【步步高】高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习：专题一第2讲不等式与线性规划(含答案解析)

第2讲不等式与线性规划x－y＋1≥0，1．(2016·课标全国丙)若x，y知足拘束条件x－2y≤0，则z＝x＋y的最大值为x＋2y－2≤0，________．答案32x－y＋1≥0，1分析知足拘束条件x－2y≤0，的可行域为以A(－2，－1)，B(0,1)，C1，2为极点的x＋2y－2≤0三角形内部及界限，如图，过C131，2时获得最大值2.2．(2016·江改编浙)已知实数a，b，c，以下判断正确的选项是________．22222①若|a＋b＋c|＋|a＋b＋c|≤1，则a＋b＋c＜100；②若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100；22222③若|a＋b＋c|＋|a＋b－c|≤1，则a＋b＋c＜100；22222④若|a＋b＋c|＋|a＋b－c|≤1，则a＋b＋c＜100.答案

④分析

①中，设

a＝b＝10，c＝－110，则|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|＝0≤1，a2＋b2＋c2>100.②中，设a＝10，b＝－100，c＝0，则|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|＝0≤1，a2＋b2＋c2>100.③中，设a＝100，b＝－100，c＝0，则|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|＝0≤1，a2＋b2＋c2>100.∴④对．3．(2016上·海)设x∈R，则不等式|x－3|<1的解集为________．答案(2,4)分析－1<x－3<1，即2<x<4，故解集为(2,4)．ax＋y＝1，无解，则a＋b的取值范围4．(2016上·海)设a>0，b>0，若对于x，y的方程组x＋by＝1是________．答案(2，＋∞)分析由已知得，ab＝1，且a≠b，∴a＋b>2ab＝2.1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热门；二次不等式常与函数、数列联合考察一元二次不等式的解法和参数的取值范围；

2.一元3.利用不等式解决实质问题

.热门一不等式的解法1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后依据相应二次函数图象与x轴的地点关系，确立一元二次不等式的解集．2．简单分式不等式的解法f(x)(1)g(x)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)；f(x)(2)g(x)≥0(≤?0)f(x)g(x)≥0(≤且0)g(x)≠0.3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单一性求解．例1(1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若对于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为__________．(2)已知函数f(x)＝3x，x≤0，若f(x0)>0，则x0的取值范围是________________．log2x，x>0，答案(1)9(2)(－∞，0]∪(1，＋∞)222a分析(1)由值域为[0，＋∞)，可知当x＋ax＋b＝0时有＝a－4b＝0，即b＝4，22a2a2∴f(x)＝x＋ax＋b＝x＋ax＋＝x＋2.4f(x)＝x＋a22<c，解得－aaac<x＋<c，－c－<x<c－.222∵不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，aa∴c－2－(－c－2)＝2c＝6，解得c＝9.当x0≤0时，由3x>0，得x0≤0；当x0>0时，由log2x0>0，得x0>1，所以x0的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．思想升华(1)对于和函数相关的不等式，可先利用函数的单一性进行转变；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，如有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类议论．追踪操练1(1)已知m，n为实数，若对于x的不等式x2＋mx＋n<0的解集为(－1,3)，则mn的值为________．(2)不等式2x2x＜4的解集为________．答案(1)－5(2)(－1,2)分析(1)由题意得：－1,3为方程x2＋mx＋n＝0的两根，所以－1＋3＝－m，－1×3＝n?m＝－2，n＝－3，m＋n＝－5.(2)∵2x2x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1<x<2.热门二基本不等式的应用利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法例是：(1)假如x>0，y>0，xy＝p(定值)，当x＝y时，x＋y有最小值2p(简记为：积定，和有最小值)；(2)假如x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当x＝y时，xy有最大值124s(简记为：和定，积有最大值)．例2(1)已知ab＝1，a，b∈(0,1)，则1＋2的最小值为________．41－a1－b1设实数m，n知足m>0，n<0，且m＋n＝1，则4m＋n有最________值，为________．答案(1)4＋42(2)大13分析(1)1＋2＝1＋21－a1－b1－a11－4a＝2＋(4＋24－4a4a－1)＝2＋(4＋2[(4－4a)＋(4a－1)]4a－1)34－4a14(4a－1)2(4－4a)＝2＋2＋(＋)34－4a4a－1≥4＋14(4a－1)2(4－4a)＝4＋42，3×24－4a·4a－13当且仅当4(4a－1)＝2(4－4a)时取等号．4－4a4a－111(2)由于m＋n＝1，所以4m＋n＝(4m＋n)1＋1＝5＋4m＋n，mnnm又m>0，n<0，所以－4m－n≥4，当且仅当n＝－2m时取等号，故5＋4m＋n≤5－4＝1，nmnm1当且仅当m＝，n＝－1时取等号．思想升华在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其知足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边一定为定值)、“等”(等号获得的条件)的条件才能应用，不然会出现错误．追踪操练

