人教理科高考数学课时试题及答案解析合集2

课时作业（四十七）［第47讲直线与圆、圆与圆的位置关系］

［时间：45分钟分值：100分］

基础热身

1.直线x+小了-2=0被圆。-1）2+>2=1截得的线段的长为（）

A.1B.A/2C.小D.2

2.从原点向圆/+丁-12），+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为

（）

A.兀B.2KC.4nD.6兀

3.已知直线/过点（一2,0）,当直线/与圆f+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值

范围是（）

A.（一2吸，2^2）B.（-木,也）

c.（-乎,用D.（-g|）

22—2-2

4.集合A={（x,y）|x+y=4},B={（xfy）l（^3）+（y4）=r},其中r>0,若AA8

中有且仅有一个元素，则，•的取值集合为（）

A.{3}B.{7}C.{3,7}D.{2,7}

能力提升

5.圆2?+2/=1与直线回适+），-1=0（吟+也，氏旬的位置关系是（）

A.相离B.相切

C.相交D.不能确定

6.在圆/+V-2x—6y=0内，过点E（0,l）的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则

四边形4BCD的面积为（）

A.5^2B.10^2C.15^2D.20^2

7.曲线丫=1+田二？也|W2）与直线y=%（x-2）+4有两个交点时，实数%的取值范

围是（）

A8B©，+8）

C.Q,D（0,曾

8.直线y=kx+3与圆（》一2）2+。-3尸=4相交于M,N两点，若|MN|22小，贝Uk

的取值范围是（）

A（-i。］

B.I——|lu[0,+°°)

c.［誉明

D［-31°］

9.若圆。一〃）2+（），-6）2=序+1始终平分圆（x+l）2+S+l）2=4的周长，则小匕满足

的关系是（）

A.层+2a+26—3=0

B.a2+b2+2a+2b+5=0

C.序+2〃+2匕+5=0

D.a?—2a—26+5=0

10.在平面直角坐标系xOy中，已知f+y2=4圆上有且仅有四个点到直线i2x—5y

+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是.

11.已知圆C过点(1,0),且圆心在X轴的正半轴上，直线/：y=x-l被圆C所截得

的弦长为2小，则过圆心且与直线/垂直的直线的方程为.

12.已知直线x+y+,"=0与圆/+产二？交于不同的两点A、B,。是坐标原点，|OA+

OB\^\AB\,那么实数m的取值范围是________.

13.设集合4=[(尤，>•)y<(x—2)2+/^7«2,x,yGRB={(x,y)|2/nWx+yW2,w

+1,x,yCR},若ACBK。，则实数机的取值范围是.

14.(10分)求与圆f+V-2x=0外切且与直线x+小y=0相切于点M(3,一小)的圆的

方程.

15.(13分)已知圆C：f+丁一2r+4y—4=0,是否存在斜率为1的直线〃?，使团被圆

C截得的弦为48,且以A8为直径的圆过原点？若存在，求出直线机的方程；若不存在，

说明理由.

难点突破

16.(12分)已知与圆C：Y+V-Zx-Zy+lnO相切的直线/交x轴，y轴于A,8两点,

\OA\=a,\0B\=b(a>2,b>2).

(1)求证：(。一2)(匕-2)=2；

(2)求线段A8中点的轨迹方程；

(3)求aAOB面积的最小值.

课时作业(四十七)

【基础热身】

1.C［解析］圆心到直线的距离

•*.弦长1=2寸户一#=小.

2.B［解析］圆即/+0，一6)2=32,数形结合知所求的圆弧长为圆周长的三分之一，

即;X(2兀)X3=2兀.

3.C|解析］圆心坐标是(1,0),圆的半径是1,直线方程是y=Z(x+2),即依一y+2Z

=0,根据点线距离公式得恭普<1,即严J,解得一

4.C［解析］集合A,8表示两个圆,AAB中有且仅有一个元素即两圆相切，有内切

和外切两种情况，由题意，外切时，/^=3；内切时，r=7,即r的值是3或7.

【能力提升】

5.A［解析］圆心到直线的距离d=根据3的取值范围，OWsinZcl,故

、1+sin2。'

注意条件ZGZ时;sinOW±l)

6.B［解析］将圆方程配方得。-1)2+()-3)2=10.

