2023年高考数学一轮复习提升专练(新高考地区用)6

6.2等比数列（精讲）（提升版）

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零）,

那么这个数列就叫做等比数列

定义-M±L=q（q工0）

a.

项数相同尸.

。Hfem^n=p♦q=2t<=>a-a=a-a=a'

下标和同

中项数可同可异,

项<=>下

fenHn=p/q=2t=a.-aw=a>-a=aj=ai1B4B

性F标和同

质

等比数列下标为奇数的正负相同，下标为偶数项的正负相同

性

S,,S,-SS3.成等比数列，公比q"

质前磁和2P

的性质

数列项敝为2n项，则,“vj；数列项数为？"1,则

s*s««

等比数列中有五个量药，n，G当，&f可以“知三求二”，通过列方程（组）

基

本等比数列的前”项和公式涉及对公比g的分类讨论,

量当q=l时，｛*｝的前，［项和

计

算当行1时，｛%｝的前"项和s=nd）」二89

■l-q1-q

等工以=q(qZ0.neN*)或上^=4(4为非零常数且n>2,neN)

a.a.j

比

定义法触a.｝是等比数列

数

列

若数列凡｝中，a.W0且。=a11A+式neN）

等

题

比中项公式法理a.｝是等比数列

型

数

列

解若数列｛斯｝的通项公式可写成a“=c，q"-l（c,q均为非零常数，/iWN.）

证

题

明通项

或公式法则㈤｝是等比数列

思

判

路

断若数列｛»｝的前n项和Sn=k<T-k（k为非零常数，#0,1）

前n项和公式法则SQ是等比数列

转化意识：在等比数列中，两项之积可转化为另外两项之积逐项平方

等比数「化归意识：把三谆比数列问题转化为等比数列问题就口"

列性质1如有关a,%,w岫i可题可利用a,s「S-,与2一区x&Wo）成等比数列求解

考点呈梃

例题刻析

考点一基本量的计算

【例1-1】（2022・河南开封）在等比数列｛4｝中，5“为其前〃项和，若％=3,邑=9,则｛可｝的公比为.

【例1-2】（2022.吉林袂南市第一中学模拟预测（文））已知｛%｝是等差数列，q=l,公差dwO,5.为其

前〃项和，若为,«2,生成等比数列，则$8=.

【例1-3］（2022•青海・海东市第一中学模拟预测（理））设等比数列｛4｝的前〃项和为5“，若4M2=2。；，且

S（,+祀2=S?4,则2=.

【一隅三反】

1.（2022.吉林•长春市第二实验中学高三阶段练习）已知等比数列｛““｝的前〃项和为S”，且公比4>1,

“2+”4=5,4%=4,则S“=（）

A.B.2n-1-|C.2"一；D.2"-1

2.（2022•青海♦海东市第一中学模拟预测（文））已知等比数列｛%｝的公比q=-:,则&詈等于（）

302+

A.—B.-C.3D.—3

33

3.（2022•河南省杞县高中）在等比数列｛%｝中，生+生=：（/+%）,则｛4｝的公比4=.

4.（2022•河南安阳）已知｛%｝为等比数列，a3+a6=-7,a4a5=-8,则由+七二.

考点二等比中项

【例2-1］（2022•内蒙古・海拉尔第二中学模拟预测（文））己知等差数列｛““｝中，其前5项的和$5=25,等

比数列出｝中，4=2也=8,则詈=（）

【例2-2］（2022.河南省浚县第一中学模拟预测（文））在等比数列｛4｝中，若出的=8,贝I

log2^+log2a24-log26Z34-...+log26Z10=（）

A.5B.10C.15D.20

【例2-3］（2022•江西♦二模（文））己知机是1和4的等比中项，则圆锥曲线/+二=1的离心率为（）

m

A.布1B.6或立~

2

C.立D.店或返

222

【一隅三反】

1.（2022・四川广安）已知数列｛%｝为等比数列，若%,%为函数〃x）=x-33X+32的两个零点，则%+4=

（）

A.10B.12C.32D.33

2.（2022♦江西•模拟预测（理））在正项等比数列｛%｝中，a4aM2=2/，则log4a2幅%=（）

A.—B.—C.—D.一

2346

3.（2022•全国•高三专题练习（理））己知数列｛m｝的各项都为正数，对任意的祖，〃GN*,即恒成

立，且〃也35+〃4=72,则10g20/+10g2a2+…+10g2Q7=.

