哈工大大学物理振动

哈工大大学物理振动第1页/共62页台湾101大楼被称为“台北新地标”的101大楼,楼高508米世界上任何高楼，都怕高空强风吹拂造成摇晃，更怕地震晃动楼体。因此要设置一个“调谐质块阻尼器”(简称阻尼器)来调整。阻尼器的原理是，当楼体受到强风或地震冲击产生振动时，大圆球会吸收大楼的振动，再将能量传递、发散到下方的弹簧系统。平衡风力和地震造成大楼的摆荡，最大限度地减少地震危害。

说它史上最牛，因为它是全世界唯一开放供游客观赏并可自由拍摄的巨型阻尼器，更是目前全球最大的阻尼器。第2页/共62页1985年9月19日墨西哥西海岸发生地震，给400km的墨西哥城造成破坏。第3页/共62页第14章振动

广义振动：一个物理量在某一定值附近往复变化该物理量的运动形式称振动物理量：等等机械振动：物体位置在某一值附近来回往复的变化第4页/共62页共振(简谐振动）振动受迫振动自由振动阻尼自由振动无阻尼自由振动无阻尼自由非谐振动无阻尼自由谐振动振动的形式:第5页/共62页重要的振动形式是简谐振动(S.H.V.)simpleharmonicvibration物理上：一般运动是多个简谐振动的合成数学上：付氏级数付氏积分也可以说S.H.V.是振动的基本模型或说振动的理论建立在S.H.V.的基础上注意：以机械振动为例说明振动的一般性质第6页/共62页14.1

简谐运动一、简谐运动的动力学方程固有角频率(4)(弧度/秒)(2)(3)(5)简谐运动表达式:(1)平衡位置第7页/共62页二、谐振动的特征量1、振幅A2、固有周期T3、固有频率4、相位时为初相位由初始条件解方程组可得{t+T状态不变第8页/共62页相位概念：1.描述振动系统形象状态的物理量xvA0-A0A2.描述振动系统状态的变化趋势3.描述频率相同的两振动系统的振动步调（或两物理量）相位超前相位落後第9页/共62页三、简谐运动的速度及加速度速度超前位移π/2相位加速度超前位移π相位第10页/共62页四、简谐运动的相量图法---旋转矢量法(演示）。。。。第11页/共62页1）直观地表达振动状态优点当振动系统确定了振幅以后表述振动的关键就是相位即表达式中的余弦函数的综量而旋转矢量图可直观地显示该综量分析解析式可知用图代替了文字的叙述第12页/共62页如文字叙述说t时刻弹簧振子质点

在正的端点旋矢与轴夹角为零

质点经二分之一振幅处向负方向运动意味意味<第13页/共62页质点过平衡位置向负方向运动同样<0向负方向运动<0<0注意到：第14页/共62页向正方向运动或>0>0或>0>向正向运动第15页/共62页由图看出：速度超前位移加速度超前速度称两振动同相2）方便地比较振动步调位移与加速度称两振动反相若第16页/共62页3）方便计算用熟悉的圆周运动代替三角函数的运算例：质量为m的质点和劲度系数为k的弹簧组成的弹簧谐振子

t=0时质点过平衡位置且向正方向运动求：物体运动到负的二分之一振幅处时所用的最短时间第17页/共62页解：设t时刻到达末态由已知画出t=

0时刻的旋矢图再画出末态的旋矢图由题意选蓝实线所示的位矢设始末态位矢夹角为因为得繁复的三角函数的运算用匀速圆周运动的一个运动关系求得第18页/共62页系统机械能守恒五、谐振动的能量第19页/共62页简谐运动实例1、水平弹簧振子mT2、单摆的运动很小时令解得-AA固有周期第20页/共62页---谐振动3、复摆很小时力矩令C质心0轴图5--9l周期对于角振动由初始条件t=0时第21页/共62页4竖直弹簧振子mg自然平衡任意0x由以上三式可得即与水平弹簧振子相同，只改变平衡位置f第22页/共62页x(cm)0.25-0.50t(s)2求：振动方程（振动表达式）解：由图可知初始条件：对吗？初始条件v0>0练习题(cm)0xAA/2π/3-π/3Av0第23页/共62页

例1在长为L的细杆的两端各固定一个同样的重物，绕水平轴作简谐振动，此轴距上端为d，如不计杆的重量，求此摆的周期及折合摆长（与之同周期的单摆的摆长）。oθmmLd解设重物质量为m，由转动定律：当θ较小时，有：周期等效摆长第24页/共62页

