等差数列前项和性质及应用

关于等差数列前项和性质及应用第一页，共三十六页，编辑于2023年，星期三等差数列的前n项和公式:形式1:形式2:复习回顾第二页，共三十六页，编辑于2023年，星期三.将等差数列前n项和公式

看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？当d≠0时,Sn是常数项为零的二次函数则Sn=An2+Bn令第三页，共三十六页，编辑于2023年，星期三若C≠0，则数列{an}不是等差数列。若C=0，则{an}为等差数列；结论1：设数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn+C，第四页，共三十六页，编辑于2023年，星期三结论2：等差数列前n项和不一定是关于n的二次函数：（1）当d≠0是，sn是项数n的二次函数，且不含常数项；（2）当d=0是，sn=na1,不是项数n的二次函数。

反之，关于n的二次函数也不一定是某等差数列的和。若C≠0，则数列{an}不是等差数列。若C=0，则{an}为等差数列；Sn=An2+Bn+C，第五页，共三十六页，编辑于2023年，星期三求等差数列前n项的最大(小)的方法方法1:由利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.方法2:利用an的符号①当a1>0,d<0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an≥0且an+1≤0求得.②当a1<0,d>0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an≤0且an+1≥

0求得.第六页，共三十六页，编辑于2023年，星期三1.等差数列{an}前n项和的性质性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也成等差数列,公差为在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p=性质3:若Sm=Sp(m≠p),则Sp+m=n2d0-(m+p)新课讲授第七页，共三十六页，编辑于2023年，星期三性质5、等差数列{an}的前n项和为Sn,则(n为奇数)(n为偶数)性质4:为等差数列.新课讲授第八页，共三十六页，编辑于2023年，星期三性质6、若等差数列{an}共有2n-1项，

若等差数列{an}共有2n项，则

如{an}为等差数列，项数为奇数，奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数。S偶-S奇=nd,新课讲授第九页，共三十六页，编辑于2023年，星期三2.两等差数列前n项和与通项的关系性质7:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且前n项的和分别为Sn和Tn,则新课讲授第十页，共三十六页，编辑于2023年，星期三例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27例2.在等差数列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90BA3.等差数列{an}前n项和的性质的应用第十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期三例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为

.－110例4.两等差数列{an}、{bn}的前n项和分别是Sn和Tn,且求和.等差数列{an}前n项和的性质的应用第十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期三例5.(09宁夏)等差数列{an}的前n项的和为Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,则m=.例6.设数列{an}的通项公式为an=2n-7,则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=

.10153等差数列{an}前n项和的性质的应用第十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期三

例7、一个等差数列的前12项的和为354,前12项中,偶数项和与奇数项和之比为32:27,求公差d解：由题意，列方程组得：S奇=162，S偶=192S偶-S奇=6d=30∴d=5等差数列{an}前n项和的性质第十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期三例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范围;(2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d>013a1+13×6d<0等差数列{an}前n项和的性质第十五页，共三十六页，编辑于2023年，星期三(2)∵∴Sn图象的对称轴为由(1)知由上得即由于n为正整数,所以当n=6时Sn有最大值.∴Sn有最大值.第十六页，共三十六页，编辑于2023年，星期三练习1已知等差数列25,21,17,…的前n项和为Sn,求使得Sn最大的序号n的值.练习2:求集合的元素个数，并求这些元素的和.第十七页，共三十六页，编辑于2023年，星期三练习3：已知在等差数列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn为其前n项和.（1）问该数列从第几项开始为负？（2）求S10（3）求使Sn<0的最小的正整数n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值第十八页，共三十六页，编辑于2023年，星期三随堂练习1、在等差数列{an}中,已知S15=90,那么a8等于

A、3B、4C、6D、122、等差数列{an}的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为

A、130B、170C、210D，2603、设数列{an}是等差数列，且a2=-6,a8=6,Sn是数列{an}的前n项和，则

A、S4<S5B、S4=S5C、S6<S5D、S6=S5CCB第十九页，共三十六页，编辑于2023年，星期三4、设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是

A、1B，2C、4D、65、数列{an}中，an=26-2n,当前n项和Sn最大时，n=___________6、在等差数列{an}中,已知前4项和是1，前8项和是4，则a17+a18+a19+a20等于______7、已知在等差数列{an}中，a1<0,S25=S45,若Sn最小，则n为

A、25B、35C、36D、45B12或139B第二十页，共三十六页，编辑于2023年，星期三8、在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于

A、9B、10C、11D、129、等差数列{an}中，a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前20项和等于

A、160B、180C、200D、22010、在小于100的正整数中，能被3除余2的这些数的和是_______BB1560第二十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期三11、等差数列{an}中，首项a1>0,公差d<0,Sn为其前n项和，则点(n,Sn)可能在下列哪条曲线上。OYXAOYXBOYXOYXCDC第二十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期三习题课

例1、已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S5=5,S10=20，求S15.解：∵S5，S10-S5，S15-S10成等差数列∴2(S10-S5)=S5+S15-S10,即30=5+S15-20S15=45第二十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期三

例2、设等差数列的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.求:1)公差d的取值范围2)指出S1,S2,…Sn,…中哪一个值最大，并说明理由。解1)：由题意2)由于a7<0,a6>0,所以S6最大。监测：P25B-5测评：P24-13，P26-17,P27-4,5,6,7第二十四页，共三十六页，编辑于2023年，星期三第二十五页，共三十六页，编辑于2023年，星期三思考：还有没有其它方法？第二十六页，共三十六页，编辑于2023年，星期三第二十七页，共三十六页，编辑于2023年，星期三第二十八页，共三十六页，编辑于2023年，星期三第二十九页，共三十六页，编辑于2023年，星期三监测：P25-B-4第三十页，共三十六页，编辑于2023年，星期三第三十一页，共三十六页，编辑于2023年，星期三第三十二页，共三十六页，编辑于2023年，星期三课堂小结1.根据等差数列前n项和，求通项公式.2、结合二次函数图象和性质求的最值.第三十三页，共三十六页，编辑于2023年，星期三3、设等差数列{an}的前ｎ项和为Sn，已知a3=12,S12>0,S13<0。(1)求公差d的取值范围;(2)指出S1,S2,…,S12中哪个值最大，作业：1:等差数列{an}的前ｎ项和Sn满足S5=95,S8=200,求Sn。2:若数列{an}的前ｎ项和Sn满足Sn=an2+bn,试判