名师教案 高中数学人教B版 必修 第二册 数乘向量

课程基本信息课题数乘向量教科书书名：普通高中教科书数学必修第二册B版出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月教学目标教学目标：通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及其结合律，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.教学重点：数乘向量的定义、两个向量共线的含义.教学难点：两个向量共线的含义教学过程时间教学环节主要师生活动概念引入数乘向量的定义向量共线的判定几何意义结合律例题变式1.数乘向量的定义（1）实例：大家已经知道了多个向量相加结果依然是个向量，那么给定一个向量a，三个向量相加和三个向量相加，结果和有着怎样的关系呢？根据向量加法的三角形法则，首尾相接,不难发现，向量3个相加和3个的相加得到的向量模都是向量的模的3倍，前者方向与的方向相同，后者方向与的方向相反.类比实数乘法，三个向量相加可以简记为,三个向量相加简记为.（2）归纳概括数乘向量的定义：根据上面的实例，我们可以归纳出实数与任意一个向量的乘积的模和方向与向量的模和方向的关系.将以上讨论的结果整理如下，得到数乘向量的定义：一般地，给定一个实数与任意一个向量，规定它们的乘积是一个向量，记作，其中：（1）当时，的模为，而且的方向如下：①当时，与方向相同；②当时，与方向相反.(2)当时.上述实数与向量相乘的运算简称为数乘向量。2.向量共线的判定由定义可知：与共线（平行），第一种情况，与的方向相同或相反，根据向量共线的定义可以得到二者共线；第二种情况结果是零向量，而零向量与任意向量共线。上面的结论我们也这样表述：对于两个向量，如果存在实数，使得，则。我们可以把这个命题作为两个向量是否共线的判定依据。3.数乘向量的几何意义从前面的实例中，我们不难发现，数乘向量相当于把向量沿着它的方向或反方向放大或缩小。如就是把沿着它的方向缩小，就是把沿着它的反方向放大，注意这里所说的放大和缩小都是针对向量的模而言。4.数乘向量的结合律为了满足运算和表达的需要，类比数量的乘法结合律，我们可以得到数乘向量的结合律.这个等式怎么理解呢？来看一个具体的例子：，从数乘向量的几何意义来理解：等式左边，可以看作把向量先沿着它的方向放大4倍得到，再沿的方向放大3倍，总的来说相当于沿着的方向放大12倍，也就是等式右边所表达的向量。当然，容易验证若至少有一个为负数时，结合律也是成立的。5.例题例.已知，，其中为非零向量，判断与是否平行，并求的值。分析：首先从几何直观感受，再进行代数推理。判断两个向量是否平行，就是看能否把其中一个向量写成另一个向量的数乘向量的形式。由得，代入得，因此，且，即.注意：两个向量的模可以写成比的形式，因为这是两个实数的比值，但是两个向量不能写成比的形式.变式：已知，，其中为非零向量，判断三点是否共线.如果共线，求出的值.三点共线问题：小结一般地，如果存在实数，使得，则与平行且有公共点，从而三点一定共线。同时根据的正负，可以得到三点的相对位置，由进一步可以确定三点的具体位置.课堂小结作业今天我们类比实数乘法，得到数乘向量的定义，在此基础上我们得到两向量共线的判定依据、数乘向量的几何意义、数乘向量的结合律，最后我们探