中考复习 圆的概念与性质讲义人教版九年级数学下册

一次函数知识点九年级年级上学期数学人教版中考第一轮复习讲义课时21圆的有关概念和性质知识梳理一、圆的有关概念及其对称性1．圆的定义(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做圆心，定长叫做半径(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径．2．圆的有关概念(1)连接圆上任意两点的线段叫做弦；(2)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；(3)半径相等的两个圆是等圆；(4)在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．3．圆的对称性(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；(3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性．二、垂径定理及推论1．垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．2．推论1(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．(高频考点)3．推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等．4．(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．三、圆心角、弧、弦之间的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．2．推论同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．四、圆心角与圆周角1．定义：顶点在圆心上的角叫做圆心角；顶点在圆上，角的两边和圆都相交的角叫做圆周角．2．性质(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对圆心角的度数的一半．（高频考点）(3)同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等．(4)半圆(或直径)所对的圆周角是90，90°的圆周角所对的弦是直径．（高频考点）备考提示：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而它所对的圆周角有无数个，它们的关系是圆周角等于圆心角的一半；2作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线.五、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补．典例探究和对点演练探究点1垂径定理及其推论命题规律垂径定理及其推理论是圆中的一个重要内容，也是中考热点问题。它揭示了弦、直径及弦所对的弧之间的一种特殊的位置关系.解题时过圆心作已知弦的垂线是常用辅助线，其目的是应用垂径定理的有关结论.巧妙地应用常用辅助线将会使你在解题过程中感受“山重水重疑无路，柳暗花明又一村”的惊喜，也会大大提高你的解题能力.如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（）A．26π B．13π C． D．【解析】连接OA，根据垂径定理得到AM=AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA=×13，于是得到结论．∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，∴AM=AB=6，∵OM：MD=5：8，∴设OM=5x，DM=8x，∴OA=OD=13x，∴AM=12x=6，∴x=，∴OA=×13，∴⊙O的周长=2OA•π=13π，故选B．【答案】B【总结】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键。对点演练1.(

2022•荆门)如图,

CD是圆0的弦，直径AB⊥CD,垂足为E,若AB=12,

BE=3,则四边形ACBD的面积为(

)A.B.C.

D.2.（2021•南充）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝2OE，则∠BCD的度数为（）A．15° B．22.5° C．30° D．45°3.（2021•广安）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）．已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB＝120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（）米．A．6π﹣6 B．6π﹣9 C．12π﹣9 D．12π﹣184.（2021·广西柳州）往水平放置的半径为13cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度AB＝24cm，则水的最大深度为（）A．5cmB．8cmC．10cmD．12cm5.如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下结论：AD=BD；②∠MAN=90°；③=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5探究点2圆心（周）角、弧、弦之间的关系命题规律这类题主要考查圆周角定理及其推论等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用圆周角定理及其推论等几何知识点来分析、判断、推理或解答．如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（）A．50° B．80° C．100° D．130°【解析】首先在上取点D，连接AD，CD，由圆周角定理即可求得∠D的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得∠ABC的度数．∵∠AOC=100°，∴∠ADC=∠AOC=50°，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=130°．故选D．【答案】D【总结】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．对点演练6.(

2022•巴中)如图，AB为⊙0的直径,弦CD交AB于点E,

eq\o(BC,\s\up5(⌒))=eq\o(BD,\s\up5(⌒)),∠CDB=30°,

AC=。则OE=

()A.B.C.1D.27.（2021•长沙）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（）A．27° B．108° C．116° D．128°8.(2021·武汉)如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将eq\o(BC,\s\up5(⌒))沿BC翻折交AB于点D，再将eq\o(BD,\s\up5(⌒))沿AB翻折交BC于点E．若eq\o(BE,\s\up5(⌒))＝eq\o(DE,\s\up5(⌒))，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（）．A．21.9°<α<22.3° B．22.3°<α<22.7° C．22.7°<α<23.1° D．23.1°<α<23.5°探究点3圆内接四边形的性质命题规律这类题主要是综合考查圆内接四边形的性质、圆周角定理及垂径定理，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（）A．130° B．100° C．65° D．50°【解析】先根据补角的性质求出∠ABC的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由等腰三角形的性质求得∠DAC的度数．∵∠CBE=50°，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=180°﹣50°=130°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D=180°﹣∠ABC=180°﹣130°=50°，∵DA=DC，∴∠DAC==65°，【答案】C．【总结】本题考查的是圆内接四边形的性质及等腰三角形的性质，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．对点演练9.(

