棱锥体积推导

关于棱锥体积推导第一页，共四十二页，编辑于2023年，星期一复习：

1、等底面积等高的两个柱体体积相等。

2、V柱体＝Sh

3、柱体体积公式的推导

第二页，共四十二页，编辑于2023年，星期一柱体体积公式的推导：等底面积等高的几个柱体被平行于平面α的平面所截截面面积始终相等体积相等∵V长方体＝abc∴V柱体＝Sh

α第三页，共四十二页，编辑于2023年，星期一问题：对比柱体体积公式的推导及结论，猜想一下锥体体积是否具有相似的结论？第四页，共四十二页，编辑于2023年，星期一定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。αh1S1h1S2hShS取任意两个锥体，它们的底面积为S，高都是h＋平行于平面α的任一平面去截＋截面面积始终相等＝两个锥体体积相等第五页，共四十二页，编辑于2023年，星期一定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。αh1S1h1S2hShS证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。

把这两个锥体放在同一个平面α上，这是它们的顶点都在和平面α平行的同一个平面内，用平行于平面α的任一平面去截它们，截面分别与底面相似，设截面和顶点的距离是h1，截面面积分别是S1\S根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。第六页，共四十二页，编辑于2023年，星期一=+=先割后补先补后割第七页，共四十二页，编辑于2023年，星期一与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCA1C1B1第八页，共四十二页，编辑于2023年，星期一与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。ABCA1C1B1第九页，共四十二页，编辑于2023年，星期一BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。BCA’B’CA’C1B1ABCA1第十页，共四十二页，编辑于2023年，星期一ABCA1C1B1把三棱锥1以△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱。猜测三棱锥的体积公式:第十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期一ABCA1C1B1连接B1C,然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥。

就是三棱锥1

和另两个三棱锥2、3。１23猜测三棱锥的体积公式:第十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期一

就是三棱锥1

和另两个三棱锥2、3。BCA1B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CA1C1B1ABCA1BCA’B’CAC1B1ABCA1BCA’B’CA’C1B1ABCA1１23猜测三棱锥的体积公式:第十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期一BCA1B12CA1C1B13ABCA11三棱锥1、2的底△ABA’、△B’A’B的面积相等。第十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期一CA1C1B13ABCA11BCA1B12BCA’B’2ABCA11BCA1B’2ABCA11三棱锥1、2的底△ABA’、△B’A’B的面积相等，高也相等（顶点都是C）。A1BCA1B12BCB’2ABC1BCA1B12ABC1高第十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期一ABCA11CA1C1B13BCA1B12三棱锥2、3的底△BCB’、△C’B’C的面积相等。第十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期一ABCA11CA1C1B13BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCA1B12BCAB12三棱锥2、3的底△BCB1、△C1B1C的面积相等。高也相等（顶点都是A1）。高第十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期一V1＝V2＝V3＝V三棱柱猜测:如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝V三棱柱=ShABCA11CA1C1B13BCA1B12第十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期一定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么

它的体积是V三棱锥＝Sh定理证明：已知：三棱锥1（A1-ABC）的底面积S,高是h.求证:V三棱锥＝Sh证明:把三棱锥1以△ABC为底面、AA1为侧棱补成一个三棱柱，然后把这个三棱柱分割成三个三棱锥，就是三棱锥1和另两个三棱锥2、3。三棱锥1、2的底△ABA1、△B1A1B的面积相等，高也相等（顶点都是C）；三棱锥2、3的底△BCB1、△C1B1C的面积相等，高也相等（顶点都是A1）∵V1＝V2＝V3＝V三棱锥。∵V三棱柱＝Sh。∴V三棱锥＝Sh。ABCA1C1B1１23第十九页，共四十二页，编辑于2023年，星期一猜测:n棱锥的体积公式：Vn棱锥=Vn棱柱第二十页，共四十二页，编辑于2023年，星期一任意锥体的体积公式：

定理三：如果一个锥体的底面积是S，高是h，那么它的体积是

V锥体＝Sh第二十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期一小结：定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么它的体积是

V三棱锥＝Sh定理三：如果一个锥体的底面积是S,高是h，那么它的体积是

V锥体＝Sh第二十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期一例1.如图是一石柱,石柱顶上部是一个正四棱锥,下部是一个正四棱柱.已知正四棱柱底面边长0.5米,高1米,正四棱锥的高是0.3米.石料比重d为每一立方米

2400千克.求这个石柱的重量.第二十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期一解:V棱锥=V棱柱=所以石柱的重量P=(V棱柱+V棱锥)×d=660(千克).0.5米1米0.3米第二十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期一例2.在三棱锥V-ABC中,已知AC=BC=13,AB=10，三个侧面与底面所成的二面角均为60o,VO⊥平面ABC,交平面ABC于O.BACVEOFD(2)求三棱锥的高.(3)求三棱锥的体积.

