,所以F"'()e

0,矛盾，所以命题得证.例 2：设函数

fxb

fx0。证：一个a,b，使fxxbfxx1bf

xdx。a 2 aFx

ftt

fdt，Fx在b上连续。a xFa

fttb

a

0

fx0a aFb

ftt

f

a

0a bFxb满足零值定理。故一个a,b，F0。即a

ftt

ftdt0aa

fxfx

b

fxfxdx

ba

xdxa

2

fxdx n1 a例 3：设实

a,a,

a满足关系式：a

2 1

n 0。1 2

1 3 2n1明

ax

1x0在 1 2

n 2a 证：令f x ax

23x n 2n1x

1x在

3 2n10上连续，在

内可导，2

2 a af00

f a 2 n

n 0，2

1 3 2n1于是，f'0， 2 1 n：axax a11 n

0命题得证。例 4：设 fx在a,b上连续。ax x x b，c0 i,2 ,n。1 2 n i

cfx cfx 证： 个

a,b，使f

1 1 n ncc c1 2 n证： fx在b上连续，： m

xM，mM

fx在a,b上最小最大值，于是：PAGE6PAGE6 wdc0，mf x Mcmcf x cM1 1 1 1 1 1c 0，mfxMc cfx2 2 2 2 2 2c 0，mfxMcfxn n n n n nmc ccfxcfx cf

cc

cM1 2

1 1 2

n n 1 2 ncfxcfx

cfxm

1 1 2

n n Mcc c1 2

c

x

cfx由介值定理， 一个

a,

，使 f

1 1 n ncc c例 5：若

f(x

[ab上连续，在

(ab内可导

1 2 n(a0)，证明在 (a,b)内方程2x[f(b)f(a)](b2a2)f'(x)至少存在一根。证明F(xf(bf(a)]x2(b2a2f(x，F(x

[ab上连续,在

(ab内可导，F(a)f(b)a2b2f(a)F(b).根定理,至少存在一点，使2[f(b

f(a)](b2a2)f'(x).例 6：一点，

f(x在

[a,b]续，在(a,b)导(0ab)，证明：在[a,b]内存在 使bf(b)af(a)(ba)[f()f'()]成立。证明:

F(x)

(x则F(x在

[ab，在(ab导，由 Lagrange定理，存在一a,b，使Fbf(b)af(a)

FbFa，baf((x)

ba ，即bf(b)af(a)(ba)[f()f'()]例 7：设fx在[a,b]续，在(a,b)导(0ab)，证明:在b

[a,b]内存在一点，使 f(b)f(a)

)f'()成立。a证明：g(x

x

f(x)，

g(x

[ab定理，f'()得

f(b)

f(a)，1

blnawword下载即可编辑！！f'()即

f(b)

f(a)，g'()即 f(b)

g(b)g(a)f(a)a

)f'().例 8：证明方程

4ax3

2cxabc

在（0，1）内至少有一个根 。（）例 9:

yx2C

xf[a,b]上二阶可导，f(a)=f(b)=0, 并且曲线y=f(x) 与

yx2C

在(a,b)内有一个交点，证明： 存

(a,b)在

f)2

使得 （p46,20）例 10证明：

2xx21

方程有且仅有三个实根（p46,211）3.2 进行估值运算例 1：估计103

x191

dx的值.解：由推广的积分第一中值定理,得31x631x60

1 31316

dx

1 其中

0,1203203160所以323132316

1

1,即2032203203220316

1 1，20故20321 203203

x19 1x6

1.20例 2：估计2x x0 1

的积分解：由于

1

1 ，11x即

12 1

2。3 1x于是2x

4估计的积分

3 0 1x2x x

8

(

。0 1x 3 333 证明函数单调性例 1；设函

f(x在[0,上可导，

f(xf(0)

0证明g(x

f(x)在x(0,)上单调增加.例 2：设函数

f(x在

(0,)上连续，

F(x)x(0

2t)f(t)dt,试证：在 (0,),若f(x)为非减函数 ，则F(x)为非增函数 .证明

F(x)x(2t)f(t)dt

x

f(t)dt2xtf(t)dt0 0 0对上式求导，得：F(x)0

ft)dtxf(x)2xf(x)0

f(t)dtxf(x)利用积分中值定理，得：F(x)xf)xf(x)x[f()

f(x)],(0

x)f(x

f()

f(x)0，Fx0，故F(x3.4 例 1：求

tan(tanx)tan(sinx)。x0

tanxsinx[sinx,tanx](0x)

t 数在上应用拉格朗日中值定理即可。例 2：求

n

n2(1 an

1an1

a0。解：根据题意，由Lagrangge定理，有n

n2(1an

1 )an1n

n2(ax)'|x

1n

1 )n1

n2alnan

n(n1)lna

(

1n1

,1)n例 3：求

m1 xnn

01x2解：利用广义积分中值定理m

xn dx

1

xndxn

01x

11

0xn1 112

[ ]11n

(12

,(0

1)则m

xn

lim 1 0n

01x2

n(12n).5 证明不等式例 1：求1

12032x2032

10

x191x1

dx 1.201 1 131x31x60

dx

x19dx .313162031632316其中于是由1 1 32316例 2：证明

213 0

dx 1 .222证明：估计连续函数的222a

f

f在值M和m,则因为

mbaa

fxdxMba.2222294122 2

01 ,所以2223 0

dx 1 .例 3：证明

1 1

9 1 .210 20 1x 10210 2证明：估计积分a

ff在值M值m,0,则本题中令

mbgdbfgda a

Mbgd.a1xf1x

,

9

01.因为21x1 1 21x

01所以10 221 10 22

191

9

91 .4例 4：证明2e4

02e2d2e2.0

0 1x 0 10证明：在区间02上求函数 fe2x的最大值M和最小值m.f

1

2x,令

f

,得驻点x1 .ex2wordword下载即可编辑！！1

1

比较 f ,

0f 2

f e4

f x在 2上的最小值,

f 2 e2为 f x2 2在2上的最大值.由积分中值定理得1 2 e420ex2xdxe220,0即43.6 推广定应4

2e1

2ex2xdx2e2.0例 1：设

f(x

(,0

f(x)

x1x2

0，使得f

12 。 1 问题相当于要找0

fx

1x

0因函数F(x

f(x)

1x1x2在 1x2(,内导故0

m

0

f(x)

m x 0，即

m

f(x)0x

x1x2

x0

m

0

f(x)

m

x，即

f(x)0

xf(x)

m

x1x2f(x)0

xx由定理 4．

x0，使得

F(0，即得证。．例2：设

f(x

b0，在（b上可，证明在一点(a,b)，1b1ba使得 f(a)

bf(b)

()

f()．证：定理7，g()x，g()1，在一点(a,b)，使得f(a)a

f(b)b

(ba)

f()

f()1

f(a)，即a

f(b)b

ba)[f)f)]，故存在一点(a,b)，使得

a1b1ba

bf(b)

()

f()．wword下载即可编辑！！例5： 设0，证明存在一点 (a,b)，使得 ebea