平面向量知识点复习练习

jz*jz*平面向量知识点分类复习明德实验学校凯1、向量有关概念：〔1〕向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？〔向量可以平移〕。配合练习1、A〔1,2〕，B〔4,2〕，那么把向量AB按向量a=〔一1,3〕平移后得到的向量是 〔2〕零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：°,注意零向量的方向是任意的；〔3〕单位向量：给定一个非零向量a，与a同向且长度为1的向量叫向量a的单位向量.a的单位向量是二；IaI〔4〕相等向量：长度相等且方向一样的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；〔5〕平行向量〔也叫共线向量〕：如果向量的基线互相平行或重合那么称这些向量共线或平行，记作：a//b,规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重合，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！〔因为有。丫④三点A、B、C共线=%及AC共线；〔6〕相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。。的相反向量是一a。配合练习2、以下命题：〔1〕假设口|=色’那么a=b。〔2〕两个向量相等的充要条件是它们的起点一样，终点一样。〔3〕假设AB=成，那么AB形是平行四边形。〔4〕假设ABCD是平行四边形，那么AB=方C〔5〕假设a=b,b=C，那么a=C〔6〕假设a〃b,b〃C,那么a//c。其中正确的选项是 2、向量的表示方法：〔1〕几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；〔2〕符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a,b,c等；〔3〕坐标表示法：a=V%,J/叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标一样。提醒：向量的起点不在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标就不一样.练习1、〔04年卷.文6〕点A(-1,5)和向量.;(2,3)，假设AB=3a，那么点B的坐标为.(5,14)3.平面向量的根本定理：如果］和©送同一平面的两个不共线向量，那么对该平面的任一向量2,有且只有一对实数九、九，使a=九e十九ee、e称为一组基底.TOC\o"1-5"\h\z1 2 11 22， 1 2注：这为我们用向量解决问题提供了一种方向：把参与的向量用一组基底表示出来，使其关系容易沟通.配合练习3、假设a=(1,1),b=(1,-1),C=(-1,2)，那么用a,b表示C=配合练习4以下向量组中，能作为平面所有向量基底的是 > > > >A.e=(0,0),e=(1,-2)B.e=(-l,2),e=(5,7)12 1 2八一--* —- 一 」 3、C.e=(3,5),e=(6,10) D.e=(2,-3),e=(-,-)1 2 1 2 2 4配合练习5、AD,BE分别是AABC的边BC,AC上的中线,且AD=a,BE=b，那么BC可用向量表示为配合练习6、AABC中，点。在5。边上，且B=295,B= 那么r+s的值是4、实数与向量的积：实数九与向量力的积是一个向量，记作九Z,它的长度和方向规定如下：（1）九〃二|九八,（2）当X>o时，，，的方向与，的方向-一^样，当入<0时，Xa的方向与3的方向相反，当九=0时，九2二0,注意：Xa^0o5、平面向量的数量积：〔1〕两个向量的夹角：对于非零向量日，石，作。3=方,。5=万，ZAOB=0（0V。V兀）称为向量〃，B的夹角，当。=0时，a,B同向，当。