2023届广东省新高考专题复习专题1解三角形解答题专项提分计划含解析

2023届广东省新高考复习专题1解三角形解答题专项提分计划1．（2022·广东广州·统考一模）在中，内角的对边分别为，.(1)求；(2)若的面积为，求边上的中线的长.2．（2022·广东汕头·统考二模）已知钝角△ABC内接于单位圆，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，．(1)证明：；(2)若，求△ABC的面积．3．（2022·广东·统考模拟预测）从①；②；③中任选两个作为条件，另一个作为（1）小题证明的结论．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，________．(1)证明：________；(2)求的面积．注：若选不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．4．（2022·广东广州·华南师大附中校考模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角C的值；(2)若2a+b=6，且的面积为，求的周长.5．（2022·广东韶关·统考一模）在中，为的中点，且.(1)证明：；(2)若，求的面积.6．（2022·广东中山·中山纪念中学校考模拟预测）在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，.(1)求角的大小；(2)求面积的取值范围.7．（2023·广东东莞·校考模拟预测）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：．(1)求角A的大小；(2)若，求的面积．8．（2023·广东广州·统考二模）在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若角的平分线交于且，求的最小值.9．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①，

条件②，条件③．请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足________，(1)求；(2)若是的角平分线，且，求的最小值．10．（2023·广东肇庆·统考二模）如图，在中，角的对边分别为.已知.(1)求角；(2)若为线段延长线上一点，且，求.11．（2023·广东佛山·统考一模）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在方向上的投影向量，且满足.(1)求的值；(2)若，，求的周长.12．（2022·广东·校联考模拟预测）如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，的面积为．(1)求b，c．(2)O为边AC上一点，过点A作交BO延长线于点D，若的面积为，求．13．（2022·广东广州·统考一模）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△的面积为.(1)证明：；(2)若，求.14．（2022·广东·统考一模）在中，角的对边分别为，下面给出有关的三个论断：①；②；③.化简上述三个论断，求出角的值或角的关系，并以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出所有可能的真命题.（不必证明）15．（2022·广东茂名·统考模拟预测）如图，在平面四边形中，．(1)若，求；(2)若，求四边形的面积．16．（2022·广东佛山·校考模拟预测）如图，四边形的内角，，，，且．(1)求；(2)若点是线段上的一点，，求的值．17．（2022·广东·校联考二模）如图，已知△ABC内有一点P，满足．(1)证明：．(2)若，，求PC．18．（2022·广东潮州·统考二模）已知在中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三边，，．(1)求角B的大小；(2)在下列两个条件中选择一个作为已知，求出BC边上的中线的长度．①的面积为；②的周长为．19．（2022·广东茂名·统考模拟预测）已知的内角、、的对边分别为、、，且．(1)判断的形状并给出证明；(2)若，求的取值范围．20．（2022·广东韶关·校考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求B；(2)若，求的面积的最大值．21．（2022·广东茂名·统考模拟预测）如图，在四边形中，为锐角三角形，，.(1)求BC；(2)若，是否存在正整数m，使得为钝角三角形?若存在，求出m的值;若不存在，说明理由.22．（2022·广东·校联考模拟预测）的内角的对边分别为，且.从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.①为的内心；②为的外心；③为的重心.(1)求；(2)若，__________，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.23．（2022·广东汕头·统考三模）已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，BD为∠ABC的角平分线．(1)求证：；(2)若且，求△ABC的面积．24．（2022·广东广州·统考三模）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知中，分别为角所对的边，__________.