2022•淮安)如图,四边形ABCD是⊙0的内接四边形,若∠AOC=

160°,则∠ABC的度数是(

)A.80°B.100°C.140°D.160°10.(2021·海南)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是（）A．30° B．35° C．45° D．60°11.（2021•吉林省）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（）A．30° B．45° C．50° D．65°重难点攻略攻略1利用垂径定理求线段长度例1.如图是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到红安县影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（）A．2米 B．2.5米 C．2.4米 D．2.1米【分析】连接OF，交AC于点E，设圆O的半径为R米，根据勾股定理列出方程，解方程即可．解：连接OF，交AC于点E，∵BD是⊙O的切线，∴OF⊥BD，∵四边形ABDC是矩形，∴AD∥BD，∴OE⊥AC，EF=AB，设圆O的半径为R，在Rt△AOE中，AE===0.75米，OE=R﹣AB=R﹣0.25，∵AE2+OE2=OA2，∴0.752+（R﹣0.25）2=R2，解得R=1.25．1.25×2=2.5（米）．答：这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是2.5米．故选：B．【方法技巧】本题考查的是垂径定理的应用，掌握平分弦（不是直径）的直径垂直于弦是解题的关键，注意勾股定理的灵活运用．类题拓展1．(2022•鄂州)工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图(1)所示的工件槽，其两个底角均为90°,将形状规则的铁球放入槽内时.若同时具有图(1)所示的A、B、E三个接触点,该球的大小就符合要求。图(2)是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是鉄球的直径,

AB是⊙O的弦,

CD切⊙O于点E,

AC⊥CD、BD⊥CD,若CD=16cm,AC=BD=4cm,则这种铁球的直径为(

)A.

10cmв.15cmC.

20cmD.24cm2．（2021•自贡）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（）A．9.6 B．45 C．53 D．103.(2021·恩施)《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）答：圆材直径寸．4.(

2022·青海)如图是一个隧道的橫截面，它的形状是以点0为圆心的圆的一部分,如果C是⊙0中弦AB的中点,

CD经过圆心0交⊙0于点D,并且AB=4m,CD=6m,则⊙0的半径长为m.攻略二利用圆心角、圆周角关系求角的大小例2.如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为（）A．100° B．110° C．115° D．120°【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB=90°，∠ACD=20°，即可求∠BCD的度数．解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠AED=20°，∴∠ACD=20°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°，故选B．【方法技巧】1）圆心角与圆周角的比较方法名称圆心角圆周角区别顶点在圆心顶点在圆上在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个联系两边都和圆相交（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。类题拓展5.（2022·阜新）如图，A,B,C是⊙O上的三点，则∠ABO的度数是（）A．35° B．55° C．60° D．70°6.（2021·荆州）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是（）A．15° B．22.5° C．30° D．45°7.(2021·黄石).如图，、是上的两点，，交于点，则等于（）A. B. C. D.8.如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A=72°，则∠BCO的度数为（）A．15° B．18° C．20° D．28°易错点分析误区一因考虑问题不全面而出现漏解例1已知⊙O的半径为5，弦AB=6，P是AB上任意一点，点C是劣弧的中点，若△POC为直角三角形，则PB的长度（C）A．1 B．5 C．1或5 D．2或4【分析】由点C是劣弧的中点，得到OC垂直平分AB，求得DA=DB=3，根据勾股定理得到OD==1，若△POC为直角三角形，只能是∠OPC=90°，则根据相似三角形的性质得到PD=2，于是得到结论．【易错警示】本题没有给出图形，在绘图时容易忽略点P可以在C点两侧，从而漏解，能根据题意正确画出图形是本题的关键。误区二不能正确理解弧、弦、圆心角之间的关系例2在同圆中，若AB=2CD，则与的大小关系是（A）A．AB＞2CD B．AB＜2CD C．AB=2CD D．不能确定【分析】先根据题意画出图形，找出两相同的弦CD、DE，根据三角形的三边关系得到CE与CD+DE的关系，再比较出AB与CE的长，利用圆心角、弧、弦的关系进行解答即可．如图所示，CD=DE，AB=2CD，在△CDE中，∵CD=DE，∴CE＜CD+DE，即CE＜2CD=AB，∴CE＜AB，∴＜．【易错警示】在同圆或等圆中，弧长之间的倍数关系与对应弦长之间的倍数关系不相等，即若=n,AB≠nBC.课堂演练1.(

2022•枣庄)将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上,使点C在半圆上.点A,

B的读数分别为86°30",则∠ACB的度数是(

)A.28°B.30°C.36°D.

56°2.(

2022·西藏)如圏，AB是⊙O的弦，OC⊥AB,垂足为C,

OD∥AB,

OC=OD,则∠ABD的度数为()A.90°в.

95°C.

100°D.105°3.（2021•凉山州）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm4.（2022•安徽）已知⊙O的半径为7，AB为⊙O的弦，点P在弦AB上，若PA=2，PB=6，则OP=（）A． B．4 C． D．55.（2021•绍兴）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在⊙O上，则∠BPC的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．90°6.(2021·邵阳)如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（）A．25° B．30° C．35° D．40°7.如图，⊙O中，如果∠AOB=2∠COD，那么（）A．AB=DC B．AB＜DC C．AB＜2DC D．AB＞2DC8.（2021•重庆）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝80°，则∠C的度数是（）A．80° B．100° C．110° D．120°9.(2021·鄂州)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2．已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（）图1图2A．1米B．米C．2米D．米10.如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（）A．51° B．56° C．68° D．78°11.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）A．8 B．10 C．16 D．2012.如图，⊙O的直径CD=5cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD=3：5．则AB的长是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．2cm13.如图，半径为5的⊙P与y轴相交于M（0，﹣4），N（0，﹣10）两点，则圆心P的坐标为（