设圆心为G,易知G(l,3).

最长弦AC为过E的直径，则|AC|=2MT6.最短弦BD为与GE垂直的弦，如图1—2所

示.______________

易知18Gl=也，|EG|=Y(0-l)2+(l-3)2=4,

\BD\=2\BE\=2yjBG2~EG2=2巾.

所以四边形ABC。的面积为S=；|AQB£>|=l(h「.故选B.

7.A［解析］曲线y=1+4为一个半圆，直线y=©x—2)+4为过定点的直线系,

数形结合、再通过简单计算即可.曲线和直线系如图，当直线与半圆相切时，由匚洛寻

=2,解得％=看,

8.C［解析］直线过定点(0,3).当直线与圆的相交弦长为2小时，由垂径定理定理可

得圆心到直线的距离d=l,再由点到线的距离公式可得^^=1,解得％=土坐.结合图

一坐，即时，弦长1初225.

象可知当直线斜率满足AC

9.CI解析］即两圆的公共弦必过(x+1)2+。+1)2=4的圆心，两圆相减得相交弦的方

程为一2(a+l)x-2S+l)y+a2+i=0,将圆心坐标(一1,一1)代入可得“2+20+25+5=0.

10.(-13,13)［解析］直线12x—5y+c=0是平行直线系，当圆d+V=4上有且只有

四个点到该直线的距离等于1时，得保证圆心到直线的距离小于1,即已＜1,故一13＜c＜13.

II.x+y—3=0［解析］由题意，设所求的直线方程为x+y+机=0,设圆心坐标为(“,0),

则由题意知：

［也冒＞+2=m-i)2,解得。=3或一1,又因为圆心在x轴的正半轴上，所以“=3,

故圆心坐标为(3,0).因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3+0+〃?=0,即机=-3,故所

求的直线方程为x+y-3=0.

12.(-2,一g］U［巾,2)|解析I方法1：将直线方程代入圆的方程得2*+2,〃x+

m2~2=0,4=4疗一8(62—2)＞0得病＜4,即一2＜加＜2.设点A(xi,y),8(x2，”)，则汨+及

-2—►—►—►—►—►—►—►—＞—＞

=~m,乃X2=—^―，|O4+05|N|A8|即|04+03|2|03—。川，平方得OAOBNO,即汨乃

77/2—2

+'1”20，即汨l2+(瓶+元】)(机+12)20，即2%1及+m3+必)+加220，即2X—一+m(一

⑼+序》。，即加222,即〃22也或加〈一色.综合知一2＜机:^—也或啦＜/力＜2.

方法2：根据向量加减法的几何意义|万1+励|冽赢|等价于向量方1,加的夹角为锐角

或者直角，由于点A,8是直线x+y+m=0与圆f+V=2的交点，故只要圆心到直线的距

离大于或者等于1即可，也即〃?满足1W招＜啦，即一2v〃zW—啦或者也W加＜2.

13.；W/n＜2+6［解析］若“＜0,则符合题的条件是：直线x+y=2机+1与圆(x—2)2

+产=加2有交点，从而由上一患一解之得2册＜血±2+?,矛盾；

若机=0,则代入后可知矛盾；

若心0,则当今W〃落即机斗寸，集合A表示一个环形区域，且大圆半径不小于今即

直径不小于I,集合8表示一个带形区域，且两直线间距离为停，

从而当直线x+y=2"?与x+y=2m+1中至少有一条与圆(工一2)2+丫2=〃?2有交点，即可

符合题意，从而有

替WM或左兼工国削，解之得苧WWW2+6，

所以综上所述，实数，〃的取值范围是当

14.［解答］设所求圆的方程为(X—。)2+()，-6)2=/(r＞0),

由题知所求圆与圆X2+y2—2x=0外切，

则，(。-1)2+。2=)+1①

又所求圆过点M的切线为直线x+V3y=0,

故生.②

一③

解由①②③组成的方程组得4=4,6=0,r=2或a=0,b=—4小,r=6.