2

(1)若正数

a，b知足

a＋b＝1，则a＋b的最大值为a＋1b＋1

________．x≥2，y已知x，y知足y≥2，时，z＝a＋b(a≥b>0)的最大值为2，则a＋b的最小值为________．x＋y≤8答案(1)23(2)8分析(1)∵正数a，b知足a＋b＝1，a＋b＝a(b＋1)＋b(a＋1)＝2ab＋a＋ba＋1b＋1(a＋1)(b＋1)ab＋a＋b＋12ab＋12(ab＋2)－33＝＝ab＋2＝2－ab＋2ab＋2≤2－3＝2－3＝2，a＋b2＋21＋23241当且仅当a＝b＝时取等号，a＋b的最大值为2.a＋1b＋13(2)画出不等式组表示的可行域，如图中暗影部分(包含界限)所示．xyb由z＝a＋b(a≥b>0)，得y＝－ax＋bz.b当直线y＝－ax＋bz经过点A时，z有最大值，由x＝2，得A(2,6)，∴2＋6＝2，即1＋3＝1.x＋y＝8，ababa＋b＝(a＋b)(1＋3)＝4＋b＋3a，abab令ba＝t，则0<t≤1，a＋b＝4＋t＋3，0<t≤1.t令f(t)＝4＋t＋3t，0<t≤1，t2－3则f′(t)＝1－t2＝t2<0，∴y＝f(t)在(0,1]上是减函数．∴(a＋b)min＝f(1)＝4＋1＋3＝8.热门三简单的线性规划问题解决线性规划问题第一要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形联合找到目标函数达到最值时可行域的极点(或界限上的点)，但要注意作图必定要正确，整点问题要考证解决．例

3

(1)若

x，y知足拘束条件

x＋y－2≤0，x－2y＋1≤0，2x－y＋2≥0，

则z＝3x＋y的最大值为

__________．x≤0，若对于x，y的不等式组x＋y≥0，表示的平面地区是等腰直角三角形，则其表示的kx－y＋1≥0地区面积为

__________．答案

(1)4

(2)12或14分析

(1)可行域为△ABC

及其内部，此中

A(1,1)，B(0,2)，C(－1,0)，当直线

z＝3x＋y过点A时取最大值4.(2)直线kx－y＋1＝0过点(0,1)，要使不等式组表示的地区为直角三角形，只有直线kx－y＋111或＝0垂直于y轴(如图(1))或与直线x＋y＝0垂直(如图(2))时才切合题意．所以S＝×1×1＝22S＝1×2×21222＝.4思想升华(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求地区面积；三是确立目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般状况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或界限上获得．追踪操练

