【教案】函数的概念教学设计高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

【新教材】3.1.1函数的概念（人教A版）学生在初中学习函数的概念，函数定义采用“变量说”；介绍函数的三种表示方法、一次函数、反比例函数和二元一次函数的三种函数模型，借助图像简单讨论图像的性质；初中所学的函数知识，与代数式、方程等联系紧密，对“变量”、“变化”、“对应关系”等涉及函数的基本性质做出初步要求，但不强调定义域、值域.而高中阶段要建立函数“对应说”，比初中的“变量说”更具一般性.但其实两者本质是一样，只是描述函数的表述方式不同.高中是集合与对应的语言表述函数，明确定义域、值域；引入抽象函数函数表示集合与对应的数，当确定也确定了.因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等.课程目标1.过丰富的实例进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型;2.用集合与对应的思想理解并刻画函数的概念，了解构成函数的三要素;3.会求函数的定义域;数学学科素养1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；2.逻辑推理：相等函数的判断；3.数学运算：求函数定义域和求函数值；4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。重点：函数的概念，函数的三要素。难点：函数概念及符号的理解。教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。情景导入初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定义的？要求：让学生自由发言，教师不做判断.【答案】设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自变量，y叫因变量.探究新知问题1某“复兴号”高速列车到350km/h后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为S=350t。1.思考：根据对应关系S=350t，这趟列车加速到350km/h后，运行1h就前进了350km，这个说法正确吗？【答案】不正确。对应关系应为S=350t，其中，问题2某电气维修告诉要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？【答案】是函数，对应关系为w=350d,其中。2.思考：在问题1和问题2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？【答案】不是。自变量的取值范围不一样。问题3如图，是北京市2016年11月23日的空气质量指数变化图。如何根据该图确定这一天内任一时刻th的空气质量指数的值I？你认为这里的I是t的函数吗？【答案】是，t的变化范围是，I的范围是。问题4国际上常用恩格尔系数反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。上表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从表中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高。你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？【答案】y的取值范围是，，恩格尔系数r是年份y的函数。3.思考：上述问题1~问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？【答案】共同特征有：（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；（2）都有一个对应关系；（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集A中的任意一个数，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数和它对应。4定义：如果A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作，。其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的的值叫做函数值，函数值fx|x∈A的集合叫做函数的值域。显然，值域是集合B的子集．思考4新的函数定义与函数的传统定义有什么异同点？引导学生发现，函数是特殊的对应，二者的本质相同。本质：函数是特殊的对应。（板书）提问：是不是函数的问题，要求从集合的角度解释。此时学生可以清楚的看到满足集合与对应观点下的函数定义，这样解释就很自然。从刚才的分析可以看出，集合观点下的函数定义更具一般性，更能揭示函数的本质。这也是我们后面要对函数进行理论研究的一种需要．所以我们着重从集合角度再来认识函数。5.对函数符号的理解：（1）、为“是的函数”的数学表示，仅是一个函数符号，不是与相乘。例如：可以写成。当时可以写成想一想：表示什么意思？与有什么区别？一般地，表示当时的函数值，是一个常量。表示自变量x的函数，一般情况下是变量。（2）、“”是函数符号，可以用任意的字母表示，如:“”，“”；6、思考：函数的值域与集合B什么关系？请你说出上述四个问题的值域？【答案】函数的值域是集合B的子集。问题1和问题2中，值域就是集合B1和B2；问题3和问题4中，值域是B3和B4的真子集。练习：一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域：函数一次函数二次函数反比函数a>0a<0对应关系[Z|y=ax+b(a≠0)yX|X|K]y=ax2+bx+c(a≠0)y=ax2+bx+c(a≠0)y=(k≠0)定义域RX&K]RR值域R探究二区间的概念设a，b是两个实数，而且a<b,我们规定：⒈满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]⒉满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)⒊满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为[a，b）或（a，b]这里的实数a，b叫做相应区间的端点实数集Ｒ可以用区间表示为，把“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”。3．其它区间的表示探究三函数相等1.思考：一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？【答案】定义域、对应关系、值域；函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；定义域相同，对应关系完全一致.函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域。值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它。例3.下列函数哪个与函数y=x相等解：这个函数与对应关系一样，定义域不同，所以和函数y=x不相等。，这个函数与对应关系一样，定义域相同，所以和函数y=x相等。，这个函数和定义域相同，但是当x<0时，它的对应关系为，所以和不相等。，这个函数与对应关系一样，但的定义不同，所以和不相等。四、达标检测1．下列图象中表示函数图象的是()【解析】根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应，而A、B、D都是一对多，只有C是多对一．故选C.【答案】C下列函数中，与函数y=x相等的是（）【解析】函数y＝x的定义域为R；y＝(eq\r(x))2的定义域为[0，＋∞)；y＝eq\r(x2)＝|x|，对应关系不同；y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x>0,－x，x<0，))对应关系不同；y＝eq\r(3,x3)＝x，且定义域为R.故选D.【答案】D3．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为()A．{－1,0,3}B．{0,1,2,3}C．{y|－1≤y≤3}D．{y|0≤y≤3}【解析】当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，∴函数y＝x2－