故所求圆的方程为(x—4尸+)2=4或x2+。+4小/=36.

15.［解答］设存在直线方程为y=x+6满足条件，

代入圆的方程得工+2俗+1比+〃+46—4=0,

直线与该圆相交则i=43+1)2—8(〃+46—4)＞0,解得一3一3也幼＜一3+3啦.

/+4匕-4

设点处，巾)，，，则工必=—

48(X2l)1+S+I),X\X2—2

以A8为直径的圆过原点时，AO_LBO,即汨入2+〉1丁2=0，即2%112+/山+X2)+从=0,

把上面式子代入得〃+4。一4—伙。+1)+加=0,即〃+3b—4=0,解得力=—4或力=1,都

在一3—3也＜。＜一3+3也内,故所求的直线是y=x-4或y=x+1.

【难点突破】

16.I解答］⑴证明：圆的标准方程是。-1)2+。-1)2=1,设直线方程为»1,即

\g-\-b-gb\

bx+ay-ab=0,圆心到该直线的距离d=即〃+从+〃2/+2"—2a25—2时2

y1a2+h2

=a1+b2,即a2/?2-\-2ab~2a2/?—lab1=0,即a/?+2—2a—2b=0,即(a—2)(b—2)=2.

(2)设A5中点M(x,y),则a=2x,b=2y,代入(a—2)(。-2)=2,得(x—1)。-l)=T(x>l，

y＞l)・

(3)由(〃-2)S—2)=2得ab+2=2(〃+h)，4/石，解得标22+/(舍去标W2—也),

当且仅当。=匕时，H取最小值6+4g，所以△AOB面积的最小值是3+2吸.

课时作业（四十八）［第48讲椭圆］

［时间：45分钟分值：100分］

基础热身

1.己知△ABC的顶点8、C在椭圆丁+丫2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆

的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）

A.2sB.6C.4小D.12

2.椭圆京苧=1的一个焦点为Q,点P在椭圆上.如果线段PQ的中点”在y轴

上，那么点M的纵坐标是（）

A.百B.亲

3.设P是椭圆点+］=1上一点，M.N分别是两圆：（x+4）2+y2=i和。-4）2+）2

=1上的点，则1PM+IPM的最小值、最大值分别为（）

A.9,12B.8,11

C.8,12D.10,12

2,2

4.过椭圆，+g=1（4泌＞0）的左焦点~作X轴的垂线交椭圆于点P,尸2为右焦点，若

/FiPB=60。，则椭圆的离心率为（）

A.坐B坐C.；D.1

能力提升

5.条件p：动点M到两定点距离的和等于定长，条件/动点〃的轨迹是椭圆，条件

p是条件q的（）

A.充要条件

B.必要不充分条件

C,充分不必要条件

D.既不充分又不必要条件

6.椭圆，+$=13泌＞0）的两顶点为A（a,0）,仇0,b）,且左焦点为F,AFAB是以角B

为直角的直角三角形，则椭圆的离心率6为（）

小T

,2

于+1

c1+2/5

7.以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系

是（）

A.内切

B.相交

C.相离

D.无法确定

2

8.椭圆，+）2=1的左、右焦点分别为F1，F1，点M在椭圆上，MFVMF2=0,则M

到），轴的距离为（）

A呼B.岁

C坐D.小

72

9.已知M是椭圆方=13*0）上一点，左、右焦点为Q,B，点尸是的

内心，连接MP并延长交QF2于N,则稀的值为（）

Ayjc^—b2

B.-F==

C.

b

a

10.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为坐，且椭圆上一点到椭

圆的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为.

11.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点，顺次连接这四个

点和两个焦点，恰好得到一个正六边形，那么椭圆的离心率等于.

12.已知Q、B是椭圆C：3+g=13＞方＞0）的左、右焦点，P为椭圆C上一点，且

屋」即2.若△巴”2的面积为9,则h=________.

13.已知椭圆C：5+/=13泌＞0）的离心率为坐，过右焦点尸且斜率为火（&＞0）的直

线与椭圆C相交于4、B两点.若布=3而，贝IJA=.

14.（10分）已知点4,B分别是椭圆差+4=1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦

点，点尸在椭圆上，且位于x轴上方，PALPF.

