材料力学教案第3章扭转

第三章扭转3.1扭转的观点和实例3.2外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图3.3纯剪切3.4圆轴扭转时的应力3.5圆轴扭转时的变形3.6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形3.7非圆截面杆扭转的观点3.1扭转的观点和实例1．实比如：车床的光杆反响釜的搅拌轴汽车转向轴2．扭转：在杆件的两头作用等值，反向且作用面垂直于杆件轴线的一对力偶时，杆的随意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，这类变形称为扭转变形。§3.2外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图1．Me、m、P之间的关系Me——外力偶矩（N?m）n——转速（r/min）P——功率（kW）（1kW=1000N?m/s）（马力）（1马力=735.5W）每秒钟内达成的功力2n或Me·601000P2n735.5PMe·60M

eN.m

PkW9549nr/minM

7024

P马力nr/min2．扭矩和扭矩图（1）截面法、均衡方程ΣMx=0T-Me=0T=Me（2）扭矩符号规定：为不论用部分I或部分II求出的同一截面上的扭矩不只数值同样且符号同样、扭矩用右手螺旋定章确立正负号。（3）扭矩图例1主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮输出功率PB=PC=15kW，PD=20kW，n=300r/min，试求扭矩图.解：（1）MeA9549P5095491591Nmn300MeBMeC15477Nm9549300MeD637Nm2）求TΣMx=0T1+MeB=0T1=-MeB=-477T2-MeA+MeB=0T2=1115NT3-MeD=0T3=Med=63T例2主动轮与从动轮部署合理性的议论主动轮一般应放在两个从动轮的中间，这样会使整个轴的扭矩图散布比较均匀。这与主动轮放在从动轮的一边对比，整个轴的最大扭矩值会降低。如左图a：Tmax=50N·m右图b：Tmax=25N·m两者比较图b部署合理。3.3纯剪切在议论扭转的应力和变形以前，关于切应力和切应变的规律以及二者关系的研究特别重要。1．薄壁圆筒扭转时的切应力连结件的剪切面上不但有切应力，并且有正应力，剪切面邻近变形十分复杂。纯剪切是指截面上只有切应力而无正应力。纯剪切的典型例子薄壁圆筒的扭转。（1）察看变形及剖析变形前纵线与圆周线形成方格。变形后方格左右两边相对错动，距离保持不变，圆周半径长度保持不变，这表示横截面上无正应力，只有切应力。因为切应变发生在纵截面，故横截面上的切应力与半径正交。对薄壁圆筒而言，切应力沿壁厚不变化。（2）力矩均衡ΣMx=0Me2r··rMe22r2．切应力互等定理拿出单元体如左图Mer2Fx=0τ′=τ′ΣMz=0dydxdxdyτ′=τ在互相垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，其方向都垂直于两平面交线，或共同指向或共同背叛两平面交线。这就是切应力互等定理，也称为切应力双生定理。3．切应变剪切胡克定律上述单元体，属于纯剪切状态胡克定律：试验表示，当切应力不超出比率极限时，切应力与切应变为正比。=GγG——比率常数，资料的切变模量。单位GPa4．三个弹性常数之间的关系对各向同性资料G

E15．剪切应变能对图示纯剪切单元体。右边面上的剪力为τdydz。因为剪切变形，右边面向下错动位移为rdx。若切应力有一个增量dτ，切应变的相应增量为dγ，右边面向下位移增量为dγdx。剪力τdydz在位移dγdx上达成的功力τdydz·dγdx。在切应力从零开始渐渐增添的过程中（如达到可，则相应的切应变达到r1）右边面上的剪力τdydz总合达成的功力。dwr1dydzdrdx0单元体内储藏的剪切应变能力dVdwr1r1dydzdrdxdrdv00式中：dv=dxdydz，则剪切应变能密度为dvdv

