2023年高中数学《空间几何体的表面积和体积》自测试题

2023年高中数学《空间几何体的表面积和体积》自测试题【梳理自测】一、柱、锥、台和球的侧面积和体积1．已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是()A.eq\r(3)B．3C．4D．52．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为()A．48(3＋eq\r(3))B．48(3＋2eq\r(3))C．24(eq\r(6)＋eq\r(2))D．1443．棱长为2的正四面体的表面积是()A.eq\r(3)B．4C．4eq\r(3)D．164．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．5．如图所示，在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且PB1＝eq\f(1,4)A1B1，则多面体P－BB1C1C的体积为________．答案：1.B2.A3.C4.12＋π5.eq\f(16,3)◆以上题目主要考查了以下内容：柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝2πrhV＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h直棱柱S侧＝ChV＝Sh正棱锥S侧＝eq\f(1,2)Ch′(h′为斜高)V＝eq\f(1,3)Sh正棱台S侧＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上·S下))h球S球面＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3二、几何体的表面积1．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面积之和．【指点迷津】1．一种数学思想计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．2．两种位置：球的组合体的内切与外接如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题．3．三种方法——求空间几何体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算．(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等．(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体．考向一几何体的表面积与侧面积例题1(1)(2023·高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A．28＋6eq\r(5)B．30＋6eq\r(5)C．56＋12eq\r(5)D．60＋12eq\r(5)(2)(2023·广州市高三调研)已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P－ABCD的四个侧面中面积最大的是()A．3B．2eq\r(5)C．6D．8【审题视点】根据几何体的三视图画出其直观图，利用直观图的图形特征求其表面积或侧面积．【典例精讲】(1)由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4.∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5.又CD⊥BD，CD⊥AE，∴CD⊥平面ABD，故CD⊥AD，∴AC＝eq\r(41)且S△ACD＝10.在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，故AB＝2eq\r(5).在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4，故S△BCD＝10，且BC＝eq\r(41).在△ABD中，AE＝4，BD＝5，故S△ABD＝10.在△ABC中，AB＝2eq\r(5)，BC＝AC＝eq\r(41)，则AB边上的高h＝6，故S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(5)×6＝6eq\r(5).因此，该三棱锥的表面积为S＝30＋6eq\r(5).(2)由三视图知四棱锥如图所示，N为CD的中点，M为AB的中点，易知PM＝3，PN＝eq\r(5)，S△PDC＝eq\f(1,2)×4×eq\r(5)＝2eq\r(5)，S△PBC＝S△PAD＝eq\f(1,2)×2×3＝3，S△PAB＝eq\f(1,2)×4×3＝6.故选C.【答案】(1)B(2)C【类题通法】(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积的和．(2)若所给的几何体是规则的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；(3)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解．变式训练1．(2023·潍坊市考前适应性训练)如图为某个几何体的三视图，则该几何体的侧面积为()A．16＋4πB．12＋4πC．16＋8πD．12＋8π解析：选A.该几何体是半圆柱和一个三棱柱的组合体，其侧面积为4π＋6＋10＝16＋4π.考向二几何体的体积例题2(1)(2023·辽宁省五校联考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.(2)(2023·高考重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(560,3)B.eq\f(580,3)C．200D．240【审题视点】由三视图分清是旋转体，还是多面体或是组合体，然后求出计算体积所需要的量，代入公式．【典例精讲】(1)该几何体的直观图为上为圆台、下为半球的组合体，其体积V＝eq\f(1,3)π×3×(42＋4×2＋22)＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×43＝eq\f(84π,3)＋eq\f(128π,3)＝eq\f(212π,3).(2)先将三视图还原为空间几何体，再根据体积公式求解．由三视图知该几何体为直四棱柱，其底面为等腰梯形，上底长为2，下底长为8，高为4，故面积为S＝eq\f(（2＋8）×4,2)＝20.又棱柱的高为10，所以体积V＝Sh＝20×10＝200.