（1）求点P的坐标；

（2）设M是椭圆长轴A3上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M

的距离的最小值.

15.（13分）已知平面内曲线C上的动点到定点（啦，0）和定直线x=26的比等于乎.

（1）求该曲线C的方程；

（2）设动点P满足拓+2而，其中M,N是曲线C上的点.直线0M与。N的斜

率之积为一；.问：是否存在两个定点B、尸2,使得|PFi|十|PB|为定值？若存在，求6、F,

的坐标；若不存在，说明理由.

难点突破

27

16.(12分)已知中心在原点的椭圆C：5+*=1的一个焦点为Fi(0,3),M(x,4)Q>0)

3

为椭圆C上一点，△MOQ的面积为了

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在平行于0M的直线/,使得直线/与椭圆C相交于A,B两点，且以线段48

为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线/的方程；若不存在，说明理由.

课时作业(四十八)

【基础热身】

1.C|解析|根据椭圆定义，△ABC的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4小.

2.A［解析］不妨设品(一3,0),设P(xo,yo),则-3+沏=0,故xo=3,代入椭圆方程

得州=田，故点M的纵坐标是架.

3.C［解析］由题意得最大值2a+2、最小值la-2,a=5,故最大值是12、最小值

4.B［解析］因为从一c再由NFIPF2=60。有*=2”，从而可得e=：=坐.

【能力提升】

5.B［解析］设两定点距离2c,定长为2a.当2a>2c时，为椭圆；当2a=2c时，为线

段；当2a<2c时，无轨迹.故动点M到两定点距离的和等于定长时，动点M的轨迹不一定

是椭圆；当动点M的轨迹是椭圆时，动点M到两定点距离的和一定等于定长.

6.B［解析］根据已知〃2+〃+〃2=5+。)2,即一十四—/=0,即e'+e—1=0,解得

e=二^,故所求的椭圆的离心率为咛1

7.A［解析］如图，设线段是PQ,。1是线段PFi的中点，连接OiO,PF2,其中。

是椭圆的中心，后是椭圆的另一个焦点，则在△PQF2中，由三角形中位线定理可知，两圆

的连心线的长是|。01尸纲+如?一|PFi|)=a—；|PFi|=R一匚

8.B［解析|条件而「麻"2=0,说明点M在以线段尸产2为直径的圆上，点M又在椭

圆上，通过方程组即可求得点例的坐标，即可求出点M到y轴的距离.椭圆的焦点坐标是

(R5,0),点M在以线段4巳为直径的圆上，该圆的方程是f+V=3,即V=3-f,代

入椭圆方程得7+3—*=1,解得；v2：*即M=半，即点M到y轴的距离.

9.A|解析］由于三角形内心是三个内角的平分线的交点，使用三角形内角平分线性

质定理把所求的比值转化为三角形边长之间的比值关系.如图，连接PF.,P&.在

中，QP是/MQN的平分线，根据三角形内角平分线性质定理，盟=需，同理可得盟

=31.的右3="11=因钝根据率匕宗理此竺坦=*==1=

尸2川，蚊句1尸2一尸闿一尸22，怅姑寺北无理|尸.—|F闪+|B/V|一2、p二"一声二P.

NH

10点+］=1［解析］设椭圆方程为方=1(4>%>0)，根据椭圆定义2aR2,即。=6,

A/3LY2V2

又R£=早得c=3小，故户=/—/=36—27=9,故所求椭圆方程为拓+方=1.

H.V3-1［解析］如图所示，设A,B是椭圆的两个焦点，P是圆与椭圆的一个交点，

则由正六边形的性质，△B4B是一个直角三角形，且NBAP=30。，所以AP=ABcos3()o=小

c,BP=c,根据椭圆定乂AP+BP=2“，故<5c+c=2a,所以e='=^^~,~—1.

12.3［解析］方法1：设椭圆的焦点坐标为(±c,0),根据椭圆定义和△「下1尸2是一个面

'\PFt\+\PF2\=2a,

积等于9的直角三角形，有<|PFIMPF2|=18,第一式两端平方并把第二、三两式代入可

JPFF+|P&|2=4C2.

