高中数学求值域种方法

求函数值域的十种方法一．直接法（察看法）：对于一些比较简单的函数，其值域可经过察看获得。例1．求函数yx1的值域。【分析】∵x0，∴x11，∴函数yx1的值域为[1,)。【练习】．求以下函数的值域：①y3x2(1x1)；②f(x)24x；③yx；yx121，x1,0,1,2。x1【参照答案】①[1,5]；②[2,)；③(,1)U(1,)；{1,0,3}。二．配方法：合用于二次函数及能经过换元法等转变为二次函数的题型。形如F(x)af2(x)bf(x)c的函数的值域问题，均可使用配方法。例2．求函数yx24x2（x[1,1]）的值域。【分析】yx24x2(x2)26。∵1x1，∴3x21，∴1(x2)29，∴3(x2)265，∴3y5。∴函数yx24x2（x[1,1]）的值域为[3,5]。例3．求函数y2x24x(x0,4)的值域。【分析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不如设：f(x)x24x(f(x)0)配方得：f(x)(x2)24(x0,4)利用二次函数的有关知识得f(x)0,4，从而得出：y0,2。说明：在求解值域(最值)时，碰到分式、根式、对数式等种类时要注意函数自己定义域的限制，本题为：f(x)0。例4．若x2y4,x0,y0，试求lgxlgy的最大值。【剖析与解】本题可当作第一象限内动点P(x,y)在直线x2y4上滑动时函数lgxlgylgxy的最大值。利用两点(4,0)，(0,2)确立一条直线，作出图象易得：x(0,4),y(0,2),而lgxlgylgxylg[y(42y)]lg[2(y1)22]，y=1时，lgxlgy取最大值lg2。【练习】2．求以下函数的最大值、最小值与值域：①yx24x1；②yx24x1,x[3,4]；③yx24x1,x[0,1]；④yx24x1,x[0,5]；yx22x4，x[1,4]；yx22x3。x4【参照答案】①[3,)；②[2,1]；③[2,1]；④[3,6]；[6,73]；[0,2]4三．反函数法：反函数的定义域就是原函数的值域，利用反函数与原函数的关系，求原函数的值域。合用种类：分子、分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型)，也可用于其余易反解出自变量的函数种类。例5．求函数y2x的值域。x1x，从而便于求出反函数。剖析与解：因为本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出2x反解得xy(,2)U(2,)。y，故函数的值域为x12y【练习】1．求函数y2x33x的值域。22．求函数yaxb，c0,xd的值域。cxdc【参照答案】1．(,2)U(2,)；(,a)U(a,)。33cc四．分别变量法：合用种类1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分别常数法，此类问题一般也能够利用反函数法。例6：求函数y1x的值域。2x5解：∵1x1(2x5)717，y2222x52x522x57，∴y1，∴函数y1x的值域为{y|y1}。∵22x5022x52合用种类2：分式且分子、分母中有相像的项，经过该方法可将原函数转变为为ykf(x)(k为常数)的形式。例7：求函数yx2x的值域。x2x1剖析与解：察看分子、分母中均含有x2x项，可利用分别变量法；则有x2xx2x11113。yx1xx1(x12x22)42不如令：f(x)(x1)23,g(x)1(f(x)0)从而f(x)3,。24f(x)4注意：在本题中若出现应清除f(x)0，因为f(x)作为分母.因此g(x)0,4故y1,1。33另解：察看知道本题中分子较为简单，可令tx2x111xt的值域，从而可获得y，求出的值域。【练习】1．求函数y2x22x3的值域。x2x110]【参照答案】1．(2,3五、换元法：对于分析式中含有根式或许函数分析式较复杂的这种函数，能够考虑经过换元的方法将原函数转变为简单的熟习的基本函数。其题型特点是函数分析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。例8：求函数y2x12x的值域。解：令t12x（t0），则x1t2t2t1(t125，∴y)。224∵当t1x3ymax5y2x12x的值域为(5]。2，即时，4，无最小值。∴函数,84例9：求函数yx21(x1)2的值域。解：因1(x1)20，即(x1)21。故可令x1cos,[0,]，∴ycos11cos2sincos12sin()1。4∵0,52)1，02sin()1124，sin(44244故所求函数的值域为[0,12]。例10.求函数yx3x的值域。x42x21解：原函数可变形为：y12x1x221x21x2可令X=tan，则有2xsin2,1x2cos21x21x2当k时，ymax1248当k时，y128min4而此时tan存心义。故所求函数的值域为1,144例11.求函数y(sinx1)(cosx1)，x,的值域。122解：y(sinx1)(cosx1)令sinxcosxt，则sinxcosx1(t21)2由tsinxcosx2sin(x)4且x12,2可得：2t22∴当t2时，ymax32，当t2时，y322242故所求函数的值域为32,32。422例12.求函数yx45x2的值域。解：由5x20，可得|x|5故可令x5cos,[0,]0当时，ymax4104当时，ymin45故所求函数的值域为：[45,410]六、鉴别式法：把函数转变成对于x的二次方程F(x,y)0；经过方程有实数根，鉴别式0，从而求得原函数的值域，形如ya1x2b1xc1（a1、a2不一样时为零）的函数的值域，常用此方法求a2x2b2xc2解。例13：求函数yx2x3的值域。x2x12解：由yxx3变形得(y1)x2(y1)xy30，x2x1当y1时，此方程无解；当y1时，∵xR，∴(y1)24(y1)(y3)0，解得111，又y1，∴1y11y33∴函数yx2x3的值域为{y|1y11}x2x13七、函数的单一性法：确立函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单一性，求出函数的值域。