=兀时，a,5反向，当6=三时，a,方垂直。2提醒：〔1〕向量的夹角要求这两个向量同起点.〔2〕角的问题〔如三角形角〕可转化为向量的夹角来解.〔2〕平面向量的数量积：如果两个非零向量之，方，它们的夹角为9,我们把数量lollblcos®叫做。与b的数量积〔或积或点积〕，记作：a•b,即〃•b=a/?cos。。规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。配合练习7、AABC中，।初1二3,|工|=4,I比1=5,那么AB,BC=；配合练习8、a=（1,—）,&=（0,——）,c=a+kb,d=a—b,c与d的夹角为一，那么左二2 2 4配合练习9、a=2,5=5,q•方=-3,那么a+b等于配合练习10、％,石是两个非零向量，且网=忖二,一耳，那么日与2+方的夹角为〔3〕方在Z上的投影为I石Icos®,它是一个实数，但不一定大于0。配合练习11、।日1=3,|方|=5,且一方=12,那么向量方在向量力上的投影为〔4〕Z•方的几何意义：数量积Z•石等于Z的模Ri与方在£上的投影的积。〔5〕向量数量积的性质：设两个非零向量日，方，其夹角为e,那么:①力，万o%•6二0；②当z,b同向时，Z•方a2-a^a-②当z,b同向时，Z•方向时，£•》=—z6；当e为锐角时，w•石>o,且%、心不同向。.非零向量日，方夹角®的计算公式：coso=-^；④配合练习12、日=（九,2九），囚二（3九,2）,如果日与我的夹角为锐角，那么九的取值围是配合练习13、aOFQ的面积为S,且OFFQ=1，假设-<S<—，那么OF,FQ夹22角0的取值围是练习1、已知7、百均为单位向量，它们的夹角为60。,那么Ia+311=一•・一、一•一，一、—一一432〔04年全国卷二.理9〕平面上直线l的方向向量e=(——,_)，点0(0,0)和A(1,-2)在l^5^5上的射影分别是。‘和A’，那么。7不二九"，其中九=〔D〕.A.—B.C.2D.一25 53设平面上有四个互异的点A、B、C、D,(db+dc-2dA).(aB-AC)=0,那么^ABC的形状是〔B〕A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形6、向量的运算：〔1〕几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法那么〃进展，但“平行四边形法那么〃只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法那么〃：设AX=%M=万，那么向量AC叫做a与b的和，即q+万==B=BC=AC；提醒：平行四边形法那么要求参与加法的两个向量的起点一样，三角形法那么要求参与加法的两个向量的首尾相接.可推广到AA+AA+…+AA=AA〔据此，可根12 23 n-1n1n据需要在一个向量的两个端点之间任意插点〕②向量的减法：用“三角形法那么〃：设丽=Z,AT=B,那么日一方=AB-,^CA,由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点一样，指向被减向量(用向量的减法来引进新的起点或者消去不必要的起点)。向量加减运算的运算结果非0，在移项时要注意.、一一.1 7 117r -T容易得出：|a|—|b|<|a±b|<|a|+|b|.配合练习15、化简：①M+ar+cn=—:②初―9-DT=；③(他-E)_(•-前)=配合练习16、假设正方形ABCD的边长为1,AS=a,BC=B,AC=c，那么IZ+b+c\配合练习17、假设O是^ABC所在平面一点，且满足US-UC=OR+OC-2OA,那么^ABC的形状为配合练习18、假设。为AA5C的边BC的中点，AABC所在平面有一点尸，满足PA+BP+cP=0，设IPDI=九，那么九的值为配合练习19、假设点O是△ABC的外心，且OA+OB+CO=0，那么△ABC的角C为

