2022届中考数学《第24课时：直角三角形和勾股定理》同步练习

第24课时直角三角形和勾股定理(66分)一、选择题(每题5分，共25分)1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(B)\r(3)，eq\r(4)，eq\r(5) B．1，eq\r(2)，eq\r(3)C．6，7，8 D．2，3，4图24－12.[2022·台州]如图24－1，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是(B)图24－1\r(3)\r(5) \r(6)\r(7)【解析】由题意，可得OB＝2，BC＝1，∴OM＝OC＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，则点M对应的数是eq\r(5).故选B.3．如图24－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是 (A)\f(36,5)\f(12,25) \f(9,4) \f(3\r(3),4) 图24－2第3题答图【解析】如答图，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，根据勾股定理，得AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝15，过点C作CD⊥AB，交AB于点D，S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC＝eq\f(1,2)AB·CD，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(9×12,15)＝eq\f(36,5)，则点C到AB的距离是eq\f(36,5).故选A.4．如图24－3，将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板最长边的长为 (D)A．3cmB．6cm C．3eq\r(2)cm D．6eq\r(2)cm 图24－3 第4题答图【解析】如答图，过点C作垂线，交纸带对边沿于点D，∴CD＝3.在Rt△ADC中，∵∠CAD＝30°，∴AC＝2CD＝2×3＝6.又∵三角板是有45°角的三角板，∴AB＝AC＝6，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋62＝72，∴BC＝6eq\r(2).故选D.图24－45．如图24－4，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交AD于点E，则线段DE的长为 (B)图24－4A．3 \f(15,4)C．5 \f(15,2)【解析】设DE＝x，则AE＝6－x.∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，由题意，得∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝DE＝x，由勾股定理，得BE2＝AB2＋AE2，即x2＝32＋(6－x)2，解得x＝eq\f(15,4)，∴DE＝eq\f(15,4).故选B.二、填空题(每题5分，共25分)图24－56．[2022·潮南区模拟]如图24－5，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，若BC＝10，AD＝12，则AC＝__13__.图24－5【解析】∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，BD＝DC，在Rt△ADC中，AC＝eq\r(AD2＋DC2)＝eq\r(122＋52)＝13.7．已知直角三角形两边的长分别是3和4，则第三边的长为__5或eq\r(7)__.8．将一副三角尺按图24－6叠放在一起，若AB＝14cm，则阴影部分的面积是__eq\f(49,2)__cm2.【解析】∵∠B＝30°，∴AC＝eq\f(1,2)AB＝7(cm)，易证AC＝CF，∴S△ACF＝eq\f(1,2)AC·CF＝eq\f(1,2)AC2＝eq\f(1,2)×72＝eq\f(49,2)(cm2)． 图24－6图24－79．如图24－7，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，若AD＝6，DE＝5，则CD的长等于__8__.【解析】∵△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC的中点，DE＝5，∴DE＝eq\f(1,2)AC，∴AC＝10.在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝6，AC＝10，则根据勾股定理，得CD＝eq\r(AC2－AD2)＝eq\r(102－62)＝8.10．如图24－8，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为__eq\f(2\r(10),3)__． 图24－8 第10题答图【解析】如答图，将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，此时AB最短．∵△BCM∽△ACN，∴eq\f(MB,NA)＝eq\f(MC,NC)，即eq\f(4,2)＝eq\f(MC,NC)＝2，即MC＝2NC，∴CN＝eq\f(1,3)MN＝eq\f(2,3)，在Rt△ACN中，AC＝eq\r(AN2＋CN2)＝eq\f(2\r(10),3).三、解答题(共16分)11．(8分)如图24－9，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5cm，求AB图24－9【解析】要求的AB在Rt△ABC中，∠A＝30°，故只需求BC的长；在Rt△BCD中，DC＝5cm，∠DBC＝eq\f(1,2)∠ABC＝30°，故可求出BD，BC的长，从而根据AB＝2BC计算出结果．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∠ABC＝60°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝30°.∵在Rt△CBD中，CD＝5cm，∴BD＝10∴BC＝5eq\r(3)cm，∴AB＝2BC＝10eq\r(3)(cm)．12．(8分)如图24－10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.图24－10(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积．解：(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AC⊥CD.∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵CD＝3，∴DE＝3；(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(62＋82)＝10，∴S△ADB＝eq\f(1,2)AB·DE＝eq\f(1,2)×10×3＝15.(24分)13．(6分)如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是 (AA．8cm B．5eq\r(2)cmC．5.5cm D．1cm【解析】易知最长折痕为矩形对角线的长，根据勾股定理得对角线长为eq\r(62＋52)＝eq\r(61)≈＜8，故折痕长不可能为8cm.故选A.14．(8分)[2022·益阳]如图24－11，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．图24－11解：设BD＝x，∴CD＝14－x，图24－11由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，∴152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9，∴AD＝12.∴S△ABC＝eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×14×12＝84.15．(10分)[2022·宁波]在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解．图24－12如图24－12，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G，H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF，FG，GH，HE.(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；(2)若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠BAD＝∠BCD＝90°，∵BF＝DH，∴AH＝CF，在Rt△AEH中，EH＝eq\r(AE2＋AH2)，在Rt△CFG中，FG＝eq\r(CG2＋CF2)，∵AE＝CG，∴EH＝FG，同理，得EF＝HG，∴四边形EFGH为平行四边形；(2)在正方形ABCD中，AB＝AD＝1，设AE＝x，则BE＝x＋1，在Rt△BEF中，∠BEF＝45°，∴BE＝BF，∵BF＝DH，∴DH＝BE＝x＋1，∴AH＝AD＋DH＝x＋2，在Rt△AEH中，tan∠AEH＝2，∴AH＝2AE，∴2＋x＝2x，解得x＝2，∴AE＝2.(10分)16．(10分)[2022·宜昌]阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)（m2－n2），,b＝mn，,c＝\f(1,2)（m2＋n2），))其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．应用：当n＝1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．解：当n＝1，a＝eq\f(1,2)(m2