(1)求角的大小；(2)已知，若边上的两条中线相交于点，求的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.25．（2022·广东广州·华南师大附中校考三模）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足，，(1)求B；(2)设，，求函数的值域．26．（2022·广东珠海·珠海市第三中学统考二模）的内角，，的对边分别为，，，且，．(1)若，求的面积(2)试问能否成立若能成立，求此时的周长若不能成立，请说明理由．27．（2022·广东肇庆·校考模拟预测）已知向量，函数．(1)求函数的值域;(2)函数在上有10个零点，求的取值范围．28．（2022·广东肇庆·校考模拟预测）已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B为钝角，且．(1)求角B的大小；(2)若点D在AC边上，满足，且，，求BC边的长．29．（2023·广东茂名·统考一模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求证：.(2)求的取值范围.30．（2022·广东广州·校联考三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，.(1)若，，为边的中点，求中线的长度；(2)若为边上一点，且，，求的最小值. 2023届广东省新高考复习专题1解三角形解答题专项提分计划1．（2022·广东广州·统考一模）在中，内角的对边分别为，.(1)求；(2)若的面积为，求边上的中线的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果；（2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出，最后利用求模公式即可求边上的中线的长.【详解】（1）因为，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以，所以.（2）由，所以，由（1），所以，因为为边上的中线，所以，所以，所以，所以边上的中线的长为：.2．（2022·广东汕头·统考二模）已知钝角△ABC内接于单位圆，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，．(1)证明：；(2)若，求△ABC的面积．【答案】(1)证明过程见解析；(2).【分析】（1）根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式分类讨论进行证明即可；（2）根据（1）的结论，结合三角形面积公式、单位圆的性质、正弦定理进行求解即可.(1)根据正弦定理，由，因为，所以，所以由，由，因为△ABC是钝角三角形，所以，或，当时，，所以有，这与△ABC是钝角三角形相矛盾，故不成立，当时，，所以有，显然此时B为钝角，所以△ABC是钝角三角形，符合题意；(2)由，由（1）可知：，所以，因为B为钝角，所以，所以，因为A为锐角，所以，所以，因为钝角△ABC内接于单位圆，所以由正弦定理可知：，因此△ABC的面积为.3．（2022·广东·统考模拟预测）从①；②；③中任选两个作为条件，另一个作为（1）小题证明的结论．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，________．(1)证明：________；(2)求的面积．注：若选不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）若选①②作为条件，先通过正弦定理得出，代入②中化简即可得结果；若选①③作为条件，通过正弦定理得出，代入即可得证；若选②③作为条件，通过正弦定理将边的关系化为角的关系，然后再次通过正弦定理得出结果.（2）将（1）中的结论进行平方，结合余弦定理得出的值，进而可得面积.(1)证明：若选①②作为条件，③作为证明结论．由正弦定理得，所以，又，所以，整理得，故．若选①③作为条件，②作为证明结论．由得，由正弦定理得，所以，所以，故．若选②③作为条件，①作为证明结论．由得，由正弦定理得，又，所以，因为，所以，由正弦定理得，所以，又，故．(2)由（1）知，，两边平方得，由余弦定理得，所以，所以，解得或（舍去）．故的面积．4．（2022·广东广州·华南师大附中校考模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角C的值；(2)若2a+b=6，且的面积为，求的周长.【答案】(1)(2)6或【分析】（1）利用正弦定理结合，代换整理得，再结合倍角公式整理；（2）根据面积公式代入整理得，结合题意可得或，分情况讨论处理．【详解】（1）∵，则∵∴，即∵，则∴（2）∵△ABC的面积为，则∴根据题意得，则或若，则△ABC为等边三角形，的周长为6；若，则，即，的周长为∴的周长为6或5．（2022·广东韶关·统考一模）在中，为的中点，且.(1)证明：；(2)若，求的面积.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）在中利用正弦定理可得，再由诱导公式得到，结合已知条件，即可得证；（2）设，在和分别利用余弦定理即可求出，从而求出，再由面积公式计算可得.【详解】（1）证明：在中，由正弦定理得，即，因为，所以，又由已知，所以，所以.