【答案】(1)eq\f(212,3)π(2)C【类题通法】(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．变式训练2．(2023·郑州市二测)一个几何体的三视图及其尺寸如图所示(单位：cm)，其中正(主)视图是直角三角形，侧(左)视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是()A.eq\f(π,2)cm3B.eq\f(π,3)cm3C.eq\f(π,4)cm3D．πcm3解析：选A.依题意得，该几何体是一个圆锥的一半(沿圆锥的轴剖开)，其中该圆锥的底面半径为1、高为3，因此该几何体的体积为eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×π×12×3))＝eq\f(π,2)cm3，选A.考向三球的组合体及球的性质例题3(1)(2023·高考全国卷)已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为________．(2)(2023·安徽省“江南十校”联考)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．【审题视点】(1)利用球的截面性质求解三角形．(2)寻找球的直径与几何体边长间的关系．【典例精讲】(1)如图，设球O的半径为R，则由AH∶HB＝1∶2得HA＝eq\f(1,3)·2R＝eq\f(2,3)R，∴OH＝eq\f(R,3).∵截面面积为π＝π·(HM)2，∴HM＝1.在Rt△HMO中，OM2＝OH2＋HM2，∴R2＝eq\f(1,9)R2＋HM2＝eq\f(1,9)R2＋1，∴R＝eq\f(3\r(2),4).∴S球＝4πR2＝4π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,2)π.(2)依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线，∴2R＝2eq\r(3)(R为球的半径)，∴R＝eq\r(3).∴球的体积V＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.【答案】(1)eq\f(9,2)π(2)4eq\r(3)π【类题通法】解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．变式训练3．(2023·长春模拟)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的eq\f(3,16)，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．解析：如图，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.由题意得πr2＝eq\f(3,16)×4πR2.∴r2＝eq\f(3,4)R2，根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，且AB⊥O1C.∴OO1＝eq\r(R2－r2)＝eq\f(1,2)R，因此体积较小的圆锥的高AO1＝R－eq\f(1,2)R＝eq\f(R,2)，体积较大的圆锥的高BO1＝R＋eq\f(R,2)＝eq\f(3,2)R.且这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)几何体体积的计算方法典型例题(2023·高考江苏卷)如图，在三棱柱A1B1C1－ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点．设三棱锥F－ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1－ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________．【方法分析】①题目条件：在三棱柱ABC－A1B1C1中，从侧棱及底边中点处分割出一个三棱锥．②解题目标：两个几何体体积之比．③关系探究：(ⅰ)把三棱柱看作是任意三棱柱：通过点D，E，F为中点得出三棱柱与三棱锥的底面面积以及高之间的关系，然后利用体积公式得到体积之间的比值．(ⅱ)把三棱柱看作任意三棱柱，根据同底同高的三棱锥与三棱柱体积之间的关系，直接得出答案．(ⅲ)把三棱柱看作特殊三棱柱：如正三棱柱，并设出各棱长，具体计算体积．【解答过程】方法(ⅰ)设三棱柱的底面ABC的面积为S，高为h，则其体积为V2＝Sh.因为D，E分别为AB，AC的中点，所以△ADE的面积等于eq\f(1,4)S.又因为F为AA1的中点，所以三棱锥F－ADE的高等于eq\f(1,2)h，于是三棱锥F－ADE的体积V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)S·eq\f(1,2)h＝eq\f(1,24)Sh＝eq\f(1,24)V2，故V1∶V2＝1∶24.方法(ⅱ)连接A1C，A1B，则V1＝eq\f(1,8)VA1－ABC，而VA1－ABC＝eq\f(1,3)V2，∴V1＝eq\f(1,24)V2.方法(ⅲ)若三棱柱A1B1C1－ABC为正三棱柱，设AB＝2，AA1＝2.则V2＝Sh＝eq\f(\r(3),4)×22×2＝2eq\r(3)，V1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×1＝eq\f(\r(3),12)，∴V1∶V2＝1∶24.【答案】1∶24【回归反思】(1)对于规则几何体体积的大小可直接考虑底面积与高的量．(2)用特殊代替一般可解决体积比(面积比)之类的问题．(3)在锥体中平行于底的截面分割出的小锥体与原锥体的体积比为相似比的立方．真题体验1．一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．200＋9πB．200＋18πC．140＋9πD．140＋18π解析：选A.由三视图可知该几何体的下面是一个长方体，上面是半个圆柱组成的组合体．长方体的长、宽、高分别为10、4、5，半圆柱底面圆半径为3，高为2，故组合体体积V＝10×4×5＋9π＝200＋9π.2．(2023·高考辽宁卷)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)解析：选C.根据球的内接三棱柱的性质求解．因为直三棱柱中AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝eq\r(122＋52)＝13，即R＝eq\f(13,