例14：求函数yx12x的值域。解：∵当x增大时，12x随x的增大而减少，12x随x的增大而增大，∴函数yx12x在定义域(,1]上是增函数。211211∴y2，22∴函数yx12x的值域为(,1]。2例15.求函数yx1x1的值域。解：原函数可化为：y2x1x1令yx1,y2x1，明显y1,y2在[1,]上为无上界的增函数1因此yy1y2在[1,]上也为无上界的增函数因此当x=1时，yyy有最小值2，原函数有最大值22122明显y0，故原函数的值域为(0,2]合用种类2：用于求复合函数的值域或最值。（原理：同增异减）例16：求函数ylog1(4xx2)的值域。2剖析与解：因为函数自己是由一个对数函数（外层函数）和二次函数（内层函数）复合而成，故可令：t(x)x24x(t(x)0)配方得：t(x)(x2)24因此t(x)（0,4)由复合函数的单一性（同增异减）知：y[2,)。八、利用有界性：一般用于三角函数型，即利用sinx[1,1],cosx[1,1]等。例17：求函数ycosx的值域。sinx3解：由原函数式可得：ysinxcosx3y，可化为：即sinx(x)3yy21xR∴sinx(x)[1,1]即13y1y21解得：224y4故函数的值域为2,244注：该题还能够使用数形联合法。ycosx0，利用直线的斜率解题。cosxsinx3sinx3x12例18：求函数y的值域。解：由y12x解得2x1y，12x1y∵2x0，∴1y1y110，∴y∴函数y12x的值域为y(1,1)。12x九、图像法（数形联合法）：其题型是函数分析式拥有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这种题目若运用数形联合法，常常会更为简单，了如指掌，心旷神怡。例19：求函数y|x3||x5|的值域。y2x2(x3)解：∵y|x3||x5|8(3x5)，82x2(x5)-3o5x∴y|x3||x5|的图像如下图，由图像知：函数y|x3||x5|的值域为[8,)例20.求函数y(x2)2(x8)2的值域。解：原函数可化简得：y|x2||x8|上式能够当作数轴上点P（x）到定点A（2），B(8)间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，y|x2||x8||AB|10当点P在线段AB的延伸线或反向延伸线上时，y|x2||x8||AB|10故所求函数的值域为：[10,]例21.求函数yx26x13x24x5的值域。解：原函数可变形为：上式可当作x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(2,1)的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymin|AB|(32)2(21)243，故所求函数的值域为[43,]例22.求函数yx26x13x24x5的值域。解：将函数变形为：y(x3)2(02)2(x2)2(01)2上式可当作定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B(2,1)到点P(x,0)的距离之差。即：y|AP||BP|由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P'，则组成ABP'，依据三角形两边之差小于第三边，有||AP'||BP'|||AB|(32)2(22261)即：26y26（2）当点P恰巧为直线AB与x轴的交点时，有||AP||BP|||AB|26综上所述，可知函数的值域为：(26,26]例23、：求函数3sinxy的值域.2cosx剖析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式

y2y1，将x2x1原函数视为定点(2，3)到动点(cosx,sinx)的斜率，又知动点(cosx,sinx)知足单位圆的方程，从而问题就转变为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形察看易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时获得，从而解得：评论：本题从函数自己的形式下手，引入直线的斜率，联合图形，从而使问题获得巧解。例24．求函数y1x1x的值域。剖析与解答：令u1x，v1x，则u0,v0，u2v22，uvy，原问题转变为：当直线uvy与圆u2v22在直角坐标系uov的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。由图1知：当uvy经过点(0,2)时，ymin2；当直线与圆相切时，ymaxOD2OC222。因此：值域为2y2十：不等式法：利用基本不等式ab2ab,abc33abc(a,b,cR)，求函数的最值，其题型特点分析式是和式时要求积为定值，分析式是积时要乞降为定值，可是有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例25.求函数y(sinx1)2(cosx1)24的值域。sinxcosx解：原函数变形为：当且仅当tanxcotx即当xk时(kz)，等号建立4故原函数的值域为：[5,)例26.求函数y2sinxsin2x的值域。解：y4sinxsinxcosx当且仅当sin2x22sin2x，即当sin2x2时，等号建立。3由y264可得：8383279y9故原函数的值域为：83,839十一、多种方法综合运用：例27.求函数yx2的值域。x3解：令tx2(t0)，则x3t21（1）当t0时，yt11，当且仅当t=1，即x1t21121时取等号，因此0yt2t2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元