得4c2+36=4/,即片―廿=9,即从=9,即4=3.

方法2：利用本讲【问题思考】问题4的结论，/tan等=9,解得6=3.

13s［解析1根据已知梦乎，可得公煞则故椭圆方程为基+苔=］,

21

即3『+12)2—4^=0.设直线的方程为x=my+cf代入椭圆方程得(3/+\2)y+6mcy—c=

=

。设A(x\fyi),B(X2，>2)，则根据AF=3F6,得(c一项,~y\)3(X2~c,yi),由此得一巾=

3y2,根据韦达定理9+y2=一消2rmq，力”=一就心而cm，把一力=3丫2代入得，”=品，

—2

—3y2—2(W+4),故9〃12="尸+4,故,〃2=1从而Q=2,k=±\^又k>0,故％=啦.

14.［解答］⑴由已知可得点A(—6,0),尸(4,0),

设点P(x,y),则成=(x+6,y),用=。-4,y),

C92

由已知可得［3620'

Xx+6)(x-4)+/=0,

•3

则源+%:-18=0,解得x=g或一6,由于)>0,

故尸宗于是尸理^,

...点P的坐标是(|,平)

(2)由(1)得直线4P的方程是x—小y+6=0,设点M(〃z,0),

则M到直线AP的距离是空辿，于是"包=6—〃?，

又一6Wm<6,解得“7=2.椭圆上的点(x,y)到点M的距离d有

"2=(x—2)2+y2=f—4x+4+20一射=芥一郢+15,由于一6WxW6,.,.当x=±时，d

取得最小值江.___________

15.［解答］(1)设曲线C上动点的坐标为(x,y),根据已知得虫彳三翡产=坐，化简

整理这个方程得3+^=1，即为曲线C的方程.

(2)设P(x,y),M(M,yi),N(x2,yi)，则由0>=痂+2赤得

(x,y)=(xi，刀)+2。2，”)，

即X=XI+2*2，y=)1+2y2，

因为点M,N在椭圆5+5=1上，

所以好+2)彳=4,好+2另=4,

故f+2)?=(看+4今+4处及)+2。彳+4比+4y»)

=(4+2>-|)+4(近+2n)+4(XK2+2)1”)

=20+4(处及+2)>1/2).

设%M，hw分别为直线OM,ON的斜率，由题意知，

%"%=梵=一/因此汨工2+2%”=0，

所以/+2/=20,

92

所以P点是椭圆万薄+前讲=1上的点，设该椭圆的左、右焦点为Q、&,则由椭

圆的定义，|PA|+|PF¥为定值，又因为c=1(2小)2—(回)2=才百,因此两焦点的坐标分别

为人(一屈，0)、F式四,0).

【难点突破】

16.[解答](1)因为椭圆C的一个焦点为Q(0,3),所以/=/+9,则椭圆C的方程为，

v213

+方再=1.因为心>0,所以SZ\MOFi=]X3Xx=,解得无=1,

故点M的坐标为(1,4).

因为M(l,4)在椭圆上，所以1+*3=1，得/—8/—9=0,解得层=9或〃=一1(不

合题意，舍去)，则序=9+9=18,所以椭圆C的方程为5+4=1.

y10

(2)假设存在符合题意的直线/与椭圆C相交于AS，yi),B(X2,刃)两点，其方程为了=

4x+皿因为直线OM的斜率女=4).

y=4x+m,

由止+七_]消去y，化简得18/+8雁¥+序-18=0.

进而得到即+工2=—智，x\-X2=mi«18.

101O

因为直线/与椭圆C相交于A,B两点,所以4=(8㈤2-4X18X(相2-18)>0,化简得

m2<162,解得一人仔为<”1

因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，所以晶•a=0,所以MX2+)D2=0.

又yi)'2=(4xi+/n)(4x2+w)=16X1X2+4，〃(X|+X2)+机2,

X|X2+)iy2=17X1X2+4，"(X1+x2)+加=17'：818)—+病=0,解得m—±yJlQ2.

由于五W(一"E，胞,所以符合题意的直线/存在，且所求的直线/的方程为y

=4X+，I5^或y—4x~y[\02.

