【创新设计】江苏高考数学文二轮专题复习演练1.2平面向量、推理证明与复数(含答案解析)

第2讲平面向量、推理证明与复数5i1．(2013·重庆)已知复数z＝1＋2i(i是虚数单位)，则|z|＝________.分析|z|＝5i＝|5i|＝5＝5.1＋2i|1＋2i|5答案5→2．(2013·辽宁改编)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为________.分析→，－－＝，－，(41)(34)(1,3)→→3，－4AB.∴与AB同方向的单位向量为＝→55|AB|4答案5，－53．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝________.分析∵a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，由a⊥c，得a·c＝2x－4＝0，∴x＝2.由b∥c，得1×(－4)－2y＝0，∴y＝－2.所以a＋b＝(2,1)＋(1，－2)＝(3，－1)，则|a＋b|＝10.答案101＋2i4.1－i2＝________.1＋2i1＋2ii－21分析－i2＝－2i＝2＝－1＋2i.11答案－1＋2i→→5．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，AB·BC＝1，则BC＝________.→→分析∵AB·BC＝1，且AB＝2，→→∴1＝|AB||BC|cos(－πB)，→1∴|BC|cosB＝－2.在△ABC中，|AC|2＝|AB|2＋|BC|2－2|AB||BC|·cosB，即9＝4＋|BC|2－12×2×－2.∴|BC|＝3.答案36．(2013·山东)复数z＝2－i2i(i为虚数单位)，则|z|＝________.分析z＝3－4i＝－4－3i，i|z|＝－42＋－32＝5.答案57．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.分析∵c＝ta＋(1－t)b，且〈a，b〉＝60°，2∴c·b＝ta·b＋(1－t)·bt×1×1×cos60＋°(1－t)×12＝0，1则1－2t＝0，∴t＝2.答案28．(2013·陕西高考)察看以下等式12＝112－22＝－312－22＋32＝612－22＋32－42＝－10照此规律，第n个等式可为________．分析左侧共n项，每项的符号为(－1)n＋1，通项为(－1)n＋1·n2.等式右侧的值符号为(－1)n＋1，各式为(－1)n＋1(1＋2＋3＋＋n)＝(－1)n1nn＋1，＋22222n12n1nn＋1∴第n个等式为1－2＋3－4＋＋(－1)＋·n＝(－1)＋·2.答案2222n＋12＝(－1)n＋1nn＋11－2＋3－4＋＋(－1)n·21知足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·29．已知复数zz是实数，求z2.解∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，1－i1－i2∴z1＝1＋i＋2＝2＋2＝2－i，设z2＝a＋2i(a∈R)，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.又z1·z2是实数，∴a＝4，进而z2＝4＋2i.π10．(2013·辽宁)设向量a＝(3sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈0，2.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．解(1)由|a|2＝(3sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.π1又x∈0，2，进而sinx＝2，π所以x＝6.(2)f(x)＝a·b＝3sinx·cosx＋sin2x311＝2sin2x－2cos2x＋21sin2x－6＋2，πππ5当x∈0，2时，－6≤2x－6≤6π，∴当2x－ππ6＝2时，π－π即x＝时，sin取最大值1.32x63所以f(x)的最大值为2.an＋bn11．(2012·江苏)已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}知足：an＋1＝an2＋bn2，n∈N*.n*bn2(1)设bn＋1＝1＋，求证：数列an是等差数列；n，n∈Na(2)设bn＋1＝bn*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．2·，n∈Nanbn(1)证明∵bn＋1＝1＋an，∴an＋1＝a22＝b.n＋bnn＋1an＋bnbn21＋an∴b＝1＋b2.n＋1nan＋1an∴bn＋12bn21＋bn22bn2*)．n＋1－＝n－＝1(n∈Naa∴数列bn2是以1为公差的等差数列．na(2)解∵an＞0，bn＞0，2an＋bn222∴≤an＋bn＜(an＋bn).an＋bn2.(*)∴1＜an＋1＝n2＋bn2≤a设等比数列{an}的公比为，由n＞0，知q＞0，下边用反证法证明q＝1.qaa2若q＞1，则a1＝q＜a2≤2，∴当n＞logq2n2，与(*)矛盾．a1时，an＋1＝a1q＞a2若0＜q＜1，则a1＝q＞a2＞1，1n∴当n＞logq时，an＋1＝a1q＜1，与(*)矛盾．∴综上所述，q＝1.∴an＝a1∈*)，∴＜1≤2.(nN1a又∵bn＋1＝bn2·n∈*，2·＝N)aab(nn12∴{bn}是公比是a1的等比数列．2若a1≠2，则a1＞1，于是b1＜b2＜b3.an＋bn又