练习1、〔04年全国卷二.文9〕向量a、b满足：|a1=1,|b|=2,|a-b|=2,那么|a+b|=〔〕.A.1B.<2 C.55D.662、△ABC的三个顶点A、B、C及平面一点P满足PA+PB+PC=AB,那么点PTOC\o"1-5"\h\z与AABC的关系为〔 〕A.P在^ABC部B.P在^ABC外部C.P在AB边所在直线上D.P是AC边的一个三等分点〔2〕坐标运算：设％=(x,y),石二(x,y),那么：1 1 2①向量的加减法运算：a±b=(x±x,y土y)。12 12_配合练习20、点A(2,3),B(5,4),C(7,10)，假设Q=通+九恁(九£E),那么当九=/兀兀、羽y£(/兀兀、羽y£(-5，不)，那么元+y=配合练习21、A(2,3),B(1,4),且1AB=(sinx,cosy),2配合练习22、作用在点A(1,1)的三个力F=(3,4),方=(2,-5),方=(3,1)，那么合力F=F+F+F的终点坐标是②实数与向量的积：九2二九Q,y)二(九x,九y)。1④平面向量数量积：Z•万④平面向量数量积：Z•万=xx+yy。

12 12③假设A(x1,y1),B(x2,y2),那么AB=U2—x1,y2-yj,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。配合练习23、设A(2,3),B(-1,5)，且/=3-AB,AD=3砺，那么C、D的坐标分别的斜坐标是这样定义的：假设赤=x"+y/，其中乙？分别为与X轴、y轴同方向的单位向量，那么P点斜坐标为（尤》）。假设点P的斜坐标为〔2,一2〕，求P到O的距离IPO|;7、向量的运算律:〔1〕交换律：a+l=^+a4石）=（巾）五,%7、向量的运算律:〔1〕交换律：a+l=^+a4石）=（巾）五,%•万二万•石・(2)结合律•石)=2•3)；a+b+c=.)+b/+c.a-b-c=.C)a-v+c7+b^c=a^c+b^co配合练习27、以下命题中：①a-(S-c)=a-^-a-c；②W•(万c)=(3-^)•c；③(3—力)2=\a\2-2131-1^1+1^12；④假设了E=0,那么7=。或力=。；—A-A —A. -7*一下 —一 f-f一 (1•hh 一一 一一一一⑤假设〃.》二c.。那么〃=。；⑥〃2=〃2；⑦"=匚；⑧(a.b)2=a2.b2;a1 a⑨(a一b)2=a2一2a-b+b2。其中正确的选项是 提醒：〔1〕向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除（相约）；〔2〕向量的“乘法〃不满足结合律，即a（b•c）中（a•b）c，为什么？8、向量平行（共线）的充要条件：（1）向量Z与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数入，使得b二入a.实数人是唯一存在的，当a实数人是唯一存在的，当a与Z同向时，入＞0;当a与a异向时，入＜0。|人|的大小由a及a的模确定。了。这就是实数乘向量中入的几何因此，当|人|的大小由a及a的模确定。了。这就是实数乘向量中入的几何⑵假设a=〔x1,y1〕，b=〔x2,y2］，那么a//bOx1y2-x2y1=0o(a-b)2=(|aIIb1)2.〔3〕aIIao(a・b)2=(IaIIbI)2

配合练习28、假设向量Z=(x,D出=(4,x),当％=时Z与万共线且方向一样配合练习29、Z=(1』),石=(4,x),u=a+2b7=22+万)且,那么x=配合练习30、设如=(左,12),加=(4,5),尸弓二(10,左)，那么k=时，A,B,C共线练习〔04年卷理6〕点A(l,-2),假设向量须与1(2,3)同向，1加1=28,那么点B的坐标为.5(5,4)证明平行问题通常是取得对应的线段来构造向量，然后证明向量平行9、向量垂直的充要条件：％，万od.5=0=12+51=12-加特别地(ABABAC特别地(ABABAC)±(ABACABAC)AC配合练习31、05=(—1,2),9=(3,加)，假设加，瓦，那么小=配合练习32、以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,48=90。，那么点B的坐标是 配合练习33、分=(。力),向量日_L而)且而=而，那么加的坐标是 证明垂直问题通常是取得对应的线段来构造向量，然后证明向量垂直线段的定比分点：配合练习34、假设M〔-3,-2〕，N〔6,-1〕，且一一二———一，那么点P的坐标为配合练习35、A(〃,0),5(3,2+。)，直线＞=1qx与线段AB交于M,且戒=2丽，2那么Q等于10.向量中一些常用的结论:〔1〕一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；〔2〕万凶石土万国加+1万I,特别地，当2、万同向或有0=IZ+61=121+1万I—>—> —>- >\\a\-\b\\^2-b\;当。、匕反向或有。O1―。=|工+|。2力|_仿+/共线=盛I-1B11<1~a±b\<\h\+\b\(这些和实数比拟类似).那么其重心的坐标为〔3〕在AABC中)①假设A(x\b^x,y),C(x )那么其重心的坐标为1 1 2 2 3 3(X+X+XQjT 3 I3配合练习36、假设/ABC的三边的中点分别为〔2,1〕、〔34〕、〔」，/〕，那么力ABC的重心的坐标为

(I)PG=^(PA+PB+PC)oG为AABC的重心，特别地西+方+定=0=P为AA5c的重心；②TATS=PBTC二产仁•尸40P为AABC的垂心；③向量入(驾_+-4^)(Xw。)所在直线过AABC的心(是ABAC的角平分线所在直IABI\AC\线)；〔3〕向量西、而、PT中三终点A、B、C共线o存在实数a、p使得P4=aPB+pPC且a+p=1.配合练习37、平面直角坐标系中，。为坐标原点，两点4(3,1),5(—1,3),假设点。满足“二九四十九加.其中九，九wH且九十九=1.那么点C的枕迹是1 2 12 1 2稳固：1.1*=2,MI=1,(3—万)・E=JI—1