高中数学湘教版选修22讲义精练：第4章4.3.1利用导数研究函数单调性含解析

4．3导数在研究函数中的应用4．3.1利用导数研究函数的单一性[读教材·填重点]函数在区间(a，b)上的单一性与其导函数的正负有以下关系：导函数的正负函数在(a，b)上的单一性f′(x)>0单一递加f′(x)<0单一递减f′(x)＝0常数函数[小问题·大思想]1．在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单一递加，反之也建立吗？提示：不必定建立．比方y＝x3在R上为增函数，但其在0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是

y＝f(x)在某个区间上递加的充分不用要条件．2．右图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单一区间是提示：单一递加区间：(－∞，－3]，[－2,1]，[3，＋∞)；单一递减区间：[－3，－2]，[1,3]．

什么？判断(或证明)函数的单一性已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1－3，议论函数f(x)的单一性．a[自主解答]由题设知a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3axx－2，a2令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝a.当a>0时，若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0.∴f(x)在区间(－∞，0)上为增函数．2若x∈0，a，则f′(x)<0，2∴f(x)在区间0，a上为减函数．若x∈2a，＋∞，则f′(x)>0，f(x)在区间2，＋∞上是增函数．a2当a<0时，若x∈－∞，a，则f′(x)<0.∴f(x)在－∞，2a上是减函数．2若x∈a，0，则f′(x)>0.f(x)在区间2，0上为增函数．a若x∈(0，＋∞)，则f′(x)<0.f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数．利用导数判断或证明函数单一性的思路x1．求证：函数f(x)＝e－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．得f′(x)＝ex－1.当x∈(0，＋∞)时，ex－1>0，即f′(x)>0.f(x)在(0，＋∞)内为增函数．当x∈(－∞，0)时，ex－1<0，即f′(x)<0.f(x)在(－∞，0)内是减函数．求函数的单一区间求以下函数的单一区间：(1)f(x)＝3x2－lnx；(2)f(x)＝－13ax3＋x2＋1(a≤0)．[自主解答](1)函数的定义域为(0，＋∞)，16x2－1f′(x)＝6x－x＝x，令f′(x)>0，即6x2－1>0，xx>0，∴6x2－1>0，∴x>66.令f′(x)<0，2－16.即6xx<0，∵x>0，∴6x2－1<0，∴0<x<6∴f(x)的单一递加区间为6，＋∞，6单一递减区间为0，6.6(2)①当a＝0时，f(x)＝x2＋1，其单一递减区间为(－∞，0)，单一递加区间为(0，＋∞)．②当a<0时，f′(x)＝－ax2＋2x，x－22；f′(x)<0?2′(x)>0?(－＋ax>0?x>0或fx<aa<x<0.ax2)x>0?故f(x)的单一递加区间为－∞，2和(0，＋∞)，单一递减区间为2，0.aa求函数的单一区间的“两个”方法方法一：(1)确立函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单一递加区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单一递减区间．方法二：(1)确立函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一确实根；(3)把函数f(x)的中断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上边的各实数根按由小到大的次序摆列起来，而后用这些点把函数f(x)的定义区间分红若干个小区间；(4)确立f′(x)在各个区间内的符号，依据符号判断函数在每个相应区间内的单一性．2．已知函数f(x)＝lnx＋k(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切xe线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单一区间．1x－lnx－k解：(1)由题意得f′(x)＝x，e1－k又f′(1)＝e＝0，故k＝1.1－lnx－1x.(2)由(1)知，f′(x)＝xe111设h(x)＝x－lnx－1(x>0)，则h′(x)＝－x2－x<0，即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0，进而f′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，进而f′(x)<0.综上可知，f(x)的单一递加区间是(0,1)，单一递减区间是(1，＋∞)．已知函数的单一性求参数范围已知函数12f(x)＝lnx，g(x)＝ax＋2x，a≠0.2(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单一递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单一递减，求a的取值范围．12[自主解答](1)h(x)＝lnx－ax－2x，x∈(0，＋∞)，2所以h′(x)＝1－ax－2.x由于h(x)在(0，＋∞)上存在单一递减区间，所以当x∈(0，＋∞)时，1x－ax－2<0有解，2即a>2－x有解．x设G(x)＝