考点三前n项和的性质

【例3-1】（2022•全国•高三专题练习）记等比数列｛4｝的前〃项和为S“，若色=3,$8=9,则兀=（）

A.12B.18C.21D.27

【例3-2］（2022•陕西咬大附中模拟预测（理））已知等比数列｛4｝的前〃项和为S.，若Sa=3”—2+女，则人的

值为

11

-CD

A.9-B.9-

【一隅三反】

1.（2022•全国•高三专题练习（文））等比数列的前〃项和为5.，若S,,=r2i-1,则/=（）

A.2B.-2C.1D.-1

已知等比数列｛%｝的前

2.（2022•全国•高三专题练习）〃项和为若邑=3,S8=9,则九的值为（）

A.12B.30

C.45D.81

设等比数列｛%｝的前〃

3.（2022・全国•高三专题练习）项和为S“，若$3=5,56=20,则Sg=()

A.66B.65C.64D.63

考点四最值问题

【例4-1］（2022•四川绵阳.一模（文））已知正项等比数列｛《,｝的前”项和为5.，若-5,反，鼠成等差数列,

则£,一黑的最小值为（)

A.25B.20C.15D.10

【例4-2］（2022.全国•高三专题练习）（多选）等比数列｛4“｝中，公比为其前〃项积为并且满足4>1.

fl99-«10O-l>0,W嗯<0,下列选项中，正确的结论有（）

4<»一］

A.0<"1

B.%）*®-1<0

C.加）的值是中最大的

D.使（>1成立的最大自然数〃等于198

【一隅三反】

1.（2022♦青海西宁）已知等比数列｛《,｝,«15=15,9%+%的最小值为（）

A.70B.90C.135D.150

2.（2022♦安徽•合肥一六八中学模拟预测（理））已知等差数列｛5｝的公差为"，且dHO,且%、生、%成

等比数列，若4=1,5“为数列｛可｝的前"项和.则一^-的最小值为（）

A.4B.3C.4>/2-2D.—

3.（2022.湖北•襄阳五中模拟预测）（多选）设等比数列｛的｝的公比为g,其前和项和为S〃,前〃项积为北,

且满足条件4/>1，020200202/>1>（42020-1）（4202/-1）<0,则下列选项正确的是（）

A.0<^<1B.52020+1<5202/

C.乃02。是数列｛力?｝中的最大项D.7404/>1

考点五等比数列的实际运用

【例5】（2022•辽宁•昌图县第一高级中学高二期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三

百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”

其大意为：”有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了

6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为（）

A.6里B.5里C.4里D.3里

【一隅三反】

1.（2022•全国•高三专题练习）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”

为基本音，"宫'’经过一次“损”，频率变为原来的;，得至广徵“；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的=,得

24

至『'商"；……依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶.据此可推得（）

A.“宫、商、角”的频率成等比数列B.“宫、徵、商”的频率成等比数列

C.“商、羽、角”的频率成等比数列D.“徵、商、羽''的频率成等比数列

2.（2022•广东・高三阶段练习）（多选）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里

关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意

为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到

达目的地则下列说法正确的是（）

A.该人第五天走的路程为12里

B.该人第三天走的路程为42里

C.该人前三天共走的路程为330里

D.该人最后三天共走的路程为42里

3.（2022.全国•高三专题练习）某新学校高一、高二、高三共有学生1900名，为了了解同学们对学校关于

对手机管理的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1900名学生中抽取一个样本容量为38的样本，若从

高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以;为公比的等比数列，则此学校高一年级的学生人数为

人.