（2）解：设，则，在中，由余弦定理得，即，在中，由余弦定理得，即，解得，，所以.6．（2022·广东中山·中山纪念中学校考模拟预测）在锐角中，，，分别为内角，，的对边，且，.(1)求角的大小；(2)求面积的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用余弦定理求出边，再利用正弦定理求出，最后结合锐角三角形求解即可；（2）先利用三角形的面积公式得到，再利用正弦定理得，最后结合角的范围及函数的值域问题求解即可.【详解】（1）由,根据余弦定理可得，化简得，由正弦定理，可知，因为为锐角三角形，所以.（2）由.由正弦定理得，因为为锐角三角形，所以，解得，则，，故，即面积的取值范围为.7．（2023·广东东莞·校考模拟预测）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：．(1)求角A的大小；(2)若，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成边的形式，化简后，再利用余弦定理可求得结果；（2）利用正弦定理求出角，从而可判断三角形为直角三角形，进而可求出三角形的面积.【详解】（1）由已知及正弦定理可得，整理得，所以．又，故．（2）由正弦定理可知，又，，，所以．故，所以，故为直角三角形，于是．8．（2023·广东广州·统考二模）在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若角的平分线交于且，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）化简得到，根据正弦定理计算得到，得到角度.（2）设，，确定，计算，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1），即，即.由正弦定理得，，，故.，，故，又，故，故；（2），设，，根据向量的平行四边形法则：，即，，又，故，当且仅当时等号成立，故的最小值为.9．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①，

条件②，条件③．请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足________，(1)求；(2)若是的角平分线，且，求的最小值．【答案】(1)条件选择见解析，(2)【分析】（1）选①，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；选②，利用正弦定理结合余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；选③，利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；（2）由已知结合三角形的面积公式可得出，将与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】（1）解：选①：因为，由正弦定理可得，即，所以，而，，故，因为，所以；选②：因为，由正弦定理，即，由余弦定理，因为，所以；选③：因为，正弦定理及三角形内角和定理可得，即，因为、，则，所以，，，所以，所以，即.（2）解：由题意可知，，由角平分线性质和三角形面积公式得，

化简得，即，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为．10．（2023·广东肇庆·统考二模）如图，在中，角的对边分别为.已知.(1)求角；(2)若为线段延长线上一点，且，求.【答案】(1)(2)【分析】(1)运用正弦定理以及诱导公式求解；(2)根据条件运用正弦定理求解.【详解】（1）由条件及正弦定理可得：，即故，则有，又，故有，或（舍去），或（舍去），则，又，所以；（2）设，在和中，由正弦定理可得于是，又，则，，；综上，，.11．（2023·广东佛山·统考一模）在锐角三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在方向上的投影向量，且满足.(1)求的值；(2)若，，求的周长.【答案】(1)(2)【分析】利用正弦定理，边化角，结合同角三角函数的平方式，建立方程，可得答案.【详解】（1）由为在方向上的投影向量，则，即，根据正弦定理，，在锐角中，，则，即，由，则，整理可得，解得.（2）由，根据正弦定理，可得，在中，，则，，，由（1）可知，，则，由，则，解得，，根据正弦定理，可得，则，，故的周长.12．（2022·广东·校联考模拟预测）如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，的面积为．(1)求b，c．(2)O为边AC上一点，过点A作交BO延长线于点D，若的面积为，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据求得，根据面积公式求得，结合余弦定理可求得答案;（2）设，根据三角形面积之间的关系可得，结合以及的面积为，可求得，从而求得，再利用余弦定理可求答案.【详解】（1）∵，，∴，，则，在中，由余弦定理得，即，∴,∴，∴，∴，解得：，∴．（2）设，，则，∴，，则∽．∴，∴，∴，解得：或（舍去）或0（舍去），∴，在中，由余弦定理得．在中，由余弦定理得，则，，又，则，∴．13．（2022·广东广州·统考一模）△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△的面积为.(1)证明：；(2)若，求.