课时作业（四十九）［第49讲双曲线］

［时间：45分钟分值：100分］

基础热身

1.与椭圆§+y2=l共焦点且过点P（2,l）的双曲线方程是（）

A./y2=］B,y-/=1

C&-1=1D.5=1

72

2.如图K49—1,已知点P为双曲线气一1=1右支上一点，E、B分别为双曲线的

左、右焦点，/为△尸印巴的内心，若SZ^/PQ=SZ\/PF2+254/QF2成立，则4的值为（）

图K49-1

54

-B-

85

A.C43

--

3D.4

3.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为8,如果直线F8与该双曲线的一条

渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）

A，A/2B4

小+1小+1

C.2D•2

4.已知双曲线｝=1（4>0,/?>0）与抛物线y?=8］有一个公共的焦点R且两曲线

的一个交点为P,若产用=5,则双曲线的渐近线方程为（）

A.x±\［3y=0B.y［3x±y=0

C.x±2y=0D.2x±y=0

能力提升

5.若点。和点尸（-2,0）分别是双曲线，一尸=l（a>0）的中心和左焦点，点P为双曲线

右支上的任意一点，则滂>•而的取值范围为（）

A.[3-2^3,+°0)B.[3+2切，+°°)

C.[一a+8)D.I，+8)

y22L

6.己知双曲线了一v次=1（。>0,历>0）的一条渐近线方程是丫=小工，它的一个焦点在抛

物线产=24x的准线上，则双曲线的方程为（)

A.拓一盖=1Bq-崇1

C-D宗知

7.已知双曲线E的中心为原点，F（3,0）是E的焦点，过F的直线/与E相交于A,B

两点，且AB的中点为N（—12,-15）,则E的方程式为（）

C玄一餐=1D.W=1

8.已知抛物线/=20*（/?>0）的焦点/为双曲线g=l（tf>0,历>0）的一个焦点，经过

两曲线交点的直线恰过点F,则该双曲线的离心率为（）

A.啦B.1+也

C.市D.1+A/3

?7

9.点P在双曲线上方一%=l（a>0,%>0）上，Fi，B是这条双曲线的两个焦点，ZF|PF2

=90。，且△QP&的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是（）

A.2B.3C.4D.5

10.已知双曲线,一方=1左、右焦点分别为B、F2,过点尸2作与x轴垂直的直线与双

曲线一个交点为P,且NPQF2=9,则双曲线的渐近线方程为.

11.双曲线、一W=l（">0,8>0）的左、右焦点分别为Fl，F1，过F］作直线交双曲线的

左支于4,B两点，且依8|="，则的周长为.

72

12.已知尸|、尸2分别为双曲线C：5一若=1的左、右焦点，点AWC,点M的坐标

为（2,0）,AM为/F/F2的平分线，则|AB|=.

22

13.已知点（2,3）在双曲线C：为一£=1伍>0,心0）上，C的焦距为4,则它的离心率

为•

14.（10分）如图K49-2,已知双曲线/一）2=1的左、右顶点分别为Ai、Az，动直

线/：y=^+〃z与圆/+y2=i相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P|（xi，yi）,22（x2,

）'2）.

（1）求火的取值范围，并求X2-XI的最小值；

（2）记直线PiA的斜率为木，直线尸以2的斜率为近，那么A次2是定值吗？证明你的结论.

15.（13分）已知两定点Q（一也，0）,B（啦，0）,满足条件|尸尸2|一|尸碎=2的点尸的轨

迹是曲线E,直线y=fcc-l与曲线E交于A,B两点.如果|AB|=6小，且曲线E上存在点

C,使后+而=相次，求机的值和△ABC的面积S.

难点突破

16.(12分)已知双曲线3—£=1(。＞0,於0)的右顶点为A,右焦点为F,直线x=?(c

=、°2+62)与X轴交于点B,且与一条渐近线交于点C,点。为坐标原点，又a=2加,51.历

=2,过点尸的直线与双曲线右支交于点M、M点P为点M关于x轴的对称点.