6.2等比数列（精讲）（提升版）

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零）,

那么这个数列就叫做等比数列

定义-M±L=q（q工0）

a.

an=aqi=a『（n、mcM）

通项・------------------------------------

关于公比的

na,（q=1）指数型函数

等

比RO二q2「「a,q（q#i）

1-q1-q

数求和一

列

项数相同人.

q*ai。OHfem^n=p♦q=2t<=>a-a=a-a=a'

下标和同

中项数可同可异,

项<=>下

fenHn=p/q=2t=a.-aw=a>-a=aj=ai1B4B

性F标和同

质

等比数列下标为奇数的正负相同，下标为偶数项的正负相同

性

S,,S,-SS3.成等比数列，公比q"

质前磁和2P

的性质

数列项敝为2n项，则,“vj；数列项数为？"1,则

s*s««

等比数列中有五个量药，n，G当，&f可以“知三求二”，通过列方程（组）

基

本等比数列的前”项和公式涉及对公比g的分类讨论,

量当q=l时，｛*｝的前，［项和

计

算当行1时，｛%｝的前"项和s=nd）」二89

■l-q1-q

等工以=q(qZ0.neN*)或上^=4(4为非零常数且n>2,neN)

a.a.j

比

定义法触a.｝是等比数列

数

列

若数列凡｝中，a.W0且。=a11A+式neN）

等

题

比中项公式法理a.｝是等比数列

型

数

列

解若数列｛斯｝的通项公式可写成a“=c，q"-l（c,q均为非零常数，/iWN.）

证

题

明通项

或公式法则㈤｝是等比数列

思

判

路

断若数列｛»｝的前n项和Sn=k<T-k（k为非零常数，#0,1）

前n项和公式法则SQ是等比数列

转化意识：在等比数列中，两项之积可转化为另外两项之积逐项平方

等比数「化归意识：把三谆比数列问题转化为等比数列问题就口"

列性质1如有关a,%,w岫i可题可利用a,s「S-,与2一区x&Wo）成等比数列求解

考点呈梃

例题刻析

考点一基本量的计算

【例1-1】（2022・河南开封）在等比数列｛4｝中，"为其前〃项和，若弓=3,$3=9,则｛%｝的公比为

【答案】1或

2

【解析】当4=1时,满足③=3,$3=9,此时4=3；

当4/1时，由《=3,$3=9,

可得：解得"二-5，此时a,,=12x（-J"T.

一n〔4=12

综上所述：公比夕的值为：1或4

【例1-2】（2022.吉林.洪南市第一中学模拟预测（文））已知｛%｝是等差数列，4=1,公差d*0,5“为其

前“项和，若4，%,生成等比数列，则凡=.

【答案】64

【解析】因为4，%，牝成等比数列••・〃；=4%，即（l+d）2=l+4d解得d=2或d=O（舍）

$8=8q+284=8+28x2=64故答案为：64

【例1-3】（2022•青海・海东市第一中学模拟预测（理））设等比数列｛%｝的前〃项和为S“，若”必2=2d，且

S6+ASI2=524,贝I]2=.

14

【答案】y

【解析】:a4al2=2。；，；・4=2。；，，夕6=2,；§6+IS]?=S24,

.•「（"R+'Ml-g"）/。-/）,1_/+迎_针）=]一尸，将g6=2代入，可得2=?.故答案为：[

\-q\-q\-q33

【一隅三反】

1.（2022•吉林・长春市第二实验中学高三阶段练习）已知等比数列｛%｝的前八项和为5,，且公比4>1,

n-1n

a2+a4=5,a｛a5=4,则S“=（）A.2-1B.2"~'-1C.2"-gD.2-l

【答案】B

【解析】由等比数列的性质可知/4=4G=4,因为4>1,则同=丽1>同，

〃2+4=5

由已知可得,a2a4=4,可得

同<同

因此，s_2（1一2"）二2"T1.故选:B.