12x2－x，所以只需

a>G(x)min即可．2而G(x)＝x－1－1，所以G(x)min＝－1.所以a>－1.即实数a的取值范围是(－1，＋∞)．(2)由于h(x)在[1,4]上单一递减，1所以x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒建立．即a≥x12－2x恒建立．所以a≥G(x).而G(x)＝1－12－1.maxx由于所以所以

x∈[1,4]，所以1x∈G(x)max＝－167(此时7a≥－16.

14，1.x＝4)．当a＝－7时，h′(x)＝1＋7x－216x1616＋7x2－32x＝7x－4x－4.16x16xx∈[1,4]，∴h′(x)＝7x－4x－4≤0.16x即h(x)在[1,4]上为减函数．故实数a的取值范围是－7，＋∞.16若将本例(2)中“单一递减”改为“单一递加”，怎样求a的取值范围？解：∵h(x)在[1,4]上单一递加，∴x∈[1,4]时，h′(x)＝1－ax－2≥0恒建立．x12即a≤x2－x恒建立．2设G(x)＝x2－x，∴只需a≤G(x)min.又G(x)＝1－12－1，∵x∈[1,4]，∴1∈1，1.xx4G(x)min＝－1，∴a≤－1.经考证：a＝－1时，h(x)在[1,4]上单一递加，综上所述，a的取值范围为(－∞，－1]．已知f(x)在区间D上单一，求f(x)中参数的取值范围的方法为分别参数法：往常将f′(x)≥0(或f′(x)≤0)的参数分别，转变为求最值问题，进而求出参数的取值范围．特别地，若f′(x)为二次函数，能够由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒建立求出参数的取值范围．3．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是单一减函数，则a的取值范围是( )A.0，3B.1，3424C.3，＋∞D.0，142分析：f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由题意当x∈[－1,1]时，f′(x)≤0恒建立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒建立．令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，则有g－1≤0，g1≤0，－12＋2－2a·－1－2a≤0，3即2＋－2a－≤，解得a≥4.122a0答案：C证明：方程x－12sinx＝0有独一解．[巧思]方程f(x)＝0的解即曲线y＝f(x)与x轴交点的横坐标，所以能够经过结构函数来解决．1[妙解]设f(x)＝x－2sinx，当x＝0时，f(0)＝0，1所以x＝0是方程x－2sinx＝0的一个解．1由于f′(x)＝1－2cosx，且x∈R时，f′(x)>0总建立，所以函数f(x)在R上单一递加．所以曲线f(x)＝x－1sinx与x轴只有一个交点．21所以方程x－2sinx＝0有独一解．1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单一递减区间为( )A．(2，＋∞)C．(－∞，0)

B．(－∞，D．(0,2)

2)分析：

f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)<0，得

0<x<2.∴函数f(x)的单一递减区间为(0,2)．答案：D122．函数y＝x－lnx的单一递减区间为( )2A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)121x－1x＋1，分析：函数y＝x－lnx的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝x2x令y′≤0，可得0＜x≤1.答案：B3．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a的取值范围是( )A．[3，＋∞)B．[－3，＋∞)C．(－3，＋∞)D．(－∞，－3)分析：f′(x)＝3x2＋a，令3x2＋a≥0，∴a≥－3x2，∵x∈(1，＋∞)，∴a≥－3.答案：B34．函数f(x)＝cosx＋2x的单一递加区间是________．分析：由于f′(x)＝－sinx＋32＞0，所以f(x)在R上为增函数．答案：(－∞，＋∞)5．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对随意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为____________．分析：设g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2.∵对随意x∈R，f′(x)＞2，g′(x)＞0.∴g(x)在R上为增函数．又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，∴x＞－1时，g(x)＞0.∴由f(x)＞2x＋4，得x＞－1.答案：(－1，＋∞)6．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1在区间[－4,4]上的单一性．解：∵f(x)＝x3－3x2－9x＋1，∴f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)>0，联合－4≤x≤4，得－4≤x<－1或3<x≤4.令f′(x)<0，联合－4≤x≤4，得－1<x<3.∴函数f(x)在[－4，－1)和(3,4]上为增函数，在(－1,3)上为减函数．一、选择题1．函数f(x)＝x－lnx的单一递减区间为( )A．(0,1)