(1)求双曲线的方程；

(2)证明：B、P、N三点共线；

(3)求△8MN面积的最小值.

课时作业（四十九）

【基础热身】

1.B［解析］椭圆］+户1的焦点坐标是（±小，0）.设双曲线方程为£一方=1（“>0,

41

b>0）.因为点P（2,l）在双曲线上，所以点一方=1,层+/=3,解得。2=2,/=1,所以所求

的双曲线方程是与一V=l.

2.B［解析］根据SAJPFI=SZVPF2+/IS4/FIF2,即|尸尸1|=|尸/囹+川FIBI，即2a=/i2c,

即2=^=1.

b

3.D［解析］设尸为左焦点，结合图形可知麻而对应与之垂直的渐近线的斜率

为1则有（（—5）=—1，即/=双=/一层，整理得c2—ac—。2=0,两边都除以/可

得e?-e—1=0,解得e=与因，由于e>l,故

4.B［解析J尸（2,0）,即c=2,设P（xo,泗），根据抛物线的定义项+2=5,得必=3,

924l

代入抛物线方程得力=24,代入双曲线方程得左一黄=1,结合4=片+/,解得a=l,b=小,

故双曲线的渐近线方程是M5x±y=0.

【能力提升】

5.B［解析］因为尸（-2,0）是已知双曲线的左焦点，所以〃+1=4,即层=3,所以双

曲线方程为点一）^=1.设点P（*o，yo）.则有曰一）G=l（xo>小），解得1（X02小）.因

为FP=（须+2,y0）,OP=（x0,y0）,所以02依=出（颂+2）+济=次（冲+2）+竽-1=学+九

-1,此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为向=一本因为劭》小，所以当沏=小时，

■•苏取得最小值,X3+2小-1=3+2小，故而3•译的取值范围是［3+25，+8）.

6.B［解析］:抛物线V=24x的准线方程为》=一6,则在双曲线中有°2+/=（一6）2

=36©,又•••双曲线，一W=1的渐近线为尸小x,.♦［=小②，联立①②解得，次=9,

』，所

以双曲线的方程为卷一月=1.

72

7.B［解析］设4（为，％），8（X2,”），双曲线方程为5一过尸，M.•.斜率

—

..后11.11..日殂（XLX2）（X|+X2）一>2）。'1+”）....,

•/一»=1，宗一/=1，••两式相减，得---------^2-------------------p---------=0，--4b-2

=5a2,又,.•/+〃=9,；./=4,?=5.

8.B［解析］设双曲线的一个焦点坐标为（c,0）,则G=C,即p=2c,抛物线方程为/

—4cx,根据题意捻一次=1,y^-^c-c,消掉），得'一专■=1,即°2（〃一病尸//，即

-5a2）^cr（（r-a2）,即04-6/d+/=0,ERe4-6e2+l=0,解得e2=，+产=3+2吸,故

e—1+"^2.

9.D［解析］不妨设|PFi|,\PF2\,下画成等差数列,则4/=DFI|2+|PF2|2,由2|巴囹

=2c+\PFi\,且「巳1一|PQ|=2a,解得|PFi|=2c—4mlp/2|=2c-2a,代入^=\PF^+\PF^,

得4c2=(2c—2a)2+(2c—4tz)2,化简整理得c2—6ac+5a2=0,解得c=〃(舍去)或者c=5a,

故e=^=5.

10.y=/x［解析］根据已知|PQ尸詈且|PF2|=5,故詈一?=2m所以5=2,，

也""""

\\AF^\-\AF\\=2a,

11.4a+2〃？［解析］由=>|AF2l+|BF2|一(|4Fil+|BFil)=4a,又|AQ|

\\BF-A-\BF\\=2a

+\BF\\=\AB\=m,・・・|422|+山22|=4。+初.则448尸2的周长为但&|+|8歹2|十以8|=4。+2九

12.6［解析］根据角平分线的性质，需=嵋=)又依尸||一内尸2|=6,故|AB|=6.

pri|\ivir\\,

W49

13.2［解析］方法一：点(2,3)在双曲线C7一方=1上，则了一/=1.又由于2c=4,

W1,

所以/+从=4.解方程组，a~b~得。=1或。=4.由于4<c,故。=1.所以离心率为e

、。2+从=4

=2=2.

a

方法二：：双曲线的焦距为4,.•.双曲线的两焦点分别为人(一2,0),尸2(2,0),点(2,3)

到两焦点的距离之差的绝对值为2,即2a=2,...a=l,离心率e=§=2.