"1-<?1-22

2.（2022•青海♦海东市第一中学模拟预测（文））已知等比数列｛/｝的公比4=-4,则”&等于（）

A.—B.-C.3D.—3

33

【答案】D

【解析】因为等比数列｛4｝的公比4=-：，所以安幺==）=-3.故选：D

1

'3a2+aAatq+ayqq

3.（2022•河南省杞县高中）在等比数列｛%｝中，4+4=：（。3+4），则｛a,,｝的公比4=.

【答案】4=3或〃=-1

【解析】因为%+4=；3+%），所以4夕+4屋=g（4/+4力，所以q（q+i）（3-夕）=0,因为夕*o,所

以4=-1或4=3.故答案为：q=-l或4=3.

4.（2022•河南安阳）已知｛4｝为等比数列，%+4=-7,%%=-8,则4+%=.

【答案】:31

2

=1f%=-8

【解析】设公比为9，由题意知：4。5=生纥=-8,又%+%=-7,解得。或，，

也=-8&=1

若卜.则d=&=-8,q=-2,则%+%=&+4；

[a6=-8a｝q2

%=-8a11CL3131

若,।，则/3=」h=-[,q=-±贝1]%+%=&+%4=彳.故答案为：--

4=1/82q22

考点二等比中项【例2-1]（2022.内蒙古・海拉尔第二中学模拟预测（文））已知等差数列｛%｝中，其前5项

的和&=25,等比数列｛2｝中，4=2,九=8,则/=（）

.5需55「4

A.--sk-B,--C.yD-i

【答案】D

【解析】由题意得：55=5"%）=5%=25,解得：4=5,

设等比数列仍“｝的公比是q,因为4=2,%=8,所以2/2=8,解得：q'2=4,

显然d>0,所以d=2,所以伪=如6=4,所以詈=：故选：口

“74

【例2-2］（2022•河南省浚县第一中学模拟预测（文））在等比数列｛q｝中，若生%=8,则

log,^+log2a,+log2a3+•••+log2a10=（）

A.5B.10C.15D.20

【答案】C

515

【解析】因为的%=8,所以a,a2a3•••«,（）=8=2,

所以log24+k)g2a2+log24+…+1。8必0=1。8必24…4O=15；故选：C.

【例2-3］（2022•江西•二模（文））己知根是1和4的等比中项，则圆锥曲线/+反=1的离心率为（）

m

A.0B.6或立■

2

C.—D.也或显

222

【答案】B

2

【解析】〃?是1和4的等比中项,所以优2=4,解得机=±2,当机=2时，圆锥曲线为炉+匕=1,离心率为

2

考曲一时，圆锥曲线391,离心率为毛邛3故选:B

【一隅三反】

1.（2022.四川广安）已知数列｛%｝为等比数列，若卬，纭为函数〃x）=x2—33x+32的两个零点，则为+4=

()A.10B.12C.32D.33

【答案】B

/、of=32

【解析】因为4，%为函数〃x)=x2_33x+32的两个零点，所以4+4=33,44=32,所以j；=1或

[CL=\&=32

”所以，当,时，q=2,4+/=4+8=12,

〔4=32〔4=1

当|°时，4=[，q+q=8+4=12,所以，4+。4=12.故选：B

[%=322

2.（2022•江西•模拟预测（理））在正项等比数列｛%｝中，%%42=2及，则1。842+31。8244=（）

A.《B.-C.-D.-

2346

【答案】A

【解析】由题得4%%=公=2及，所以q=血，所以/电=〃；=2,所以log』a2+；log2a14=log4a2+log4a14

=log4（a2a14）=log42=1,故选：A

3.（2022•全国•高三专题练习（理））已知数列伍及｝的各项都为正数,对任意的m,“GN*,恒成

立，且43%5+44=72,贝！Jlog24/+log2a2+...+log2a7=.