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）根据三角形面积公式及三角形内角性质可得，再由正弦定理的边角关系即可证结论.（2）由（1）及题设可得，进而求得，应用余弦定理及正弦定理边角关系求，即可求，注意根据B的范围判断符号，最后利用及和角余弦公式求值即可.（1）由题设，，又，所以，由正弦定理可得，所以，又，所以，即.（2）由（1）及题设，，且，所以，则，故，又，可得，若，则，而，故不合题设；所以，所以.14．（2022·广东·统考一模）在中，角的对边分别为，下面给出有关的三个论断：①；②；③.化简上述三个论断，求出角的值或角的关系，并以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出所有可能的真命题.（不必证明）【答案】论断①：；论断②：或；论断③：；所有可能的真命题有：①③②和①②③.【分析】论断①中，利用余弦定理可求得，进而得到；论断②中，利用正弦定理边化角可得，进而得到结论；论断③中，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、辅助角公式进行化简整理得到，由此可得；由三角形内角和可确定结果.【详解】论断①中，由余弦定理得：，，.论断②中，，由正弦定理得：，，，或，论断③中，由正弦定理得：，即，，即，，，，即，，即，又，，，解得：以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，所有可能的真命题有：①③②和①②③.15．（2022·广东茂名·统考模拟预测）如图，在平面四边形中，．(1)若，求；(2)若，求四边形的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接后由余弦定理与两角和的正弦公式求解（2）由余弦定理与面积公式求解（1）连接，在中，，且，，所以．在中，由余弦定理得，所以．所以（2）在中，由余弦定理得，即，解得或（舍去），所以四边形的面积为16．（2022·广东佛山·校考模拟预测）如图，四边形的内角，，，，且．(1)求；(2)若点是线段上的一点，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）设，在、分别利用余弦定理可得出关于、的方程组，解出的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用正弦定理可求得，利用勾股定理求出，即可求得的长.【详解】（1）解：设，在中据余弦定理，得，即，①又在中据余弦定理，得，即，②因为，则，联立①②可得，，因为，所以．（2）解：在中，由正弦定理知，，所以，且，故，在直角三角形中，由勾股定理知，，此时．17．（2022·广东·校联考二模）如图，已知△ABC内有一点P，满足．(1)证明：．(2)若，，求PC．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由正弦定理得，即，即要证明即可，由此利用三角形内角和证明可得结论；（2）由题意求得，继而求得，在中利用余弦定理求得，即可求得答案.（1）证明：在△ABP中，由正弦定理得，即，要证明，只需证明，在△ABP中，，在△ABC中，，所以，所以，所以．（2）由（1）知，又因为，，所以，由已知得△ABC为等腰直角三角形，所以，则，所以在△PBC中，，由正弦定理得，即，即．由余弦定理得，由题意知，故解得，所以．18．（2022·广东潮州·统考二模）已知在中，A，B，C为三个内角，a，b，c为三边，，．(1)求角B的大小；(2)在下列两个条件中选择一个作为已知，求出BC边上的中线的长度．①的面积为；②的周长为．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由正弦定理可得，再由和的范围可得答案；（2）选择（1），由（1）可得，则解得，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：选择（2）：由（1）可得，设的外接圆半径为R，则由正弦定理可得，则周长解得，由余弦定理可得BC边上的中线的长度．（1）∵，则由正弦定理可得，∴，∵，∴，，∴，解得．（2）若选择（1），由（1）可得，即则，解得，则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：．若选择（2）：由（1）可得，设的外接圆半径为R，则由正弦定理可得，，则周长，解得，则，，由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：．19．（2022·广东茂名·统考模拟预测）已知的内角、、的对边分别为、、，且．(1)判断的形状并给出证明；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)为等腰三角形或直角三角形，证明见解析(2)【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出，可得出或，可得出或，即可得出结论；（2）分析可得，且，利用诱导公式以及辅助角公式可得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.（1）解：为等腰三角形或直角三角形，证明如下：由及正弦定理得，，即，即，整理得，所以，故或，又、、为的内角，所以或，因此为等腰三角形或直角三角形．（2）解：由（1）及知为直角三角形且不是等腰三角形，且，故，且，所以，因为，故，得，所以，因此的取值范围为．