山西省大同一中等重点中学2025年高三测试（四）数学试题

山西省大同一中等重点中学2025年高三测试（四）数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，集合，则=（）A． B． C． D．R2．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.若，的面积为，则（）A．5 B． C．4 D．163．设等差数列的前项和为，若，则（）A．10 B．9 C．8 D．74．将函数图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于直线对称，则函数在上的值域是（）A． B． C． D．5．过抛物线的焦点且与的对称轴垂直的直线与交于，两点，，为的准线上的一点，则的面积为（）A．1 B．2 C．4 D．86．若，则的值为（）A． B． C． D．7．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：）A．1624 B．1024 C．1198 D．15608．已知向量，，且与的夹角为，则（）A． B．1 C．或1 D．或99．已知全集U=x|x2≤4,x∈Z，A．-1 B．-1,0 C．-2,-1,0 D．-2,-1,0,1,210．已知函数在上都存在导函数，对于任意的实数都有，当时，，若，则实数的取值范围是()A． B． C． D．11．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（）cm3A． B． C． D．12．若复数满足，复数的共轭复数是，则（）A．1 B．0 C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．函数的定义域为，其图象如图所示．函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，．给出下列三个结论：①；②函数在内有且仅有个零点；③不等式的解集为．其中，正确结论的序号是________．14．已知函数，若，则实数的取值范围为__________．15．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是，，，，则该四面体的外接球的体积为__________．16．已知复数满足（为虚数单位），则复数的实部为____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知．（1）已知关于的不等式有实数解，求的取值范围；（2）求不等式的解集．18．（12分）某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质，健全促进全民健身制度性举措”，提高广大市民对全民健身运动的参与程度，推出了健身促销活动，收费标准如下：健身时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为20元（不足l小时的部分按1小时计算）.现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身，设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为，，健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为，，且两人健身时间都不会超过3小时.（1）设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量（单位：元），求的分布列与数学期望；（2）此促销活动推出后，健身馆预计每天约有300人来参与健身活动，以这两人健身费用之和的数学期望为依据，预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.19．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.（1）求和的普通方程；（2）过坐标原点作直线交曲线于点（异于），交曲线于点，求的最小值.20．（12分）如图，在四边形中，，，.（1）求的长；（2）若的面积为6，求的值.21．（12分）已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求的值.22．（10分）对于很多人来说，提前消费的认识首先是源于信用卡，在那个工资不高的年代，信用卡绝对是神器，稍微大件的东西都是可以选择用信用卡来买，甚至于分期买，然后慢慢还！现在银行贷款也是很风靡的，从房贷到车贷到一般的现金贷．信用卡“忽如一夜春风来”，遍布了各大小城市的大街小巷．为了解信用卡在市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了100人进行抽样分析，得到如下列联表（单位：人）经常使用信用卡偶尔或不用信用卡合计40岁及以下15355040岁以上203050合计3565100（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为市使用信用卡情况与年龄有关？（2）①现从所抽取的40岁及以下的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后，再从这10人中随机选出4人赠送积分，求选出的4人中至少有3人偶尔或不用信用卡的概率；②将频率视为概率，从市所有参与调查的40岁以上的网民中随机抽取3人赠送礼品，记其中经常使用信用卡的人数为，求随机变量的分布列、数学期望和方差．参考公式：，其中．参考数据：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】试题分析：由题，，，选D考点：集合的运算2、C【解析】

根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得,再根据面积公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【详解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故选：C【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.3、B【解析】

根据题意，解得，，得到答案.【详解】，解得，，故.故选：.【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.4、D【解析】

由题意利用函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，求得结果.【详解】解：把函数图象向右平移个单位长度后，可得的图象；再根据得到函数的图象关于直线对称，，，，函数.在上，，，故，即的值域是，故选：D.【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，余弦函数的值域，属于中档题．5、C【解析】

设抛物线的解析式，得焦点为，对称轴为轴，准线为，这样可设点坐标为，代入抛物线方程可求得，而到直线的距离为，从而可求得三角形面积．【详解】设抛物线的解析式，则焦点为，对称轴为轴，准线为，∵直线经过抛物线的焦点，，是与的交点，又轴，∴可设点坐标为，代入，解得，又∵点在准线上，设过点的的垂线与交于点，，∴.故应选C.【点睛】本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出点坐标，从而求得参数的值．本题难度一般．6、C【解析】

根据，再根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】因为，所以二项式的展开式的通项公式为：，令，所以，因此有.故选：C【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力7、B【解析】