【答案】21

【解析】因为对任意的"3"GN*,a,恒成立，

令旭=1,则砂a”=a/+n对任意的“WN*恒成立，；.数列｛“〃｝为等比数列,公比为田，

由等比数列的性质有。必5=，因为"05+44=72,则a：+a«=72,

a4>0,；.a4=8,；.log2a/+k>g2a2+…+log2a7=log2（a/"2•…,a7）=log2。：=log287=21.故答案为：21.

考点三前n项和的性质

【例3-1】（2022・全国・高三专题练习）记等比数列｛4｝的前〃项和为$“，若54=3,$8=9,则弗=（）

A.12B.18C.21D.27

【答案】C

【解析】因为5,为等比数列｛为｝的前"项和，且邑=3,58=9,易知等比数列｛/｝的公比q*-l,所以

S4,S8-S4,S12-S8成等比数列所以（鼠-S4尸=5式几一Sg）,所以6?=3（S12-9）,解得几=21.

故选：C.

【例3-2］（2022•陕西交大附中模拟预测（理））已知等比数列｛可｝的前〃项和为S“，若S"=3"-2+%,则%的

值为

11

ABCD

9--9-

【答案】B

【解析】因为等比数列｛%｝的前〃项和为S“，FLS“=3"-2+Z,

所以4=%+；,a?=邑-q=l+A-(z+g)=g，a,=53-S2=3+-(A:+1)=2,

所以0；=的3，即+J解得Z=故选：B

【一隅三反】

1.（2022・全国•高三专题练习（文））等比数列｛4“｝的前”项和为S,,若S“=f-2"T-l,则U（）

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】A

【解析】设等比数列的公比为9,当9=1时，S„=nat,不合题意；

当4W1时，等比数列前〃项和公式S„="'（i"）=一旦•4"+卫，

“\-q\-q\-q

依题意S“=f2i-l=?2-l=m+（-l）=0,f=2.故选：A

2.（2022.全国•高三专题练习）已知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，若邑=3,58=9,则5用的值为（）

A.12B.30

C.45D.81

【答案】C

【解析】显然公比不为“，・.,｛仆｝是等比数列，则⑤㈤-L兀-鼠,九-兀也成等比数列，

•/S4=3,S8=9,58-S4=6,512-58=12,pllj5I2=21,S16-S12=24,则$6=45.故选：C.

3.（2022・全国•高三专题练习）设等比数列｛%｝的前"项和为3,若邑=5,$6=20,则邑=（）

A.66B.65C.64D.63【答案】B

【解析】由题知：5,=a,+a2+a3=5,S6-S3=a4+a5+a6=（^+67,4-a,）^=15,

Sg-Sft=a1+as+ag=（4+生+/）/=S9-20,

所以&,S6-S3,S9-S6成等比数列，即5,15,Sg-20成等比数列，

所以6=5（59-20）,解得Sg=65.故选：B.

考点四最值问题

【例4-1］（2022.四川绵阳.一模（文））已知正项等比数列｛叫的前”项和为S“，若-5,S-臬成等差数列，

则$9-$6的最小值为（）

A.25B.20C.15D.10

【答案】B

【解析】因为｛《,｝是正项等比数列，所以S3,S6~S3,S9-$6仍然构成等比数列，所以（S6-S3）2=S3（S9-S6）.

又-5,S3,&成等差数歹U，所以$6-5=2S3,&-邑=$3+5,所以59-56=%引~=岂圆-=53+?+10.

25I25

又是正项等比数列，所以&>0,53+—+10>253—+10=20,当且仅当S3=5时取等号.故选：B.

>3V%

【例4-2］（2022.全国•高三专题练习）（多选）等比数列｛““｝中，公比为,其前”项积为7；,并且满足4>1.

