《高考导航》新课标数学(理)一轮复习讲义专题讲座一范围与最值问题

专题讲座一范围与最值问题最值、范围问题是历年高考的热门问题，持久不衰．最值与范围问题多在函数与导数、数列、立体几何、圆锥曲线中考察．解题的重点是不等关系的成立，其门路好多，诸如鉴别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数性质法，数形联合法等等．下边介绍一下函数与导数中的最值与范围问题．函数的最值函数的最值问题是其余最值问题的基础之一，很多最值问题最后老是转变为函数(特别是二次函数)的最值问题．求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单一性、导数法、鉴别式法、有界性、图象法等．(1)对a，b∈R，记max{a，b}＝a，a≥b，函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)b，a＜b，的最小值是________；(2)已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，则函数y的最小值是________．[分析](1)由|x＋1|≥|x－2|，得(x＋1)2≥(x－2)2，解得x≥12.1|x＋1|，x≥2，因此f(x)＝其图象以下图．1|x－2|，x＜2，1由图形，易知当x＝2时，函数有最小值，因此113f(x)min＝f2＝2＋1＝2.(2)y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2.令t＝ex＋e－x，则f(t)＝t2－2at＋2a2－2.由于t≥2，因此f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)．由于抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a，因此当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2；当a＞2时，ymin＝f(a)＝a2－2.又f(t)的定义域为[2，＋∞)，故y的最小值是a2－2.32[答案](1)2(2)a－2[规律方法]第(1)题是将问题转变为分段函数的最值问题后，再利用数形联合的方法求解函数最值问题，其重点是先画出图形，进而借助图形直观地解决问题．第(2)题第一利用换元法转变为二次函数，再利用二次函数的性质求最值，求解中要特别注意自变量的取值范围．实质问题中的最值在数学应用性问题中常常碰到相关用料最省、目标函数，转变为求函数的最值．(2015江·苏徐州检测)现有一张长为

成本最低、利润最大等问题，可考虑成立80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求资料利用率为100%，不考虑焊接处损失，如图，若从长方形ABCD的一个角上剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下资料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为x(cm)，高为y(cm)，体积为V(cm3)．(1)求出x与y的关系式；(2)求该铁皮盒体积V的最大值．[解](1)由题意得x2＋4xy＝4800，即y＝4800－x24x，0＜x＜60.4800－x2(2)铁皮盒体积22V(x)＝xy＝x·4x13＝－4x＋1200x，V′(x)＝－34x2＋1200.令V′(x)＝0，得x＝40，由于x∈(0，40)时，V′(x)＞0，V(x)是增函数；x∈(40，60)时，V′(x)＜0，V(x)是减函数，因此V(x)＝－1x3＋1200x在x＝40时获得极大值，也是最大值，且最大值为32000cm3.4因此该铁皮盒体积V的最大值是32000cm3.[规律方法]此题是求几何体体积的最值，求解思路是建立目标函数，再利用导数研究函数的最值．参数范围确实定函数的最值多与参数范围联合命题，求最值时，多利用分类议论思想，由最值问题求参数可转变为恒成立问题求解．x＋a(2015陕·西西安模拟)已知函数f(x)＝x2＋3a2(a≠0，a∈R)．(1)求函数f(x)的单一区间；(2)当a＝1时，若对随意x1，x2∈[－3，＋∞)，有f(x1)－f(x2)≤m成立，务实数m的最小值．－（x－a）（x＋3a）[解]f′(x)＝（x2＋3a2）2.令f′(x)＝0，解得x＝a或x＝－3a.(1)当a>0时，f′(x)，f(x)跟着x的变化以下表：x(－∞，－3a)－3a(－3a，a)a(a，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值函数f(x)的单一递加区间是(－3a，a)，函数f(x)的单一递减区间是(－∞，－3a)，(a，＋)．当a<0时，f′(x)，f(x)跟着x的变化以下表：xf′(x)

(－∞，－

a)

a0

(a，－3a)＋

－3a0

(－3a，＋∞)－f(x)