B．(0，＋∞

)C．(1，＋∞

)

D．(－∞，

0)∪(1，＋∞

)分析：函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－1＝x－1，xx令f′(x)＜0，解得0＜x＜1，所以单一递减区间是(0,1)．答案：A2．已知函数f(x)＝x＋lnx，则有()A．f(2)<f(e)<f(3)B．f(e)<f(2)<f(3)C．f(3)<f(e)<f(2)D．f(e)<f(3)<f(2)分析：在(0，＋∞)上，f′(x)＝112x＋>0，x所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)<f(e)<f(3)．答案：A3．如图为函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，那么函数y＝f(x)的图象可能为( )分析：由导函数y＝f′(x)的图象，可知当－1<x<3时，f′(x)<0，所以y＝f(x)在(－1,3)上单一递减；当x>3或x<－1时，f′(x)>0，所以y＝f(x)在(－∞，－1)和(3，＋∞)上单一递加．综上，函数y＝f(x)的图象的大概形状如A中图所示，所以选答案：A4．f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0

A.时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，且f(－1)＝0，则

f(x)g(x)<0

的解集为

(

)A．(－1,0)∪(1，＋∞

)

B．(－1,0)∪(0,1)C．(－∞，－

1)∪(1，＋∞)

D．(－∞，－

1)∪(0,1)分析：令F(x)＝f(x)g(x)，则F(x)为奇函数，且当x<0时，F′(x)<0，即F(x)在(－∞，0)上为减函数．又∵f(－1)＝0，即F(－1)＝0.F(x)＝f(x)g(x)<0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．答案：A二、填空题5．若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则实数b的取值范围是分析：y′＝2x－2b≥0在(2,8)内恒建立，即b≤x在(2,8)内恒建立，∴

________．b≤2.答案：

(－∞，2]6．已知函数

y＝f(x)在定义域

[－4,6]内可导，其图象如图，记

y＝f(x)的导函数为

y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________．分析：f′(x)≤0的解集，即为函数y＝f(x)的单一减区间，∴f′(x)≤0的解集为－4，1∪11，6.3311答案：－3，1∪3，67．设函数f(x)＝x(ex－1)－1x2，则f(x)的单一增区间是________，减区间是________．2分析：f(x)＝x(ex－1)－12x2，f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单一递加，在(－1,0)上单一递减．答案：(－∞，－1)和(0，＋∞)(－1,0)3x28．已知函数f(x)＝a－2x＋lnx(a＞0)．若函数f(x)在[1,2]上为单一函数，则a的取值范围是________．分析：f′(x)＝3－4x＋1，若函数f(x)在[1,2]上为单一函数，x即f′(x)＝3a－4x＋1x≥0或f′(x)＝3a－4x＋1x≤0在[1,2]上恒建立，即3a≥4x－1x或3a≤4x－1x在[1,2]上恒建立．令h(x)＝4x－1，则h(x)在[1,2]上单一递加，x333153所以a≥h(2)或a≤h(1)，即a≥2或a≤3，又a＞0，所以0＜a≤2或a≥1.52答案：0，5∪[1，＋∞)三、解答题9．已知函数f(x)＝x＋a－lnx－3，此中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直4x21线y＝x.2(1)求a的值；