4990a-1>0,血=<0,下列选项中，正确的结论有（）

4ooT

A.0<q<l

B.丹—1<。

C.Zoo的值是1中最大的

D.使7；〉1成立的最大自然数〃等于198

【答案】ABD

［解析］对于A,,•,a99qoo_l>0,>1,，（qq98）2.q>［.：4>］,,4>0.又二<0,>1,

'74oo-1

且4oo，故A正确；

"_2

对于8,,.•.。<佝9%»<，即%故8正确；

IO<«ioo<1

对于C，由于汇00=勾9a100，而。<〃］00<1，故有工00<3）9，故。错误；

=><

对于D,（骈…知8=（4.498）（%,697）…（附,400）=（^,^100）99>1,

［外=4,出•*,^199=（"1，"199））・•・（为9"I01）“100<1,故D正确.••不止确的是C.古攵选：ABD.

【一隅三反】

1.（2022•青海西宁）已知等比数列｛〃“｝,%=15,9%+内的最小值为（）

A.70B.90C.135D.150

【答案】B

【解析】设｛%｝的公比为4，由等比数列的知识可知为=小以6,%=田以6,

结合《5=15>。可得内>0,电1>0.

由基本不等式及等比数列的性质可得9%+%22廊W=6%=90,

当且仅当％=5,生1=45时等号成立，故9为+%]的最小值为90.故选：B

2.（2022・安徽•合肥一六八中学模拟预测（理））已知等差数列｛%｝的公差为d,且dwO,且％、生、%成

等比数列，若q=i,s“为数列｛《,｝的前〃项和.则一^-的最小值为（）

。“十J

A.4B.3C.4-^2—2D.—

【答案】D

【解析】由己知可得。；=的13，即（l+2d）2=1+124,可得d2-2d=0,-：d^0,解得d=2,

q+(l)』+2(〃T=21,所以，S.=&詈U,=中

4+7(〃+1)2+7n2+7_n2+3/2-6

令或=则%-2=

n+\〃+2〃+1(〃+1)(〃+2)

当"=1时，bn+]-bn<0,gpb｛>b29

（、2S„+1492+7II

当〃22时，bn+l-hn>0,即4〈/<…，所以，数列也｝中，%最小,故戏门的最小值为学;=手

故选：D.

3.（2022•湖北嚷阳五中模拟预测）（多选）设等比数列｛〃〃｝的公比为q,其前和项和为S”，前〃项积为力7,

且满足条件020200202!>1,（.02020-1）Ca2O2l-1）<0,则卜列选项正确的是（）

A.0〈q〈lB.S2020+I<5202/

C.乃02。是数列｛%｝中的最大项D.T404l>\

【答案】AC

【解析】由等比数列｛4〃｝公比为4,at>l,020200202/>1，（《产，⑷/⑼）=（%那一>,

由ai>1可得q>0,(02020~1)(ci202i~1)<0,得

依。;或心。2吸（舍去），故q=

[〃2021<11。2021>1”2020

综上0<4=&也<1故选项A正确；

“2020

^2020+1>S2O2()+。2021=*^2021»故选项B错误;

由已知，，4>“2>“3>…>“2020>1>%021>3>。，可知是数列｛7〃｝中的最大项，故该选项C正确；

a，a2

由等比数列的性质可知，^4041=imo=■■■=a2020<12022=<22021,所以

看⑼=4。2a3…a4M=。202「"”<1，故该选项D错误.故选：AC.

考点五等比数列的实际运用

【例5】（2022•辽宁・昌图县第一高级中学高二期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三

百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.“

其大意为：”有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了

6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为（）

A.6里B.5里C.4里D.3里

【答案】A

【解析】记每天走的路程里数为｛%｝,可知｛%｝是公比4=:的等比数列，

由&=378,得$6=<；1=378,解得:q=192,.•.6=192x^1