根据高阶等差数列的定义，求得等差数列的通项公式和前项和，利用累加法求得数列的通项公式，进而求得.【详解】依题意：1，4，8，14，23，36，54，……两两作差得：3，4，6，9，13，18，……两两作差得：1，2，3，4，5，……设该数列为，令，设的前项和为，又令，设的前项和为.易，，进而得，所以，则，所以，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.8、C【解析】

由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求的值.【详解】解：由题意可得，求得，或，故选：C.【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题．9、C【解析】

先求出集合U，再根据补集的定义求出结果即可．【详解】由题意得U=x|∵A=1,2∴CU故选C．【点睛】本题考查集合补集的运算，求解的关键是正确求出集合U和熟悉补集的定义，属于简单题．10、B【解析】

先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果.【详解】令，则当时，，又，所以为偶函数，从而等价于，因此选B.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.11、D【解析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积为：V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+•π•12×1=（6+1.5π）cm1．故答案为6+1.5π．点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．12、C【解析】

根据复数代数形式的运算法则求出，再根据共轭复数的概念求解即可．【详解】解：∵，∴，则，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则，考查共轭复数的概念，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①③【解析】

利用奇函数和，得出函数的周期为，由图可直接判断①；利用赋值法求得，结合，进而可判断函数在内的零点个数，可判断②的正误；采用换元法，结合图象即可得解，可判断③的正误.综合可得出结论.【详解】因为函数是奇函数，所以，又，所以，即，所以，函数的周期为.对于①，由于函数是上的奇函数，所以，，故①正确；对于②，，令，可得，得，所以，函数在区间上的零点为和.因为函数的周期为，所以函数在内有个零点，分别是、、、、，故②错误；对于③，令，则需求的解集，由图象可知，，所以，故③正确.故答案为：①③.【点睛】本题考查函数的图象与性质，涉及奇偶性、周期性和零点等知识点，考查学生分析问题的能力和数形结合能力，属于中等题．14、【解析】

画图分析可得函数是偶函数，且在上单调递减，利用偶函数性质和单调性可解.【详解】作出函数的图如下所示，观察可知，函数为偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，故，故实数的取值范围为.故答案为：【点睛】本题考查利用函数奇偶性及单调性解不等式.函数奇偶性的常用结论：(1)如果函数是偶函数，那么．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．15、【解析】

将四面体补充为长宽高分别为的长方体，体对角线即为外接球的直径，从而得解.【详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体的长宽高分别为，长方体的外接球即为该四面体的外接球，外接球的直径即为长方体的体对角线，所以球半径为，体积为.【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.16、【解析】

利用复数的概念与复数的除法运算计算即可得到答案.【详解】，所以复数的实部为2.故答案为：2【点睛】本题考查复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）依据能成立问题知，，然后利用绝对值三角不等式求出的最小值，即求得的取值范围；（2）按照零点分段法解含有两个绝对值的不等式即可。【详解】因为不等式有实数解，所以因为，所以故。①当时，，所以，故②当时，，所以，故③当时，，所以，故综上，原不等式的解集为。【点睛】本题主要考查不等式有解问题的解法以及含有两个绝对值的不等式问题的解法，意在考查零点分段法、绝对值三角不等式和转化思想、分类讨论思想的应用。18、（1）见解析，40元（2）6000元【解析】

（1）甲、乙两人所付的健身费用都是0元、20元、40元三种情况，因此甲、乙两人所付的健身费用之和共有9种情况，分情况计算即可（2）根据（1）结果求均值.【详解】解：（1）由题设知可能取值为0，20，40，60，80，则；；；；.故的分布列为：020406080所以数学期望（元）（2）此次促销活动后健身馆每天的营业额预计为：（元）【点睛】考查离散型随机变量的分布列及其期望的求法，中档题.19、（1）曲线的普通方程为：；曲线的普通方程为：（2）【解析】

（1）消去曲线参数方程中的参数，求得和的普通方程.（2）设出过原点的直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，求得的表达式，结合三角函数值域的求法，求得的最小值.【详解】（1）曲线的普通方程为：；曲线的普通方程为：.（2）设过原点的直线的极坐标方程为；由得，所以曲线的极坐标方程为在曲线中，.由得曲线的极坐标方程为，所以而到直线与曲线的交点的距离为，因此，即的最小值为.【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题.20、(1)(2)【解析】

（1）利用余弦定理可得的长；（2）利用面积得出，结合正弦定理可得.【详解】解：（1）由题可知.在中，，所以.（2），则.又，所以.【点睛】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知角较多时一般选用正弦定理，已知边较多时一般选用余弦