(1)求证：O是△ABC的内心.第二十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期一OD为VD在平面ABC内的射影,根据三垂线定理,得VD⊥AB.于是∠VDO为侧面VAB与底面所成二面角的平面角.∠VDO=∠VEO=∠VFO=60o.CV解:（1）连结CO并延长交AB于D,过O在平面ABC内分别作AC、BC的垂线,F、E为垂足.连结VD、VF、VE.AEOFDBRETURN因为VO⊥平面ABC,CD⊥AB,

显然OD=OE=OF=VOctg60o,即点O到△ABC三边距离相等.因此O是△ABC的内心.第二十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期一CVEOFDAB第二十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期一例3.已知正四棱锥相邻两个侧面所成二面角为120o,底面边长a,求它的高、体积.ABCDSEO第二十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期一ABCDSEO解：连结AC、BD交于O，连结SO，则SO为正四棱锥的高.

过B作BE⊥SC,E为垂足.连结DE,

则∠DEB为二面角D-SC-EB的平面角,

所以DEB=120o.第二十九页，共四十二页，编辑于2023年，星期一ASBCDEO连结OE,第三十页，共四十二页，编辑于2023年，星期一例4.如图三棱锥V-ABC中,D为BC上一点,E为AV上一点,BC⊥ED,BC⊥AV,ED⊥AV,已知BC=6cm,ED=4cm,AV=8cm.求:三棱锥的体积.VABCDE第三十一页，共四十二页，编辑于2023年，星期一NEXTRETURNVABCDEBC=6,ED=4,AV=8.解：第三十二页，共四十二页，编辑于2023年，星期一RETURNEVABCDBC=6,ED=4,AV=8.第三十三页，共四十二页，编辑于2023年，星期一例5、如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,G为A1B1上的点,E、F在棱AB上,H在C1D1上.(1).若点G在A1B1上滑动,H在C1D1上滑动,线段EF在AB上滑动,则VH-EFG的值有何变化?(2).若点G滑动到B1,E、F滑动到A、B点,H滑动到D1点,则VH-EFG体积为多少?ABCDA1B1C1D1GHEF第三十四页，共四十二页，编辑于2023年，星期一ADBCEθ

证明：在平面BCD内，作DE⊥BC，垂足为E，连接AE,DE就是AE在平面BCD上的射影。

根据三垂线定理，AE⊥BC。

∴∠AED＝θ。例6：已知：三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ

求证：V三棱锥＝S△ABC·ADcosθ＝S△ABC·ADcosθ＝×BC·AEcosθ·ADV三棱锥＝S△BCD·AD＝×BC·DE·AD第三十五页，共四十二页，编辑于2023年，星期一例6：已知:三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ

求证：V三棱锥＝S△ABC·ADcosθADBCEθ

问题1、ADcosθ有什么几何意义？

F

结论：V三棱锥＝S△ABC·DF

第三十六页，共四十二页，编辑于2023年，星期一例6、已知：三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ

求证：V三棱锥＝S△ABC·ADcosθADBCEθ

结论：V三棱锥＝VC-AED＋VB-AED

问题2、解答过程中的

×BC·AEcosθ·AD其中

AEcosθ·AD可表示什么意思？∵AEcosθ＝ED∴S△AED＝ED·AD

又BE与CE都垂直平面AED，故BE、CE分别是三棱锥B-AED、C-AED的高。

分析：第三十七页，共四十二页，编辑于2023年，星期一练习1：将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请列出三棱锥体积表达式）ABCDA’C’B’D’问题1、你能有几种解法？

问题2、如果这是一个平行六面体呢？或者四棱柱呢？第三十八页，共四十二页，编辑于2023年，星期一练习2:从一个正方体中，如图那样截去四个三棱锥，得到一个正三棱锥A-BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？C

DAB

问题2、如果改为求棱长为a的正四面体A-BCD的体积。你能有几种解法？问题1、你能有几种解法？解一、补形，将三棱锥补成一个正方体。解二、利用体积公式

V四面体＝S△BCD·h

解三、将四面体分割为三棱锥C-ABE和三棱锥D-ABEE第三十九页，共四十二页，编辑于2023年，星期一小结：1、锥体体积公式的证明体现了从整体上掌握知识