优选教案：高中数学人教B版 必修 第一册 不等式及其性质

第二章等式与不等式《2.2.1不等式及其性质》教学设计第2课时教学目标1．掌握不等式5个性质与5个推论．2．掌握用综合法、反证法、分析法证明不等式．3．熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方法证明不等式．教学重难点教学重点：1．掌握不等式5个性质与5个推论．2．掌握用综合法、反证法、分析法证明不等式．3．熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方法证明不等式．教学难点：正确选用性质、推论和思想方法来证明不等式．课前准备PPT课件．教学过程一、整体概述问题1：阅读课本第61~63页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节研究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．预设的答案：（1）本节将要研究不等式的性质及其推论以及证明不等式的方法．（2）起点是不等式的性质及部分推论，目标是掌握不等式的性质及其推论，正确选用性质、推论和思想方法来证明不等式．进一步提升逻辑推理素养．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．二、探索新知1．温故知新复习不等式的性质及两个推论：性质1如果a>b，那么__________．性质2如果a>b，c>0，那么__________．性质3如果a>b，c<0，那么__________．性质4如果a>b，b>c，那么__________．性质5a>b⇔__________．推论1如果a+b>c，那么__________．推论2如果a>b，c>d，那么__________．师生活动：学生回答．预设的答案：a+c>b+c；ac>bc；ac<bc；a>c；b<a；a>c－b；a+c>b+d．问题：推论2是同向不等式的可加性，那么有没有类似的与乘法有关的性质呢？设计意图：通过复习所学不等式的性质及推论，自然想到不等式有没有其它性质．2．探究新知知识点1不等式的性质推论师生活动：教师引导，学生回答．根据不等式性质2与性质4可得：推论3如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd．证明根据性质2有a>b，c>0⇒ac>bc．c>d，b>0⇒bc>bd．再根据性质4可知ac>bd．很明显，这个推论也可以推广为更一般的结论：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．设计意图：从同向不等式的可加性出发，类似地推证出同向同正不等式可乘的性质，有利于提高学生的合情推理以及推理论证能力．师生活动：教师引导，学生回答．多次使用推论3的结论还可以得到：推论4如果a>b>0，那么an>bn（n∈N，n>1）．问题：不等式有没有与开方有关的性质呢？师生活动：师生一起猜想，得到结论后，教师给出证明．推论5如果a>b>0，那么．证明假设，即或．根据推论4和二次根式的性质，得a<b或a=b．这都与a>b矛盾，因此假设不成立，从而．【思考】证明推论5中不等式的方法具有什么特征？师生活动：师生一起探讨：可以看出，推论5中证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．教师总结：这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法．反证法的一般步骤：三、初步应用例1（1）已知a>b>0，0<c<d，求证：（2）设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d．证明：若ab>cd，则．师生活动：教师引导，学生回答．教师写出规范解答．预设的答案：证明：（1）因为0<c<d，根据（2）的结论，得．又因为a>b>0，所以根据推论3可知，即．（2）法一）由题设知ab>cd>0，则．又a＋b＝c＋d．则，即而，，故．法二）因为ab>cd>0，则，所以．又a＋b＝c＋d，所以．即．又，，故．方法总结：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法．综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论．在证明不等式时，当然也可直接利用已经证明过的不等式性质等．设计意图：通过本例让学生熟悉综合法的证明方法和格式．例2你能证明不等式吗？用综合法证明这个结论方便吗？你觉得可以怎样证明这个结论？师生活动：教师引导，学生回答．直接证明并不容易，因此可以考虑用反证法，请同学们完成．预设的答案：法一）假设不等式不成立，则．两边平方得，所以，所以，该不等式显然不成立，所以原不等式成立．法二）师生一起分析，教师写出规范解答：要证，只需证明．展开得10+2<20，即<5，这只需证明．即21<25．因为21<25成立，所以成立．教师总结：上述这种证明方法通常称为分析法．分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为pq，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件．的证明过程也可简写为：因为<521<25．又因为21<25成立，所以结论成立．设计意图：通过本例让学生熟悉分析法的证明方法和格式．例3已知m>0，求证：师生活动：教师引导，学生回答．预设的答案：证明：因为m>0，所以3+m>0，从而，又因为已知m>0，所以结论成立．设计意图：通过本例让学生进一步熟悉分析法的证明方法和格式．练习：教科书P54练习A5四、归纳小结，布置作业1．板书设计：2.2.1不等式及其性质1．不等式的基本性质（1）对称性：a＞b⇔b＜a．（2）传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c．（3）可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c．（4）可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc．（5）加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d．（6）乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd．（7）乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0（n∈N，n≥2）．（8）开方法则：a＞b＞0⇒反证法例1综合法例2分析法例32．总结概括：回顾本节课，你有什么收获？（1）不等式的性质推论（2）证明不等式的方法师生活动：学生总结，老师适当补充．