20．（2022·广东韶关·校考模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求B；(2)若，求的面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）将已知式子利用正弦定理统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简计算可求出角B；（2）由余弦定理可得，再利用基本不等式可求出，从而可求出的面积的最大值【详解】（1）因为，由正弦定理得：将代入上式得：结合，可得即，因为，，所以结合得（2）若，，由余弦定理得注意到，，由均值不等式，故，当且仅当时取等，于是，当且仅当即为正三角形时取等．故的面积的最大值．21．（2022·广东茂名·统考模拟预测）如图，在四边形中，为锐角三角形，，.(1)求BC；(2)若，是否存在正整数m，使得为钝角三角形?若存在，求出m的值;若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在，1或2【分析】（1）由正弦定理求解；（2）确定为钝角，即，解得的范围，由正整数得的值．(1)为锐角，，在中，由正弦定理，即，解得；(2)为锐角三角形，为锐角，为锐角在中，若为钝角三角形，则为钝角，所以，，，即，或2，所以存在，使得为钝角三角形.22．（2022·广东·校联考模拟预测）的内角的对边分别为，且.从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.①为的内心；②为的外心；③为的重心.(1)求；(2)若，__________，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)(2)选①：；选②：；选③：.【分析】（1）由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换求得角；（2）选①，由余弦定理求得，由面积公式求得三角形面积，再结合内切圆半径表示三角形面积求得内切圆半径，即可求面积；选②，由余弦定理求得，由正弦定理求得三角形外接圆半径，由圆周角定理和圆心角定理求得，直接由面积公式计算出面积；选③，由余弦定理求得，利用三角形重心的性质，即重心和三角形的三个顶点组成的三个三角形面积相等，用三角形面积公式求解的面积即可.（1）因为，由正弦定理得，，，三角形中，，所以，，则，所以，；（2）选①O为的内心，如图，分别是内切圆在各边上的切点，在中由余弦定理得，，设内切圆半径为，则，，所以；选②O为的外心，在外部，如图，外接圆上，由（1），所以，在中由余弦定理得，，，．选③O为的重心，如图，分别是各边上的中点，在中由余弦定理得，，由三角形重心的性质可得，，故.23．（2022·广东汕头·统考三模）已知△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，BD为∠ABC的角平分线．(1)求证：；(2)若且，求△ABC的面积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先得出，再由正弦定理即可证明；（2）设，由可得，进而求出，再由面积公式求解即可.【详解】（1）由题意可得，因为BD为∠ABC的角平分线，则，在△ABD中，，则，同理可得，因此，即．（2）设，则，因为，即，又且，可得，因为，则，则，，可得，，所以，，．24．（2022·广东广州·统考三模）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知中，分别为角所对的边，__________.(1)求角的大小；(2)已知，若边上的两条中线相交于点，求的余弦值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)；(2)【分析】（1）若选①，由诱导公式及正弦定理得，结合倍角公式即可求得，即可求解；若选②，由正弦定理得，结合辅助角公式得，即可求解；（2）建立平面直角坐标系，求出，由结合向量夹角公式即可求解.(1)若选①，，由正弦定理得，又，则，又，即，又，则；若选②，由正弦定理得，又，则，即，则，又，则；(2)以为坐标原点，所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，易得，由可得，则，则，则.25．（2022·广东广州·华南师大附中校考三模）在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足，，(1)求B；(2)设，，求函数的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角形面积公式和向量数量积公式，代入计算可得，化简即可得解；（2）首先找到各个角之间的关系，，，再由正弦定理可得，再在三角形ABC中，由正弦定理得，所以，利用三角函数求最值即可得解.【详解】（1）由，可得，即，可得，因为，所以，（2）∵，则，，在三角形ACD中，由正弦定理得，可得，在三角形ABC中，由正弦定理得，可得，因为，可得，当时，即，可得，当时，即，可得，所以的值域为．26．（2022·广东珠海·珠海市第三中学统考二模）的内角，，的对边分别为，，，且，．(1)若，求的面积(2)试问能否成立若能成立，求此时的周长若不能成立，请说明理由．【答案】(1)；(2)不成立，理由见解析【分析】(1)根据条件先算出，再运用正弦定理和三角形面积公式即可算出的面积；(2)运用反证法，先假设能成立，再运用余弦定理和基本不等