例2倾角为θ的固定斜面上放一质量为m的物体，用细绳跨过滑轮把物体与一弹簧相连接，弹簧另一端与地面固定。kmθoxM,R

弹簧的劲度系数为k，滑轮可视为半径为R,质量为M的匀质圆盘。设绳与滑轮间不打滑，物体与斜面间以及滑轮转轴处摩擦不计。（1）求证物体m的运动是简谐振动；（2）在弹簧不伸长，绳子也不松弛的情况下，使m由静止释放，并以此时为计时起点，求m的振动方程。（沿斜面向下为

x轴正方向）（1）证:平衡时，弹簧伸长Δx,有以平衡位置处为x轴原点，运动中某时刻有：第25页/共62页对m：对滑轮:且有解(1),(2),(3),(4)式，得故物体m的运动是简谐振动。kmθoxM,R第26页/共62页（2）由上述方程可知，初始条件：t=0时因此振动方程为kmθoxM,R第27页/共62页

例3一轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm。现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4kg。待其静止后再向下拉10cm,然后释放。问（1）此小物体是停在振动物体上面还是离开它？（2）如果使小物体离开，则振幅A需满足何条件？二者在何位置开始分离？mx解：设小物体随振动物体的加速度为a,

按牛顿第二定律有当小物体开始脱离振动物体。由题意可知系统最大加速度此值小于g,故小物体不会离开。第28页/共62页（2）如果

小物体能脱离振动物体，开始分离的位置由N=0求得即在平衡位置上方19.6cm初开始分离。mx第29页/共62页无阻尼自由振荡，电容板上电量为q振荡电流i总能-------谐振动微分方程求导由于LC+_例4：求LC电路中电容极板电荷第30页/共62页频率电磁振荡：1）发射高电磁能------使电路开放2）能量4减小L，C提高电路变化如图所示从振荡电路过渡到振荡偶极子LC+(a)_(b)LC+_(c)LC+_+qql(d)第31页/共62页例5已知弹簧振子的振动方程为弹簧所受最大的弹性力

当振子通过平衡位置向正方向运动时，恰有一质量与振子相同的粘性小球竖直落在振子上并粘住后一起运动。（1）试求新振子的振动方程；（2）新振子通过什么位置时其弹性势能与动能相等。解：（1）设新振子的振动方程为确定原振子（小球）的质量：由最大弹性力因此振子（小球）的质量第32页/共62页求新振子的圆频率：求新振子从平衡位置向x轴正方向运动时的初速度vo:由水平方向动量守恒定律，有而（通过平衡位置时的速率）故由初始条件t=0时，xo=0,vo=5π可得新振子的振幅和初相位：第33页/共62页由于新振子的运动方程为（2）当势能等于动能时，即解得此时相位(ωt+φ)为2kπ+π/4,k=0,±1,….第34页/共62页例6弹簧的串并联时的劲度系数。1）两个弹簧的串联：pk1k2k对每个弹簧有对整个弹簧，有或第35页/共62页2）两个弹簧并联：pk1k2k对每个弹簧，有对整个弹簧，有即第36页/共62页

例7一劲度系数为k的轻弹簧截成三等分，取出其中的两根，将它们并联在一起，下面挂一质量为m的物体，求振动系统的频率。解：设每一等分弹簧的劲度系数为k0

，因此由弹簧串联关系，有两个同样的弹簧并联，有故振动频率为第37页/共62页14.2阻尼振动二、阻尼振动的三种形式粘性阻力或有特征方程将试探解代入上式令一、无阻尼振动例：水平弹簧谐振子第38页/共62页特征方程特征根试探解阻尼度---表征阻尼大小的常量1）当时,方程的解为式中阻尼振荡（阻尼小）阻尼系数tx阻尼振荡第39页/共62页2）过阻尼运动（阻尼较大）当解为无周期，非振动。3）临界阻尼运动当在振幅衰减到原来的或图5---10时间,tx临界阻尼过阻尼阻尼振荡第40页/共62页定态解暂态解周期性驱动力式中14.3受迫振动共振一、受迫振动第41页/共62页得定态解振幅:相位:令定态解定态解暂态解代入原方程与初始条件无关第42页/共62页二共振当由时,B达最大,称位移共振振幅:相位:定态解1）位移共振第43页/共62页在受迫振动中位移振幅出现极大值的现象称为位移共振,简称共振r称为共振的角频率2）共振峰的宽度或共振宽度在欠阻尼情况下，共振宽度为共振:o第44页/共62页1940年华盛顿的塔科曼大桥建成同年7月的一场大风引起桥的共振桥被摧毁第45页/共62页小号发出的波足以把玻璃杯振碎第46页/共62页xO14.4简谐运动的合成一、同方向、同频率两个简谐运动的合成(演示）第47页/共62页(同相)(反相)同一直线上的n个同频率的简谐运动的合成第48页/共62页两式相除COxPM第49页/共62页例8：一质点同时参与了三个简谐振动，它们的振动方程分别为x1=Acos(t+/3),x2=Acos(t+5/3),x3=Acos(t+),求其合运动方程。X=0xoAAAx1+x2第50页/共62页当准谐振动（振幅相同初相为零）合成振幅频率都较大但两者相差很小的两个同方向简谐振动，合成时所产生的这种合振幅时而加强时而减弱的现象拍:二、同方向、不同频率两个简谐运动的合成拍第51页/共62页0.05s0.1s0.15s0.2sttt2430