14.［解答］⑴；/与圆相切,A1

.•.〃?=1+攵2,①

y=fcr+机，

由J,7得(1一3)/—2"2fcV—(泞+1)=0,

X2—y2=L

A=Anrlc+4(1—lc)(ni2+1)=4("P+1—F)=8>0,

苏+1

X|X2=^2_]<0,

.,.^<1,/.-KKl,故*的取值范围为(-1,1).

由于X]+★=

1—fc

.\X2—X]=«(X1+X2、-4为及=।1%=i—Jc9

•••OWFvl・,・当&2=0时，X2-X1取最小值为2啦.

(2)由已知可得4,4的坐标分别为(-1,0),(1,0),

.,VI,)'2

一，

••幻_乃+1'K2X2~l1

)心(%¥1+〃2)伏%2+勿?)

•»k\kz~

5+1)(及一1)一(XI+1)。2-1)

必修12+小4(11+X2)+加2

X\X2+(X2~X\)—1

2

9m+\2mk.9

-产7一相心门+相

nr+1_2^2_

fc2—1^2—1'

.2—十以一2mle+—______后一m2

m2+1-2A/2~/?+1加2—F+2-2/'

由①，得团2—3=1,

；上浅2=三S=一（3+26）为定值•

15.[解答]由双曲线的定义可知，曲线E是以Q（一也，0）,B（啦，0）为焦点的双曲

线的左支，

且c=，5,。=1,易知6=1,

故曲线E的方程为/一^=1（x0）.

[y=kx-\

设A（xi，%）,8（x2,竺），由题意建立方程组L,f

[xz—yl=l,

消去y,得（1一炉）1+2日一2=0,

又已知直线与双曲线左支交于两点A,B,有

〃1一标#0,

/=（22）2+8（1一切＞0,

—2kr-

qX\+X2=~,―p＜o,解得一也vAv—1.

1—KT

一2八

X\X2=]左1＞0'

又・・：依引=、1+修办一刈

=71+居«5+12）2-4X1X2

又言

/（l+1）（2-P）

V（1-严）2，

依题意得2yp整理后得

283—55^+25=0,

,,・炉='或42=1，又一也＜2＜一1,一坐,

故直线AB的方程为坐x+y+1=0.

设C（xc，yc）,由已知为+协=而文，

得（X1，＞1）+。2，＞2）=（gc，加”），

••依，"）=（喑,喑"。）.

「2k，厂2!c2

又项+&=&2_]=-4\5,yi+丁2=A（即+12）-2=9_]_2=左2_]=8,

•••点《二沪，"，将点C的坐标代入曲线E的方程，得厚一,=1,得加=±4,

但当〃?=一4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，；.加=4,

，X（一—）+2+1

C点的坐标为（一小，2）,C到AB的距离为-=—[/仁、—

、阳+12

/XABC的面积S=1X6^3x|=V§.

【难点突破】

a=—,(a2=4,

16.[解答](1)由题意得4°解得

/=,2—4?=12,.,.双曲线方程为"一方=1.

(2)证明：由(1)可知得点B(1,O),设直线/的方程为：x="+4,

<22

工-乙=],

由J412'可得(3/2-14+24)+36=0.

、x=(y+4,

设M(xi，yi),Ng,j2)»则P(xi，—>i)，

r,一24f

yi+y2=2/2_]»

所以《〃所以泳=(X|—1,一%)，的=(X2-l

”)，

因为(占一1»2+%(及一l)=X|y2+》X2一》一y2

=2中”+3()，|+”)

~36,,~24r

~2/3?-1+33Z2-1

=0,

所以向量而，曲共线.所以B,P,N三点共线.

(3)因为直线/与双曲线右支相交于M,N,

所以工|改=()1+4)侬+4)>0,所以尸<；,

118业+a6小A/3+