r1dr0vε=τ－r曲线下的面积。（τdγ为暗影条面积）当切应力不超出剪切比率极限的状况下。τ与γ的关系为斜直线（为线弹性状况）12剪切胡克定律：τ=Gγ，则

r21r22G§3.4圆轴扭转时的应力1．应力散布规律：几何学方面物理学方面静力学方面（1）变形几何关系①察看试验（在小变形前提下）a.圆周线大小、形状及相邻二圆周线之间的距离保持不变，仅绕轴线相对转过一个角度。b.在小变形前提下纵线仍为直线仅倾斜一细小角度，变形前表面的矩形方格，变形后错动成菱形。②平面假定：圆轴扭转变形前的平面横截面变形后仍保持平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻二截面间的距离保持不变。③结论：横截面上只有切应力而无正应力。④取dx一段轴议论：rdxRdRddxrd（a）dx议论：a.d为扭转角φ沿轴线x的变化率对给定截面上的各点而言，（即dx同样）它是常量。b.横截面上随意点的切应变γP与该点到圆心的距离P成正比。（随意半径圆周处的切应变均相等）。（2）物理关系①剪切胡克定律GrpGd（b）dx②结论距圆心等距的圆周上各点处的切应力均相等。τP与半径垂直（即各点处的圆周切线方向）。切应力沿半径直线散布。（3）静力关系①内力为散布力系的协力TdAGd2dAAdxA令I2（截面对圆心O的板惯AdA性矩）TGIPddTdx于是：（c）dxGIP式（c）代入式（b）得T（d）I②议论DTRmaxIp引入WtIP（抗扭截面系数）R则TmaxWt2．IP、Wt计算公式（1）实心圆截面dA=ρθρddP2dA2R3dpdtR4D4IPAOO232WtIPR3D3R216（2）空心圆截面2D/24IP2dA3ddD4d4D14A0d/23232式中α=d/DWtIPD4d4D314R16D163．强度条件Tmax

dD

（e）f）Dmax（1）强度计算①校核

Wt

DTmax②设计截面WtD3TmaxD16Tmax163D314TmaxD16Tmax16341③确立许用载荷Tmax≤[τ]Wt（2）议论：对变截面杆、如阶梯杆、圆锥形杆，Wt不是常量，τmax其实不必定发生在扭矩为Tmax的截面上，这要综合考虑T和Wt追求T最大值。4．强度计算举例Example1图示传动轴GivenMe1=895N·mMe2=538N·mMe3=2866N·mMe4=1075N·m895Me5=358N·m[τ]=20MPaFind设计阶梯轴各段的直径DProcedure：（序号）solution（1）求各段轴的扭矩，作出扭矩图（2）求各段轴的直径D

3581433∵Wt

TD3T16∴D16T33168951000D1261.1mm20D23≥71.5mmD34≥71.5mmD45≥45mmExample2图示传动轴外力偶矩某度为mGivenM=500N·m/mD=30mml=1000mm

xlFindτmaxsolutionxΣMx=0T(x)=mx500扭矩沿轴线线性变化当x=0时，T=0当x=l时，Tmax=ml=500N·mTmax16Tmax1650010394.3Mpa∴maxD33Wt30§3.5圆轴扭转时的变形1．扭转角φ的计算dTdxFIpTdxGIplTddxl0GIp议论：（1）若两截面之间T=const，GIP=const，则TlradGIpGIP——圆轴的抗扭刚度（2）阶梯轴Tili1GIpi2．刚度条件除去轴的长度l的影响dT（rad/m）dxGIP：单位长度的扭转角等直圆轴：TlGIP刚度条件maxTmax（rad/m）GIP依据设计规范和习惯许用值的单位为/m，可从相应手册中查到。maxTmax180（o）/mGIp3．刚度计算①刚度校核②设计截面：IpD4,D4143232③确立许用载荷Tmax注意：由刚度条件IpTmax180GD4Tmax18032GD或D