3

(1)已知实数

x，y知足

x≥0，y≥0，x＋y≤2，

则z＝4x＋y的取值范围是

__________．x＋y≤1，已知变量x，y知足拘束条件x－y≤1，若x＋2y≥－5恒建立，则实数a的取值范围为x≥a，__________．答案(1)[0,8](2)[－1,1]分析(1)作出不等式组所表示的平面地区，如图暗影部分所示，由图知当目标函数z＝4x＋y经过点B(2,0)时z获得最大值，最大值为4×20＝8；当目标函数z＝4x＋y经过点O(0,0)时z获得最小值，最小值为4×0＋0＝0，所以z＝4x＋y的取值范围是[0,8]．由题意作出不等式组所表示的平面地区，如图中暗影部分所示，则x＋2y≥－5恒建立可转变为图中的暗影部分在直线x＋2y＝－5的上方，x－y＝1，由x＋2y＝－5，x＝－1，得y＝－2，x－y＝1，x＝1，由得x＋y＝1，y＝0，则实数a的取值范围为[－1,1]．1．若点A(a，b)在第一象限，且在直线x＋2y＝1上，则ab的最大值为________．押题依照基本不等式在历年高考取的地位都很重要，已成为高考的要点和热门，用基本不等式求函数(和式或积式)的最值问题，有时与分析几何、数列等知知趣联合．答案18分析由于点A(a，b)在第一象限，且在直线x＋2y＝1上，所以a>0，b>0，且a＋2b＝1，11a＋2b21，所以ab＝·a·2b≤·(2)＝228当且仅当a＝2b＝1，即a＝1，b＝1时，“＝”建立．2242．在R上定义运算：abx－1a－2c＝ad－bc，若不等式a＋1≥1对随意实数x恒建立，则dx实数a的最大值为________．押题依照不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考取是必考内容．常常与函数的单一性相联合，最后转变成一元一次不等式或一元二次不等式．答案32分析由定义知，不等式x－1a－2≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，a＋1x∴x2－x＋1≥a2－a对随意实数x恒建立，21233∵x－x＋1＝(x－)＋≥，2442313∴a－a≤，解得－≤a≤，4223则实数a的最大值为2.x－2y＋4≥0，3x－y－3≤0，3．已知实数x，y知足1则z＝x＋2y的最小值为________．x≥，2y≥1，押题依照线性规划的实质是数形联合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热门．5答案2分析由题意可得不等式组所表示的可行域为如图中暗影部分所示的四边形ABCD及其内部．由于目标函数z＝x＋2y可化为y＝－x2＋z2，其表示过可行域上的点(x，y)，斜率为－1且在y轴上的截距为z的直线．由图可知，22115当z＝x＋2y过点D(2，1)时，z获得最小值zmin＝2＋2＝2.4．若不等式

x2＋2x<a＋16b对随意ba

a，b∈(0，＋∞)恒建立，则实数

x的取值范围是

________．押题依照“恒建立”问题是函数和不等式交汇处的重要题型，

可综合考察不等式的性质，

函数的值域等知识，是高考的热门．答案(－4,2)分析

不等式

x2＋2x<a＋16b对随意ba

a，b∈(0，＋∞)恒建立，等价于不等式

x2＋2x<

a＋16bbamin.由于对随意

a，b∈(0，＋∞)，a＋16b≥2ba

a16bb·a＝8(当且仅当

a16b＝，即ba

a＝4b时取等号

)，所以x2＋2x<8，解得－4<x<2.A组专题通关1＋a21．若log2a1＋a<0，则a的取值范围是________．答案(12，1)2分析当2a>1?a>1时，若log2a1＋a<0，21＋a21＋a则0<1＋a<1?0<a<1，12<a<1.当1>2a>0?0<a<1时，21＋a21＋a2若log2a1＋a<0，则1＋a>1?a>1，此时无解．2．函数y＝1＋2x＋a·4x在x∈(－∞，1]上y>0恒建立，则a的取值范围是_________.答案(－34，＋∞)分析由题意得1111112＋a>[－(xxx，＋∞)，所以－(xx)＝－(t4＋2)]max(x≤1)，令t＝2，则t∈[24＋2t)≤－3，进而a>－3.44x＋1≥0，3．设变量x，y知足拘束条件x＋2y－2≥0，则目标函数z＝3x＋4y的最小值为________．2x－y－2≤0，答案3x＋1≥0，分析作出不等式组x＋2y－2≥0，表示的平面地区如下图(图中暗影部分)，作出直线2x－y－2≤033x＋4y＝0并平移，可知当直线