极小值

极大值函数f(x)的单一递加区间是(a，－3a)，函数f(x)的单一递减区间是(－∞，a)，(－3a，＋∞)．(2)当a＝1时，由(1)得f(x)是(－3，1)上的增函数，是(1，＋∞)上的减函数．x＋1>0，又当x>1时，f(x)＝x2＋311因此f(x)在[－3，＋∞)上的最小值为f(－3)＝－6，最大值为f(1)＝2.因此对随意x1，x2∈[－32，＋∞)，f(x1)－f(x2)≤f(1)－f(－3)＝.3因此对随意x1，x2∈[－3，＋∞)，使f(x122)－f(x)≤m恒成立的实数m的最小值为3.[规律方法]恒成立问题能够转变为我们较为熟习的求最值的问题进行求解，如此题中求m的最小值，转变为求f(x1)－f(x2)的最大值．1．(2014高·考浙江卷改编)已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|(a>0)，若f(x)在[－1，1]上的最小值记为g(a)．求g(a)．解：由于a>0，－1≤x≤1，因此(1)当0<a<1时，若x∈[－1，a]，则f(x)＝x3－3x＋3a，f′(x)＝3x2－3<0，故f(x)在(－1，a)上是减函数；若x∈[a，1]，则f(x)＝x3＋3x－3a，f′(x)＝3x2＋3>0，故f(x)在(a，1)上是增函数．因此g(a)＝f(a)＝a3.(2)当a≥1时，有x≤a，则f(x)＝x3－3x＋3a，f′(x)＝3x2－3<0，故f(x)在(－1，1)上是减函数，因此g(a)＝f(1)＝－2＋3a.a3，0<a<1，综上，g(a)＝2＋3a，a≥1.2．某公司为了获取更大的利润，每年要投入必定的资本用于广告促销．经检查，每年投入广告费t(百万元)，可增添销售额为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内，则应投入多少广告费，才能使公司由广告费而产生的利润最大？此刻该公司准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造．经估算，每投入技术改造费x(百万元)，可增添的销售额约为－1x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资本分派方案，3使该公司由这两项共同产生的利润最大．解：(1)设投入广告费t(百万元)后由此增添的利润为f(t)(百万元)，则f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)．因此当t＝2时，f(t)max＝4，即当公司投入两百万元广告费时，才能使公司由广告费而产生的利润最大．(2)设用于技术改造的资本为x(百万元)，则用于广告促销的花费为(3－x)(百万元)，则由此两项所增添的利润为132213g(x)＝－3x＋x＋3x＋[－(3－x)＋5(3－x)]－3＝－3x＋4x＋3(0≤x≤3)．对g(x)求导，得g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝－x2＋4＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．当0≤x＜2时，g′(x)＞0，即g(x)在[0，2)上单一递加；当2＜x≤3时，g′(x)＜0，即g(x)在(2，3]上单一递减．25∴当x＝2时，g(x)max＝g(2)＝3.故在三百万元资本中，两百万元用于技术改造，一百万元用于广告促销，这样公司由此所增添的利润最大，最大利润为25百万元．33．(2015贵·州省六校结盟第一次联考)已知函数f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R)．(1)当a＝2时，求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；1，e上有两个零点，务实数m的取值范围．(2)若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在e解：(1)当a＝2时，f(x)＝2lnx－x2＋2x，f′(x)＝2－2x＋2，切点坐标为(1，1)，x切线的斜率k＝f′(1)＝2，则切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(2)g(x)＝2lnx－x2＋m，2－2（x＋1）（x－1）则g′(x)＝x－2x＝x，11∵x∈e，e，∴当g′(x)＝0时，x＝1.当e<x<1时，g′(x)>0；当1<x<e时，g′(x)<0.故g(x)在x＝1处获得极大值g(1)＝m－1.1121211又ge＝m－2－e2，g(e)＝m＋2－e，g(e)－ge＝4－e＋e2<0，则g(e)<ge，1∴g(x)在e，e上的最小值是g(e)．1g（1）＝m－1>01g(x)在e，e上有两个零点的条件是g11，解得1<m≤2＋e2，e＝m－2－2≤0e1∴实数m的取值范围是1，2＋e2.4．(2015河·南省洛阳市统考1－x＋lnx＋1.)已知函数f(x)＝ax(1)若函数f(x)在[1，2]上单一递减，务实数a的取值范围；1(k－1)·lnx－1，求函数F(x)在1，e上的最大(2)若a＝1，k∈R且k<，设F(x)＝f(x)＋ee值和最小值．ax－1解：(1)由题设可得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ax2.明显a≠0.∵函数f(x)在[1，2]上单一递减，ax－1∴当x∈[1，2]时，不等式f′(x)＝ax2≤0恒成立，即1≥x恒成立．a11∴≥2，∴0<a≤，a21∴实数a的取值范围是0，2.1－x＋lnx＋1，(2)a＝1，k∈R，f(x)＝x1－xF(x)＝f(x)＋(k－1)lnx－1＝x＋klnx，－x－（1－x）kkx－1F′(x)＝x2＋x＝x2.111①若k＝0，则F′(x)＝－x2，在e，e上，恒有F′(x)<0，∴F(x)在e，e上单一递减，1－e1∴F(x)min＝F(e)＝e，F(x)max＝Fe＝e－1.kx－1kx－1k②若k≠0，F′(x)＝2＝x2.x11kx－k(ⅰ)若k<0，在e，e上，恒有x2<0，1∴F(x)在e，e上单一递减，1－e1∴F(x)min＝F(e)＝e＋klne＝e＋k－