32Tmax1804G——切变模量G232Tmax18041G24式中需用牛顿米代入因为单位为（o）/mExample1图示钢轴GivenMe1=800N·mMe2=1200N·mMe3=400N·ml1=0.3ml2=0.7mG=82GPa800[τ]=50MPa=0.25(o)/mFindDsolution（1）求扭矩，作出扭矩图400（2）强度条件Tmax=800N·mTmax16TmaxmaxWtD3D16Tmax3168001030.0433（m）350（3）刚度条件maxTmax180Tmax180GIpD4G32D32Tmax180328001800.06914410920.25（m）G282取：D=70mm注意：用牛顿米一致单位方便，不易犯错。§3.6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形1．实例（1）车辆轮轴弹簧：缓冲减振（2）凸轮机构的压紧弹簧，内燃机的气阀弹簧（控制机械运动）。（3）弹簧秤（4）美国世贸中心大厦为“筒中筒”构造，110层双子楼主楼417m，次楼415mm。为了抵抗大西洋的暴风，顶部风压为4kPa，同意位移90cm，实测fmax，内外筒之间用桁架担当楼面载荷，在第7层一107层桁=28cm架下边搁置减震器，汲取风力作用下大楼的变形能减震。2．密螺弹簧的两个条件（1）螺旋角α<5°（密圈）（2）d<<D（小曲率杆）近似以为簧丝横截面与弹簧轴线位于同一平面内略去曲率影响，采纳直杆扭转公式.3．弹簧丝横截面上的应力ΣFy=0FS=FΣM0=0FDT2FS4F1d2AT8FDmaxWtd3内侧A点：4F8FD8FDdmax12max2d3d31d2D若D10则d<<1与1对比可省略。这相当于只考虑扭转，不计剪d2D切。8FDmaxd3（近似公式）考虑到切应力的非均匀散布及曲率的影响对上式修正。maxk8FDd3式中k4c10.615——曲度系数4c4ccD弹簧指数d4．簧丝的强度条件8FDmaxkd35．弹簧的变形（1）试验表示：在弹性范围内，静载压力F与λ成正比（线弹性关系）。当外力从零增添到最后值时，它作的功等于斜直线下的面积即：1F2（2）簧丝的扭转的应变能簧丝横截面上距圆心为处的切应力1TFD16FDp2Ipd4d432扭转单位体积内的应变能（应变能密度）2128F2D22p2GG2d8弹簧的应变能为VdVvV——弹簧体积dA——簧丝横截面的微分面积dS_——沿簧丝轴的微分长度dVdAdsddds~20~d/2s(0~l,lnD，n为有效圈数)VvdV223ddds23128FD2d/2nD4FDnVG2d8000Gd4依据功能原理，即W=Vε1F4F2D3n2Gd48FD3n64FR3nGd4Gd4式中：RD是弹簧圈的均匀半径。2Gd4Gd4引入记号：C3n64R3n8D则：FCC越大，则λ越小，所示C代表弹簧抵挡变形的能力，称为弹簧刚度。C的单位为N/m或F=Cλ6．弹簧变形的简单推导方法Example1安全气阀阀盘的直径Do=60mm当蒸汽压力p=0.8MPa时，阀门行程为h=10mm，弹簧资料为60Mn钢，[τ]=400MPa，G=80GPa，簧圈均匀直径D=50mm。Find：簧丝直径d和弹簧圈数nSolution：（1）弹簧受压力：FDo2p6020.82260(N)44（2）簧丝直径d：因为曲度系数k未知，故应用试算法。先用近似公式估量。由公式8FDmaxd3d8FD382260508.96(mm)3400考虑到修正，取d=9.8mm，而后校核：cD505.10d9.8k4c10.61545.110.6151.3034c4c45.145.1代入修正公式求maxk8FD1.3038226050398N/mm2398MPad39.83故取d=9.8mm（3）弹簧圈数：由h8FD3nGd4nGd4h801039.84103.278FD3822605033.7非圆截面杆扭转的观点一、实例①农业机械中有时采纳方轴为传动轴②车床上的光杆有时采纳方截面③曲轴的曲柄为矩形截面，承受扭矩二、非圆截面杆扭转与圆轴扭转的差异察看试验：非圆截面杆扭转变形后，截面周线为空间曲线，即截面发生翘曲成为曲面，圆轴扭转时的假定已不合用。三、非圆截面杆扭转的分类自由扭转:截面自由翘曲,纵向纤维