z＝3x＋4y经过点

(－1，2)时，z获得最小值，最小值为

3.4．设x≥0,y≥0，x2＋y2＝1，则x1＋y2的最大值为____________．2答案324分析方法一2y2∵x≥0,y≥0,x＋＝1，222221＋y2∴x1＋y＝x(1＋y)＝2x2x2＋1＋y2x2＋y2＋1≤222＝222＝3224.当且仅当x＝3221＋y22获得最大值32，y＝2(即x＝)时，x1＋y4.22方法二令x＝cosθ，πy＝2sinθ(0≤θ≤)，2则x1＋y2＝cosθ1＋2sin2θ＝2212cosθ(1＋2sinθ)·2≤12cos2θ＋(1＋2sin2θ)2＝32，2·[2]4当2cos2θ＝1＋2sin2θ，π32232即θ＝6时，x＝2，y＝2时，x1＋y获得最大值4.x≥1，则2y－1的最大值为________．5．已知实数x，y知足拘束条件x＋y≤5，x－y≤－2，2x＋3答案751分析可行域为一个三角形ABC及其内部，此中A(1,4)，B(1,3)，C(3，7)，而2y－1＝y－2表222x＋33x＋24－1示可行域内的点3127.P(x，y)到点E(－，)连线的斜率，所以其最大值为kEA＝＝22351＋20≤x≤2，6．已知不等式组x＋y－2≥0，所表示的平面地区的面积为4，则k的值为________．kx－y＋2≥0答案10≤x≤2，分析先作出不等式组表示的平面地区，可得点x＋y－2≥00≤x≤2，(2,0)，(0,2)．要使不等式组x＋y－2≥0，表示的平面地区的面kx－y＋2≥0积为4，那么直线kx－y＋2＝0与直线x＝2的交点应为(2,4)，将其代入kx－y＋2＝0，得k＝1.7．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．答案160分析由题意知，体积V＝4m3，高h＝1m，24所以底面积S＝4m，设底面矩形的一条边长是xm，则另一条边长是xm，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×2x＋8≥80＋2088时获得等号．x2x·＝160，当且仅当2x＝，即x＝2xx8．已知x>0，y>0，若2y＋8x>m2＋2m恒建立，则实数m的取值范围是________．xy答案(－4,2)分析由题意可得m2＋2m应小于2y＋8x的最小值，所以由基本不等式可得2y＋8xxyxy≥22y8x·＝8，xy所以m2＋2m<8?－4<m<2.9．设0<a<1，会合A＝{x∈R|x>0}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B，求会合D.(用区间表示)解令g(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a，3其对称轴方程为x＝4(1＋a)，9(1＋a)2－48a＝9a2－30a＋9＝3(3a－1)(a－3)．①当1时，Δ≥0，x＝3，g(0)＝6a>0，0<a≤(1＋a)>034方程g(x)＝0的两个根分别为0<x1＝3a＋3－9a2－30a＋94<3a＋3＋9a2－30a＋9x2＝，4∴D＝A∩B＝3a＋3－9a2－30a＋90，∪43a＋3＋9a2－30a＋94，＋∞；1②当3<a<1时，<0，则g(x)>0恒建立，所以D＝A∩B＝(0，＋∞)．1综上所述，当0<a≤时，32D＝0，3a＋3－9a－30a＋9∪23a＋3＋9a－30a＋9，＋∞；41当3<a<1时，D＝(0，＋∞)．10．运货卡车以每小时

x千米的速度匀速行驶

130千米(按交通法例限制

50≤x≤100)(单位：千米/小时)．假定汽油的价钱是每升

2元，而汽车每小时耗油

x2(2＋360)升，司机的薪资是每小时14元．(1)求此次行车总花费y对于x的表达式；当x为什么值时，此次行车的总花费最低，并求出最低花费的值．130解(1)行车所用时间为t＝x(h)，2130，x∈[50,100]．130xy＝x×2×(2＋360)＋14×x所以，此次行车总花费y对于x的表达式是2340＋13y＝x18x，x∈[50,100]．234013234013(2)y＝x＋18x≥2610，当且仅当x＝18x，即x＝1810时，上述不等式中等号建立．故当x＝1810时，此次行车的总花费最低，最低花费为2610元．B组能力提升11．(2016陕·西改编)设f(x)＝lnx,0＜a＜b，若p＝f(ab)，q＝fa＋b12，r＝(f(a)＋f(b))，则p、2q、r的大小关系为____________．答案p＝r＜q分析∵0＜a＜b，∴a＋b＞ab，2又∵f(x)＝lnx在(0，＋∞)上为增函数，故fa＋b＞f(ab)，即q＞p.2又r＝1(f(a)＋f(b))＝1(lna＋lnb)221112lna＋2lnb＝ln(ab)2f(ab)＝p.故p＝r＜q.12．已知正实数m，n知足m＋n＝1，且使1＋16获得最小值，若曲线αP(mnny＝x过点5，)，m4则α的值等于________．答案12分析由于正实数m，n知足m＋n＝1，所以1＋16＝m＋n＋16m＋16n＝n＋16m＋17≥25，mnmnmn141＋16获得最小值．所以曲线α1，1)，即11α当且仅当m＝，n＝时，ny＝x过点P(255＝(25)，55m51所以α＝.2x＋y≤1，13．已知不等式组x－y≥－1，所表示的平面地区为D，若直线(m＋2)x－(m＋1)y＋2＝0y≥0与平面地区D有公共点，则实数m的取值范围为________________．答案(－∞，－4]∪[0，＋∞)x＋y≤1，分析如下图，不等式组x－y≥－1，对应的平面地区D是以y≥0点(－1,0)，(0,1)和(1,0)为极点的三角形．直线(m＋2)x－(m＋1)y＋2＝0可化为m(x－y